不同抽样方法对径流随机模拟结果的影响.pdf

第41 卷第5期2023年1 0 月青海大学学报Journal of Qinghai UniversityVol.41 No.5Oct.2023不同抽样方法对径流随机模拟结果的影响王诗瑞，李芳芳，裘钓2.3*（1.青海大学土木水利学院，青海西宁8 1 0 0 1 6；2.青海大学省部共建三江源生态与高原农牧业国家重点实验室，青海西宁8 1 0 0 1 6；3.清华大学水沙科学与水利工程国家重点实验室，北京1 0 0 0 8 4）摘要：为研究Copula函数在黄河上游随机径流模拟中的应用及不同抽样方法对模拟结果的影响，采用黄河上游唐乃亥水文站1 9 56 至2 0 1 2 年的实测径流资料，利用4种常用分布函数(P-I分布、Gamma分布、Logn分布、Gev分布）对各月径流进行边缘分布拟合并优选后，用3种Copula函数（Clayton Copula、Fr a n k Co p u l a、G u mb e l Co p u l a）对相邻月间径流进行联合分布拟合并优选，再分别用直接抽样方法与Gibbs抽样方法进行月径流随机模拟，并与实测数据进行对比验证。结果表明：直接抽样方法与Gibbs抽样方法的模拟结果均能保留实测值的统计特征和月间径流的相关性，Gibbs抽样方法模拟结果的丰平枯划分更接近实测值划分；采用不同边缘分布的径流模拟结果优于单分布的模拟结果，避免了单分布个别月份不适用的情况。本研究结果对长序列径流模拟具有一定的参考价值。关键词：随机模拟；边缘分布；联合分布；Copula函数；Gibbs抽样方法中图分类号：TV121:P333.1文献标志码：AD0I:10.13901/ki.qhwxxbzk.2023.05.001Effects of different sampling methods on the random simulation(1.School of Civil Engineering and Water Resources,Qinghai University,Xining 810016,China;2.State Key Laboratory of Plateau Ecology and Agriculture,Qinghai University,Xining 810016,China;3.State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)Abstract:The measured runoff data of Tangnaihai hydrological station in the upper Yellow Riverfrom 1956 to 2012 are taken as examples to investigate the application of Copula function in the ran-dom simulation of runoff in the region and the effects of different sampling methods on the simulationresults.Four common distribution functions(P-II distribution,Gamma distribution,Logn distribu-tion and Gev distribution)are used to combine and optimize the marginal distribution of monthlyrunoff.Three copula functions(Clayton Copula,Frank Copula and Gumbel Copula)are used to con-duct joint distribution and optimization of adjacent monthly runoff The methods of direct samplingand Gibbs sampling are used to conduct random simulation of monthly runoff,and the results arecompared with the measured data.The results show that both the direct sampling method and Gibbssampling method can retain the statistical characteristics of the measured values and the correlationbetween monthly runoff.The simulation results of Gibbs sampling method are closer to the measuredvalue division in terms of wet season,flat season and dry season.The runoff simulation results withdifferent marginal distributions are better than that of single distribution,which avoids the inapplica-收稿日期：2 0 2 3-0 5-1 0基金项目：青海省科学技术厅项目（2 0 2 1-ZJ-934Q)作者简介：王诗瑞（1 9 9 6 一），女，河南信阳人，青海大学在读硕士研究生。*通信作者，Ema i l：a e r o e n g i n e t s i n g h u a.e d u.c n文章编号：1 0 0 6-8 9 9 6(2 0 2 3)0 5-0 0 0 1-0 1 0results of runoffWANG Shirui,LI Fangfang,QIU Jun?n2,3*2bility of single distribution in some months.The results of this study have certain reference values forlong-term runoff simulation.Key words:random simulation;marginal distribution;joint distribution;Copula function;Gibbs sam-pling method河川径流受气候及地形等因素影响，呈现一定的变化规律，同时，在下垫面、生物活动、天气变化等诸多变量的影响下表现出较强的随机性 。高精度的径流模拟与预测是水资源规划的先决条件，而我国径流测量大多始于2 0 世纪50 年代，水文站点实测资料不足百年，难以满足工程设计中更高的重现期要求,需要生成与实际径流过程相近的长序列径流。水文中通常采用随机模拟方法生成径流,其基本思想是基于实测时间序列,构建概率密度函数，然后利用数学模型生成长序列 2 。应用较多的随机模型可分为3类，即用自回归方程按时序方式直接生成月径流序列的回归类模型、将模拟出的年径流按照合适方式分解成月径流的分解类模型 3 和考虑水文形成规律赋予相关参数一定物理意义的物理基础类模型 4径流随机模拟因 Copula 函数的引人有了新的解法。基于 Sklar 定理 5,Copula 函数可独立于变量的边缘分布来描述随机变量的相关结构 6 。它被国内外专家学者应用于洪水过程模拟 7-8 、降雨事件 9 、需水量模拟 1 0 、丰枯遭遇分析 1 等方面时都表现出良好的适应性 1 2】，在径流模拟中也多有应用。Lee 等 1 3 以尼罗河流域为例,基于 Copula 函数模拟其年径流。闫宝伟等 1 4 基于 Copula 函数建立了CAR(1)模型模拟宜昌站月径流,并与AR(1)模型进行比较，验证其合理性。周研来等 1 5 用 Copula函数构造年径流量与最大月径流量之间的联合分布,模拟出年径流量后再分解为月径流量。陈璐等1 6 基于多维Copula 函数建立了长江上游多站随机模拟模型，模拟从站的日流量系列。Chen 等 1 7 基于Copula函数的径流随机模拟出多站点的日流量序列。目前,利用Copula 函数构造联合分布模拟径流已被验证是有效可行的,但模拟中很少有对抽样方法的分析对比。本文基于实测径流资料,利用Copula函数构建相邻月间联合分布,采用不同的随机抽样方法建立径流模拟模型，生成多年径流序列，使得模拟的径流序列保留实测序列的统计特征，进而应用于黄河上游第一水文站唐乃亥水文站的长期径流模拟，以期为后续调度工作提供参考。1随机模拟方法1.1达边缘分布各区域气象、地理条件等的差异使得同一种分布模型不足以描述其水文过程,故本研究选用了4种径流拟合中常用的分布函数,即P分布、Gamma分布、Logn（对数正态）分布、Gev(广义极值)分布分别拟合各月径流，将各分布的理论概率和实测序列的经验频率绘制于同一图中直观观察拟合程度,并计算均方根误差（RMSE）和进行K-S检验来定量分析选取拟合度最优的边缘分布函数。1.2联合分布单一分布无法呈现月间相关性，本研究利用Copula 函数构造联合分布函数，保留不同边缘分布间月径流的相关关系。Copula 函数中的 Archimedean 型因其易于构造，在水文领域应用最为广泛。本研究选用3种常用的Archimedean型Copula函数构造月径流联合分布模型，函数表达式 1 8 如下：Clayton Copula 函数:Frank Copula 函数:青海大学学报C(u,)=(u-+-1)第41 卷(1)第5期Gumbel Copula 函数:式中：u、u 代表相邻的边缘分布函数,为待定参数，可由实测序列的相关系数及极大似然法得出。与边缘分布的选取类似,将理论联合概率与经验联合频率对应绘制于图中观察其拟合程度，计算均方根误差（RM SE）和进行KS检验定量分析,选取拟合度最优的联合分布函数。1.3抽样方法优选出边缘分布与联合分布之后，需对分布进行抽样得到模拟结果。常用的抽样方法包括直接抽样方法、接受-拒绝抽样方法、重要性抽样方法 1 9 、马尔科夫链蒙特卡洛（MarkovChainMonte Carlo，MCMC)方法 2 0 。直接抽样方法根据函数的概率分布直接进行抽样；接受拒绝抽样方法在抽样过程中预设一个分布，将不满足分布的结果舍去；重要性抽样方法赋予每个样本不同的权重后进行抽样；MCMC方法通过构建马尔科夫链实现关联抽样,采样效率高。本研究比较了独立抽样中具有代表性的直接抽样方法和关联抽样的代表方法Gibbs（G i b b s s a mp l i n g）抽样方法对模拟结果的影响。1.3.1直接抽样方法直接抽样在已知联合分布与边缘分布概率密度函数的情况下，通过计算各月分布的逆概率分布值,即可得出相邻月间的径流量,抽样具体步骤如下：(1)生成符合两月间联合分布的n个随机数,即为联合分布概率值；（2)根据联合分布概率值计算相应的月边缘分布；(3)利用边缘分布逆概率密度函数得出n个模拟值。1.3.2Gibbs抽样方法Gibbs抽样方法在已知边缘分布概率密度与联合分布条件概率的情况下，构建马尔科夫链抽出样本,抽样具体步骤 2 1 如下：(1)生成两个随机数ao,ai E(0,1);(2)令P(Xi,x1,IX2,1=o）=a 1,其中X1,为第1 年1 月的月径流,X2,为第1 年2 月的月径流，计算所得x1,即第1 年1 月的模拟径流；(3)生成1 2 个随机数a2,a3,a4,as,a7,ag,ag,a10,a1,a12,a13（0,1),求解方程组：式中X为第1 年3月的月径流，,X，2 为第2 年1 月的月径流；计算所得2.1，3.，1 2 分别为第1 年2 一1 2 月及第2 年1 月的模拟径流。(4)重复步骤(3)n次,可得n年的模拟月径流。2实例分析唐乃亥水文站是黄河上游的重要水文站和重点报汛站，记录着黄河干流的水情信息,关系黄河的水能资源开发、防洪抗旱、水量调度等。本文采用唐乃亥水文站1 9 56 至2 0 1 2 年的实测流量数据对黄河上王诗瑞等：不同抽样方法对径流随机模拟结果的影响C(u,)=-C(u,v)=exp-(-ln u)+(-ln v)jvP(X2,1 x2,1/X1,I=X1,)=2P(X3,1 x3,1/X2.1=x2.1)=a3P(Xi2,I xX12,X1,1=X1,1)=a/2P(X13,xX13,/X12,1=X12,)=133(e-0-1)(e-1)(2)(e-_ 1)(3)：(4)4游的径流进行分析，以探求随机模拟方法在实际工作中的可行性及不同抽样方法的优劣。2.1月径流边缘分布分别选取P-分布、Gamma分布、Logn分布和Gev分布拟合1 一1 2 月各月月均流量，将月均流量和对应的经验频率绘制到图中,同时将各分布函数累积概率曲线也绘制于同一图中,如图1 所示。1.00.80.40.20.080100120140160180200220240260月均流量/(m:s-1)a1月1.00.80.6青海大学学报1.00.880.6实测P-II0.4GammaLognGev第41 卷1.00.8$8-0.6实测K0.4P-IGamma0.2LognGev0.0100120140160180200220240260月均流量/(m.s-1)b2月1.00.8840.6实测P-IIGammaLogn0.2Gev0.0140160180200220240260280300320月均流量/(ms-1)c3月1.00.80.6实测P-IGamma0.2LognGev0.02001.00.80.60.40.20.05001.00.80.40.20.0400月均流量/(m:s-1)j10月Fig.1Cumulative distributions of monthly average flow实测0.4P-IIGamma0.2LognGev0.0300400500月均流量/(m s-1)d4月实测P-IGammaLognGev100015002.0002.500月均流量/(m s-1)g7月实测P-II款0.4HGammaLognGev800120016002.000实测P-IGamma0.2LognGev0.06002004006008001000.120040080012001 600 2.0002400月均流量/(m3 s-)月均流量/（s-1）)e5月f6月1.01.00.80.830.630.6实测0.4P-IIGamma0.2LognGev0.04001.00.880.60.20.0200300400500600700月均流量/(ms-1)k11月图1月均流量累积分布图实测0.4P-IIGamma0.2LognGev0.080012001.600.2000月均流量/（ms-1)h8月实测P-II0.4GammaLognGev80060012001800240030003600月均流量/(m s-)19月1.00.80.20.0150200250300350月均流量/(ms-l)112月实测P-IGammaLognGev第5期由图1 可知，4种分布拟合曲线比较接近,在非汛期几近重合，与经验频率点趋势一致；在汛期较为分散,差别明显。其中,P分布的个别月份（如6 月）拟合曲线低部偏离经验频率,是由于P-分布一端有限的特性，小值数据拟合会出现失真的情况,该月份不宜选取P分布。对于拟合曲线接近的分布，无法直接从图中判断最优分布，故计算1 一1 2 月各分布理论概率与经验频率的均方根误差，选取误差最小的分布作为该月的最优分布函数。结果如表1 所示。月份P-II10.21820.23530.20440.13950.17660.430注：表中加粗字体为均方根误差（RMSE)最小值，下同。由表1 可知，5、9 月份最优分布为P分布，6 月份最优分布为Gamma分布，2、3、4、8 月份最优分布为Gev分布,其他月份最优分布为Logn分布。对优选出的分布进行K-S检验（置信水平为9 5%），并计算统计量，结果见表2。Tab.2K-S test values of preferred marginal distribution月份统计量P值临界值月份统计量P值临界值月份统计量P值临界值10.06520.08930.06340.045各月优选分布的统计量均小于临界值,通过K-S检验，拟合效果较好，可作为当月边缘分布。2.2月间联合分布拟合选取3种Copula函数构造月间联合分布,将经验联合频率及理论联合概率值绘制于同一图中并拟合，3种Copula函数拟合程度相差不大，拟合线都接近45，仅以2 3月联合分布作图展示，如图2 所示。1.00.80.60.40.20.0王诗瑞等：不同抽样方法对径流随机模拟结果的影响表1 各月边缘分布均方根误差值Tab.1RMSE values of monthly marginal distributionGammaLogn0.2210.1850.2970.2500.2540.2140.1600.1320.2510.1880.2920.303表2 优选边缘分布函数K-S检验值0.9550.1770.7180.1770.9680.1770.9990.1770.20.4经验联合频率a Clayton CopulaFig.2Empirical joint frequency values and theoretical joint probability values from February to March5Gev月份0.21770.21780.19190.131100.183110.3361250.06660.09570.09580.0791.00.80.40.20.60.8图2 2 3月经验联合频率值和理论联合概率值图P-II0.3300.2550.1650.1850.1720.2350.9490.1770.6490.1770.6480.1770.8420.1771.00.0Gamma0.3440.2700.3170.2070.1840.24790.068100.064110.052120.0801.00.80.40.20.20.40.60.8经验联合频率bFrankCopulaLogn0.3150.2460.2120.1640.1450.2290.9350.9620.9960.8281.00.0Gev0.3390.2440.1770.1870.1740.2430.1770.1770.1770.1770.20.4经验联合频率c Gumbel Copula0.60.81.06计算均方根误差并选择误差最小的联合分布函数为最优函数，结果如表3所示。表中Clayton、Frank、G u mb e l 分别表示 Clayton Copula 函数、Frank Copula 函数、Gumbel Copula 函数。Tab.3相邻月Clayton1一20.284230.244340.209450.222注：表中1 2 1 表示1 2 月至翌年1 月，下同。由表3可知,仅9 1 0 月份最优分布函数为ClaytonCopula函数，其他相邻月份最优分布函数均为Frank Copula 函数。对选定的Copula函数进行KS检验（置信区间为9 5%），检验结果如表4所示。优选出的分布统计量均小于临界值,通过K-S检验，拟合效果较好,可作为各相邻月间的联合分布。Tab.4K-S test values of preferred joint distribution月份统计量120.070230.070340.088450.088青海大学学报表3相邻月各联合分布均方根误差RMSE values of joint distribution in adjacent monthsFrankGumbel0.1680.2040.1800.2210.1920.1940.1720.225表4优选联合分布K-S检验值P值月份0.9995-60.9996-70.9757-80.99989第41 卷相邻月Clayton5-60.246670.277780.286890.218统计量0.0880.1050.1050.105Frank0.2100.2170.2650.2160.9990.8940.8940.894Gumbel相邻月Clayton0.2849-100.24910110.27911120.1890.255121P值月份9-1010-1111-12121Frank0.1980.2520.1830.1640.1670.2600.246统计量0.0880.1050.0700.088Gumbel0.3380.2020.2020.272P值0.9750.8940.9990.9752.3径流模拟结果与分析2.3.1模拟径流分析根据优选的边缘分布与联合分布，分别采用直接抽样方法与Gibbs抽样方法生成1 0 0 0 a模拟径流,对模拟值与实测值进行均值、标准差、变异系数的相对误差分析，计算结果见表5和表6。表5各月径流实测值与直接抽样模拟值的均值、标准差、变异系数表Tab.5Mean values,standard deviations and variation coefficients of measured values of monthlyrunoff and the values obtained by direct sampling simulation均值月份实测值/模拟值/(m3.s-1)(m3.s*1)1170216632204355标准差相对实测值/模拟值/误差/%(ms-)(ms-)1690.571650.572221.213540.30变异系数相对实测值误差/%3940383840408486相对模拟值误差/%3.300.231.480.230.160.182.000.240.240.230.180.243.902.061.362.30第5期月份实测值/模拟值/(m.s-1)(m.s-1)556068907131281 08691 183109641147612228表6 各月径流实测值与Cibbs抽样模拟值的均值、标准差、变异系数表Tab.6Mean values,standard deviations and variation coefficients of measured values of monthlyrunoff and the values obtained by Gibbs sampling simulation均值月份实测值/模拟值/(m.s-)(m s-l)1170216632204355556068907131281 08691 183109641147612228王诗瑞等：不同抽样方法对径流随机模拟结果的影响表5(续)均值标准差相对实测值/模拟值/误差/%(m.s-)(ms-)误差/%5570.549092.201 3020.801 0810.461 1951.009610.294851.712290.72相对误差/%(m s-)(m s-)误差/%1681.141613.242133.173384.725256.308484.6612385.691 0493.441 1780.409811.704821.182301.057变异系数相对实测值1992103313165666154104295836323914011431535655标准差实测值/模拟值/39403837403884811991673313045666084104205836523914141431495659相对模拟值误差/%5.790.364.610.378.660.434.600.388.400.492.490.416.910.301.890.25相对实测值2.880.231.390.233.480.184.540.2416.310.368.090.377.450.432.460.3811.790.495.820.414.040.304.430.250.380.350.470.400.530.420.320.24变异系数模拟值误差/%0.244.060.231.910.180.310.240.190.3210.680.363.590.4913.930.406.110.5512.240.424.050.312.830.256.376.679.545.087.332.785.112.59相对3.34对比表5和表6 可知,直接抽样与Gibbs抽样的均值相对误差都在1 0%以内,大部分月份的直接抽样误差小于Gibbs 抽样。标准差及变异系数在个别月份出现误差较大的情况,如直接抽样的7、9 月，Gibbs抽样的5、7、9 月，结合图1 分析，这些月份经验频率分布较散，易有极大值，是造成拟合误差较大的原因之一。另一方面,结合表1 分析,4种分布在这些月份均方根误差相近，会出现优选分布虽通过K-S检验，但并非最优分布的情况。模拟值与实测值均值、标准差、变异系数相对误差均处于2 0%以下，整体模拟效果尚可，两种抽样方法模拟结果相近,基本保持了实测值的统计特征。为验证模拟结果能否保留实测径流的月间相关关系，对模拟结果相邻月份间的相关系数也作相应的误差分析,结果如表7 所示,表中的相对误差均指与实测值的相对误差。8Tab.7相邻月份实测值120.82230.70340.344-50.465-60.35670.387-80.39890.409-100.6110-110.7911-120.791210.74青海大学学报表7相邻月份间相关系数模拟值与实测值的误差Errors between simulated and measured values of correlation coefficients between adjacent monthsKendall 相关系数Gibs相对抽样误差/%0.801.840.681.600.340.540.460.220.342.550.371.000.366.620.424.030.575.540.763.660.812.000.714.03第41 卷Spearman相关系数直接相对实测值抽样误差/%0.793.520.664.960.317.560.451.720.350.550.380.380.366.210.425.490.592.030.719.810.790.490.723.10Gibbs抽样误差/%0.950.950.870.870.470.490.640.650.480.500.560.540.550.520.570.600.790.760.930.930.940.950.900.90相对0.380.334.110.813.753.504.814.764.320.701.160.51直接抽样误差/%0.940.300.861.410.455.090.640.210.515.890.544.130.524.540.616.310.746.500.885.330.950.570.90相对0.03由表7 可知,实测径流在非汛期相关性较好,在汛期相关性较差,Gibbs抽样和直接抽样都保持了这一特性。Gibbs 抽样的 Kendall 相关系数和 Spearman 相关系数误差最大值出现在7 一8 月,直接抽样的Kendall相关系数和Spearman相关系数误差最大值出现在1 0 1 1 月和9 1 0 月，是由于这些月份属于汛期，个别流量出现极大值，而且相应实测值的相关系数也较低。两种抽样方法整体模拟结果较好，误差均未超过1 0%，表明研究所用方法能保留实测径流的月间相关性。2.3.2单分布模拟结果为验证采用不同边缘分布进行模拟是否优于相同分布（单分布）模拟，分别计算联合分布模拟结果和各单分布模拟结果与实测均值的相对误差,结果见表8。采用同一分布的月份，单分布模拟结果与联合分布模拟结果相近，但由于个别月份单分布无法通过K-S检验，不适于拟合该月径流，如4月的Logn分布和Gamma分布出现了误差较大的情况。与单分布模拟相比，联合分布综合了各分布的优势，使得模拟效果更优。表8 耳联合分布、各单分布模拟结果相对误差Tab.8Relative errors of simulation results between joint distribution and each single distribution%月份联合P-II10.5720.5731.2140.3050.5462.20Gamma0.300.750.233.012.163.062.38126.965.134.017.396.72Logn9.4816.28106.17134.4744.9980.97Gev3.350.981.511.552.162.38月份联合P-II70.8084.6091.00100.29111.71120.72Gamma1.210.860.431.760.449.770.805.720.692.410.080.85Logn23.7634.0228.1163.1157.7814.76Gev5.135.033.090.743.091.81第5期2.3.3不同水文年划分结果分析为了研究模拟结果能否保留实测数据的丰平枯特征，根据GB/T224822008水文情报预报规范 2 2】,对模拟径流进行特枯、偏枯、平、偏丰、特丰等5种不同水文年的划分,并与实测径流的丰平枯划分占比进行对比,检验模拟结果能否代表实测径流的丰平枯特性。具体划分占比见表9。Tab.9Proportions of wet season,flat season and dry season丰平枯实测划分划分占比特枯12.28偏枯26.31平28.07偏丰17.54特丰15.78王诗瑞等：不同抽样方法对径流随机模拟结果的影响表9 丰平枯占比直接抽样划分占比12.2024.9025.5024.8012.609%Cibbs 抽样划分占比12.6027.4025.0020.5014.50对比实测划分占比与模拟划分占比可知,直接抽样与Gibbs抽样模拟结果都能反映出一定的丰平枯情况,其中Gibbs抽样划分结果在特丰、偏丰占比上与实测占比更接近,结合表5和表6 进行分析，Gibbs 抽样模拟结果离散程度较大，更接近实际情况，比直接抽样结果更安全。3讨论与结论利用Copula 函数构建相邻月间月径流联合分布能够保留月间径流的相关性，从而减少径流的不确定性,在径流随机模拟中多有应用。与李帆等 2 1 研究相比,本研究增加了对直接抽样方法的探讨,比较了直接抽样方法和 Gibbs 抽样方法对径流模拟结果的影响,并与单分布模拟结果做了对比。研究结果表明,直接抽样与 Gibbs 抽样的模拟结果都能反映出实测值的统计特征,在丰平枯划分上,Gibbs 抽样模拟结果划分更接近实测划分结果,比直接抽样结果更安全。与单分布相比,针对非优选分布的月径流模拟,采用联合分布的模拟结果误差更小，避免了个别月份单分布不适用的情况，更适用于月径流的随机模拟。综上所述,本研究采用的基于Copula 函数的径流模拟方法适用于唐乃亥水文站,验证了该方法在黄河上游流域的有效性,其中Gibbs抽样方法比直接抽样方法更接近实际情况,对后续长序列径流预测与水库调度有一定的参考价值。参考文献：1J HALL W A,HOWELL D T.The optimization of single-purpose reservoir design with the application of dynamic programming to synthetic hy-drology samples J.Journal of Hydrology,1963,1(4):355-363.2丁晶，高荣松，邓育仁.随机水文学 J.四川水力发电，1 9 8 5,4（1）：1 0 0-1 0 6.3】高桂霞.径流系列随机模拟方法综述 J.东北水利水电，1 9 9 4,1 2（5）：2 6-2 9.【4王文圣，金菊良，李跃清.水文随机模拟进展 J.水科学进展,2 0 0 7,1 8（5）：7 6 8-7 7 5.105 SKLAR M.Fonctions de repartition an dimensions et leurs margesJ.Publ.inst.statist.univ.Paris,1959,8:229-231.6】郭生练，闫宝伟，肖义,等.Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展 J.水文,2 0 0 8,2 8（3）：1-7.7杨立峰，周研来,夏世明，等.基于阿基米德联合函数的洪水过程随机模拟研究 J.水力发电，2 0 1 1,37（4）：2 0-2 3.8 】李荣波，黄艳，李安强，等.基于Copula函数的长江大洪水随机模拟 J.中国防汛抗旱,2 0 2 0,30（1 2：2 5-2 8.9 BARDOSSY A,PEGRAM G G S.Copula based multisite model for daily precipitation simulationJJ.Hydrology and Earth System Sciences,2009,13(12):2299-2314.【1 0 杨丰顺，邵东国，顾文权，等.基于Copula函数的区域需水量随机模拟 J.农业工程学报,2 0 1 2,2 8（1 8）：1 0 7-1 1 2.11 DU H,WANG Y,LIU K,et al.Exceedance probability of precipitation for the Shuhe to Futuan Water Transfer Project in China J.Environ-mental Earth Sciences,2019,78(7):1-12.12刘章君,郭生练,许新发,等.Copula函数在水文水资源中的研究进展与述评 J.水科学进展,2 0 2 1,32（1)：1 48-1 59.13 LEE T,SALAS J,LEE T,et al.Using copulas for stochastic streamflow generation C/World Environmental and Water Resources Congress2008.Honolulu,Hawai,Reston:American Society of Civil Engineers,2008:1-10.1 4闫宝伟，郭生练，刘攀，等.基于Copula函数的径流随机模拟 J.四川大学学报（工程科学版），2 0 1 0,42（1)：5-9.【1 5周研来，梅亚东，张代青.一种新的径流过程随机模拟方法 J.水利水电科技进展,2 0 1 1,31（3）：9-1 2.1 6】陈璐，郭生练，周建中，等.长江上游多站日流量随机模拟方法 J.水科学进展,2 0 1 3,2 4（4）：50 4-51 2.17 CHEN L,QIU H,ZHANG J H,et al.Copula-based method for stochastic daily streamflow simulation considering lag-2 autocorrelationJ.Journal of Hydrology,2019,578:123938.18 LI F,VAN GELDER P,RANASINGHE R,et al.Probabilistic modelling