金属壁板结构在热声环境下的动态响应.docx

壁板结构在热声环境下的动态响应
计算与分析

学 院
动力与能源工程学院
专 业
飞行器动力工程
班 级
7404101
学 号
200704041035
姓 名
赵宇
指导教师
沙云东
负责教师
沙云东

沈阳航空航天大学

2011年6月
摘 要
针对薄壁结构在热声载荷作用下的动态响应问题，本文利用理论分析及数值模拟相结合的方法研究了薄壁结构在热声载荷作用下的非线性动态响应。
首先建立了热声载荷作用下薄板振动的非线性大挠度方程，基于该方程建立Miles单自由度杜芬型模态方程，讨论非线性恢复力项对结构自由振动的影响，计算屈曲温度、热屈曲幅值，并分析了热屈曲前后刚度变化及应力应变响应统计特性。
建立薄壁结构有限元模型，考虑几何非线性，结合有限元软件，对高温结构施加模拟的声载荷进行动响应计算，根据屈曲前后薄壁中点应力及横向位移概率分布，分析热及噪声载荷造成的结构几何非线性对结构刚度的影响。
最后计算了三种典型壁板结构，平板，开孔板，加肋板在热噪声载荷作用下的动态响应，预测到了三种类型的跳变运动，计算了均方应力、均方应变、应力及应变功率谱密度。分析了温度和噪声对薄板刚度及热应力和应变分布的影响，不同结构对相应的影响。
本文所研究的航空薄壁结构在热声载荷作用下非线性动态响应的计算和分析方法，以及所计算的结构应力/应变，对认识高速飞行器表面结构非线性动态响应及进行抗疲劳设计有着重要的参考价值。

关键词：壁板结构；热声疲劳；动态响应；热屈曲；跳变响应
CALCULATION AND ANALYSIS OF DYNAMIC RESPONSE OF THIN-WALLED STRUCTURE UNDER THERMAL-ACOUSTIC LOADINGS
Abstract
Aiming at the dynamic responses of thin-walled structures under complex loadings, with theoretical analysis and numerical simulation employed, nonlinear response of thin-walled structure under thermo-acoustic loading is investigated.
The nonlinear large deflection governing equation of motion for thin plate under thermo-acoustic loading is established firstly. The simplest case, a single DOF equation is then obtained. The influence of the nonlinear term of restoring force on free vibration is discussed. The critical temperature and static deflection of thermal buckling are calculated.
A flat plate, a stiffened plate and a plate with a circular hole in its center with clamped edge condition are selected. Finite element models are built in commercial code ANSYS. With geometric nonlinearity and pre-stress effect considered, the dynamic response of plates under different temperatures and sound pressure levels are computed, assuming that the acoustic load is truncated Gaussian white noise and the thermal load is uniformly distributed. Based on the time histories of displacement and stress, the power spectral density, probability density function and statistics are obtained.
The method and results presented have certain value to the research of the nonlinear response of thin-walled structure under thermo-acoustic loading and anti-fatigue design.
Keywords: thin-walled structure; thermal-acoustic fatigue; dynamic response; thermal-buckling; snap-through response
符 号 表
a,b,h
板的长度，宽度和高度
m
Pcr
临界载荷

E
泊松比

S
屈曲系数

α
线膨胀系数

β
a与b的比值

T*s
四边简支板临界屈曲温度
℃

T*c
四边固支板临界屈曲温度
℃

R
横向载荷

目 录
1 绪论 1
1.1 薄壁结构在声载荷下动态响应的研究方法 1
1.1.1 确定噪声载荷的方法 1
1.1.2 薄壁结构在噪声激励下的动态响应 2
1.2 热声疲劳问题研究现状 3
1.2.1 把问题简化成相应的随机振动问题 3
1.2.2 建立有限元模型有限元方程 3
1.3 壁板结构在热声载荷下的动态响应 4
1.3.1 热声载荷对动态响应的影响 4
1.4 本文完成的主要工作 5
2 热声载荷作用下薄壁结构动态响应的分析 6
2.1 热声载荷作用下壁板大挠度位移方程建立 6
2.1.1 Von-Karman大挠度方程 6
2.1.2 边界条件及横向位移的确定 7
2.1.3 屈曲温度的判定 8
2.2 单自由度模型模态方程的建立 9
2.2.1 运动模态方程的建立 9
2.2.2 非线性模态方程的性质 10
2.3 热屈曲幅值 11
2.4 薄壁板屈曲前后刚度变化 12
2.5 功率谱密度法 12
3 热声载荷作用下薄壁结构响应数值分析 14
3.1 建立模型 14
3.2 计算结构框图 17
3.3 计算结果提取项目 17
3.4 分析方案 17
3.5 实施过程和结果 18
3.6 得到位移及应力的时间历程 20
3.7 经傅里叶变换后各项功率谱密度 21
4 热噪声复合作用下动态响应分析 26
4.1 屈曲模态和屈曲临界温度 26
4.2 平板动态响应特性对比 28
4.2.1 对比加载温度载荷前后平板中点的参数变化 28
4.2.2 对平板同一温度不同声压级下中点进行对比 31
4.2.3 同声压级不同温度下对比响应变化 36
4.3 孔板的动态响应特性分析 38
4.4 影响因素分析 45
5 结论 47
参考文献 49
致 谢 51
附录Ⅰ程序代码 52
附录Ⅱ位移及应力特性分布图 57

1 绪论
本课题是结合的航空推进验证计划项目。航空薄壁结构的问题既是重要课题也是热点问题，目前国内外对这方面展开了大量研究。航空航天飞行器上为减轻重量,大量采用薄壁结构, 如导弹的翼面、 弹头, 航空发动机燃烧室火焰筒, 隔热防振屏等, 在工作时承受着热载荷、强噪声载荷和机械力载荷所产生的高频振动应力,长期暴露在高温强噪声环境下会引起结构材料强度的改变、 弹性模量的改变、 非线性特性的恶化和疲劳特性的改变, 载荷对结构的复杂影响导致实验难以模拟其复杂热 /结构边界条件,由于薄壁结构在高温强噪声复合环境下响应体现为非线性特性,因而求解单由度模型在热噪声激励下的响应, 也会遇到不可逾越的数学障碍。航空薄壁结构承受机械载荷、气动载荷、热载荷、高声强载荷等多种载荷，这些载荷将产生动态响应，造成交变响应力，产生结构的疲劳。为了保证发动机的气动强度，对航空薄壁结构的研究是具有极其重要的意义的。
1.1 薄壁结构在声载荷下动态响应的研究方法
声载荷作用下的结构振动应力研究是声疲劳分析的基础,因此在航空薄壁结构设计过程中估算引起声疲劳的随机振动响应是进行抗声疲劳设计的重要组成部分。目前对噪声载荷下薄壁结构的随机振动响应的研究主要分两步走: (1)确定噪声载荷; (2)估算噪声载荷作用下薄壁结构的动态响应。
1.1.1 确定噪声载荷的方法
噪声载荷的确定是研究声激励下薄壁结构动态响应的前提。然而，实际过程中的噪声是随空间和时间随机变化的，因此实验测量成为确定噪声的主要方法。关于噪声载荷的研究。北京航空航天大学的周盛教授、孙晓峰教授、王同庆教授等对此都作了大量的工作，同时也取得了很大的成绩。沈阳航空工业学院的盛元生教授和沈阳航空发动机设计研究所的有关专家对发动机燃烧室的噪声进行了多次测量,奠定了认识燃烧室噪声场的基础。实际过程中由于某些结构的复杂性和工作环境的特殊性，仅仅通过实验测量的数据不足以代表结构件本身的噪声载荷。因此必须与理论分析相结合，通过必要的假设模拟出整个结构的噪声载荷情况，即建立符合实际的噪声载荷模型。NASA刘易斯研究中心的 Allen. M. Karchmer在这方面作了一定的研究。
1.1.2 薄壁结构在噪声激励下的动态响应
由于薄壁结构受到的声载荷是一个随机载荷，加上其内部不但有平面声波而且还有高阶声模态，这就使得求解随机载荷对薄壁结构响应问题变得非常复杂。国内外许多学者在这方面作了大量的理论与实践研究。目前较为普遍采用的主要研究方法如下:
(1) 模态叠加分析法
模态叠加分析法是研究时不变线性系统随机振动响应的有效方法，它是将系统的响应表示成各模态响应的加权和，也就是各模态对于系统响应的贡献量的叠加。Miles是最早应用模态叠加分析方法做此项研究的学者之一。随后 Powell, Clarkson也都提出了自己在这方面的研究观点。M. P. Norton研究了管流噪声对管道的振动问题，提出了一个估算管道表面平均管壁加速度响应的功率谱密度的估算公式：
Gω=8/(ρh)α=1∞ω4J2αα(ω)/[ω2-ωα22+4ζα2ωα2ω2]Gpp(ω) (1.1)
(2) 数值积分法
应用数值积分法研究随机振动的动态响应也很受人们的关注,它主要是通过一些数学方法对响应进行时域或频域上积分而获得最后的结果。其中Monte Carlo法是时域积分法中经常使用的一种方法。时域Monte Carlo法，可以用来解决非线性系统随机激励响应。它可以用于求解很多具有概率性质的问题，广泛应用于解非线性，非匀质和时变材料特性、 非平稳、 非均匀输入等问题。时域Monte Carlo法的本质特征是先对输入的随机载荷进行仿真， 建立载荷的空 - 时历程，然后根据式:
S (ω) - I (ω) - A (ω) = P ( t， x) (1.2)
当响应过程为各态历经 ,总体平均可用时间平均来代替，从而可以节省大量的计算时间。R. Vaicaitis 在这方面有着一定的研究，而且颇有成就。暨南大学的张森文等人应用精细积分时域平均法计算了随机振动响应，为研究薄壁结构在声载荷下的动态响应开辟了另一条道路。所谓精细积分时域平均法，就是利用响应的时域平均来计算响应的统计特征，而时域平均又是通过高精度的精细积分所求得。它能很好地高精度地求出各种情况下随机振动系统响应的统计特征。精细积分时域平均法是一种计算结构随机振动响应的有效时域方法，它适用性广，能求各种随机激励作用下各种系统的响应，并且精度高，速度快，收敛性好，可求得系统响应时间历程。结合分段等效线性化方法，还可用于某些非线性系统的动力响应求解。

1.2 热声疲劳问题研究现状
飞行器壁板结构在强噪声及高温作用下的动态响应分析有两种典型的方式
1.2.1 把问题简化成相应的随机振动问题
第一种方式通常用单自由度模型，表示为sx,y,z,t=qtΨ(x,y,z)，其中Ψ(x,y,z)为预设的矢量，与板的线性模态振型接近。提供了响应的空间描述，qt为随机过程参变量，代表的是瞬时变化的响应幅度。用这种方法导出qt的杜芬型方程，幸运的是响应功率谱密度的精确解是存在的。在固定的范围内，杜芬振荡器以白噪声振动为条件，因而一个完整的响应分析可以实现。单自由度分析的弱点是不能定性分析板的响应，用整体有限元法可以解决这个问题，但是和蒙特卡洛法相关的有限元法的计算量很大，计算适用于后阶段处理，不适用于设计阶段。可采用的有限元方法能够有效的缩短计算时间。亚利桑那州立大学的A. G. Radu, B. Yang, Kim, and M. p. Mignolet, 利用降阶模型法大大减缩了计算时间，精确度和整体有限元法有高度的一致性。沈阳航空航天大学动力与能源学院沙云东教授应用边界元和有限元相结合的方法，对常温下薄壁板在高强噪声激励下的响应做了大量研究。
1.2.2 建立有限元模型有限元方程
Monte Carlo方法作为一种时域分析方法，可有效用于估算非线性结构对随机载荷的响应、具有非均匀和/或时变材料属性的结构的时——空域分析、以及结构对非均匀和非稳定输入的响应。该方法已用于非线性结构对随机压力场/声场作用下的动态响应分析。
目前，国内外研究者已经针对在时——空域中模拟随机表面压力问题开展了研究，并开发出了可以在时间域仿真一维变量随机压力的计算程序（如SIMLOAD等），这些仿真的时间历程是非线性问题时域求解所需要的输入。研究表明：对于具有时——空不变材料属性的结构，且其边界条件可以预先很好的定义，可以通过模态分析获得的各阶模态来分解结构振动，接着采用Galerkin方法求解。特别是矩形平板对非均匀分布的随机压力的非线性挠度/应力响应，已经可以在时域中实现。
Monte Carlo方法可以与其他数值计算方法相结合，例如，可以与有限元方法集成在一起，计算具有随机材料性质和随机载荷输入的结构的动态响应。然而，需指出的是，对于与结构表面流体压力脉动及声疲劳有关的非线性问题，采用有限元法的Monte Carlo方法将需要巨大的计算机存储空间和超长计算机时，因此，在工程应用中目前还有很大局限性。
时域蒙特卡罗(Monte Carlo)法的本质特征是首先对输人的随机载荷进行仿真，建立载荷的空一时历程；然后根据式(1)对许多仿真的空一时构造，用数值方法(数值积分)逐步求解，获得结构响应的空一时历程；再对这些数值解(响应的空一时间序列)统计总体平均。当响应过程为各态历程，总体平均可用时间平均来代替。研究处于气流中受随机声载荷激励的结构响应时，结构-气动弹性系统暴露于随机声载荷下的广义运动方程可写成算子的形式，见式(1.2)。
随机声激励载荷P(t，x)的仿真，其实质是用一系列具有随机相位角(分布于0—2π间)的余弦函数来仿真随机载荷的空一时历程，这可通过FFT算法进行；另一种仿真方法是使用ARMA(自回归滑动平均)模型，这对于数字生成的采样函数特别适合。
1.3 壁板结构在热声载荷下的动态响应
在高温强噪声环境下，壁板机构易发生跳变响应，G.Steven Goley研究了热屈曲两端固支薄梁结构在声载荷作用下的跳变响应。如果不考虑声载荷的作用，在温度超过薄梁屈曲的临界值时，将会产生一个或两个甚至多个热屈曲平衡位置，此时梁变得不稳定。在这种状况下，梁的一端存在着一个高的静态拉伸应变，另一边存在着一个高的压缩应变。当低幅值的声载荷作用到结构上，振动应变要比静态应变低。
热声载荷下影响壁板结构跳变响应的因素有温度和噪声的影响，还有壁板结构材料特性影响，本文阐述温度及噪声对结构的影响。
1.3.1 热声载荷对动态响应的影响
通过研究弯曲板在热声载荷作用下的响应分析表名，在温度升高的情况下，结构响应的均方根值降低了。弯曲板中温度的改变既影响固有频率也影响与其相应的模态振型。承受更小温度载荷的弯曲板在降低声压级时要比承受更高温度载荷易于产生跳变响应。热载荷作用下膨胀的弯曲板提高了临界跳变载荷。需要强调的是，由于热硬化效应，模态间的相对顺序随着加载温度改变而改变。
G. Steven Goley and Brian J. Zappia研究了热声载荷对薄梁结构热屈曲后跳变现象的影响，同样指出跳变频率随着声载荷激励水平的增大而增大。噪声载荷不变时，随着温度增加跳变频率降低。
1.4 本文完成的主要工作
严酷环境中工作的先进航空航天器结构会受到，包括复杂的机械力载荷、压力载荷、声载荷、和热载荷，这些载荷会导致结构以非线性方式响应。航空航天器表面结构可以简化为壁板模型，在高温强噪声载荷作用下，结构易发生跳变响应亦即跳变屈曲。
本文研究热及噪声载荷复合作用下壁板动态响应特性，由于均匀热载荷的影响，受约束产生热应力的结构变的不稳定，在随机噪声载荷激励下会发生跳变响应。由于几何非线性的影响，结构热屈曲后刚度增大，声载荷单独作用下结构刚度亦会发生改变，热及噪声共同作用下结构刚度变化更复杂。
分别建立平板、孔板、肋板三种有限元模型，在不考虑材料非线性的情况下，结合有限元软件，在时域内对热声载荷进行模拟，然后在频域内对热结构施加模拟的声载荷进行动响应分析，分析薄壁应力及位移概率分布特点，以及热及噪声载荷对结构刚度的影响，通过对比同一温度下不同声压级，及同一声压级不同温度下的结构响应，获得结构动态响应的变化规律。
2 热声载荷作用下薄壁结构动态响应的分析
非线性系统的数学模拟通常采用非线性微分方程，由于不能应用叠加原理，线性系统中有效方法（振型叠加法、卷积积分法等）都不适用，因此采用近似法或数值法，主要有FPK方程法、等效线性化方法和摄动法，此外，还有随机平均法、等效非线性系统法，矩阵微分方程法和各种拟静态法、泛函级数展开法及数值模拟法。
本文引用单自由度模态方程浅析了薄壁结构非线性动态响应的理论，为进一步分析薄壁结构的动态响应做准备。
2.1 热声载荷作用下壁板大挠度位移方程建立
2.1.1 Von-Karman大挠度方程
壁板小挠度弯曲理论中忽略中面变形，当板的挠度达到板厚量级时，边界约束中面变形引起的薄膜力已不能忽视，考虑中面变形和弯曲变形所建立的计算理论称为薄板大挠度弯曲理论。在高温强噪声复合环境下壁板动态响应属于大挠度弯曲振动，其弯曲应力由薄膜应力和弯曲应力组成，薄膜力不仅由中面载荷直接作用所产生，而且还与板中面的挠度有关，因而引起弯曲变形和薄膜应变的耦合性质。
冯卡门大挠度微分方程：
(1) 大挠度动态理论方程
D∇4w+Eα/(1-ν)∇2Mθ=Nxx∂2w∂x2+Nyy∂2w∂y2+2Nxy∂2w∂x∂y+R (2.1)
(2) 应变协调方程
∇4F+Eα∇2Nθ=-Eh2L(w,w) (2.2)
其中为温升，θ=T-Tref Nθ=hθ ，Mθ=-h2h2θzdz，温度弯矩的折算值。
R=-ρh∂2w∂t2-ρhξ∂w∂t+P 分别为惯性力、阻尼力和外加压力P，在本文中，为抗弯刚度。F为应力函数。
Nxx=∂2F∂x2 ， Nyy=∂2F∂y2 ， Nxy=∂2F∂x∂y (2.3)
温度为稳态温度，在薄板上分布均匀，噪声载荷为均值为零的高斯有限带宽白噪声，时间上随机分布，空间上为确定性函数。有限带宽高斯白噪声在其频带宽度范围内，各品类分量的能量分布均匀。由于噪声功率谱密度是可求的，薄板结构在有限带宽高斯白噪声载荷作用下的响应分析可在频域里分析。
2.1.2 边界条件及横向位移的确定
薄板大挠度位移的边界条件有两部分组成，位移边界条件和应力边界条件。本文只介绍四边简支和四边固支两种情况。
四边简支情况下：
位移边界条件
边界上挠度为零，弯矩为零，即：
x=0,α时，w=0，∂2w∂x2=0 ；y=0,b时，w=0，∂2w∂y2=0 (2.4)
应力边界条件
x=0,α时， ∂2F∂x2=0， ∂2F∂y2=0 ；y=0,b时， ∂2F∂x2=0 ∂2F∂y2=0 (2.5)
四边固支情况下：
（1）位移边界条件
边界上挠度为零，沿坐标轴方向曲率为零，即：
x=0,α时，w=0，∂w∂x=0；y=0,b时，w=0，∂w∂y=0 (2.6)
（2）应力边界条件
x=0,α时，∂2F∂x2-μ∂2F∂y2=0 y=0,b时，w=0，∂2F∂y2-μ∂2F∂x2=0 (2.7)
平板的横向位移函数是板在热声载荷联合作用下，沿Z轴的位移响应。由相容性方程（2.1）和横向位移方程（2.2）来求解是非常困难的，假定板的振动响应以基频为主，其余各阶的模态响应忽略不计。
四边简支板的横向位移函数为：
Wx,y,t=q(t)hsinπxsinπy (2.8)
式中：q(t)仅为时间t的函数，q(t)的最大值等于W的最大值除以板的厚度h。显然式（2.8）满足位移边界条件。
四边固支板的横向位移函数为
Wx,y,t=qth1-cos2πx(1-cos2πy) (2.9)
显然，该横向位移函数满足位移边界条件。
2.1.3 屈曲温度的判定
屈曲温度的判定是按照薄板分支屈曲计算的，在有限元分析中，对应于屈曲特征值分析，由于薄板不可避免的存在各种缺陷，利用有限元法考虑集合非线性的出来的结果要低。
对于四边简支板，假设板受热均匀，且没有外作用力，则平衡方程式（2.1）变为：
D∇4w+Eα1-ν∇2Mθ=Nxx∂2w∂x2+Nyy∂2w∂y2+2Nxy∂2w∂x∂y (2.10)
由于温度均匀，热力距为零，上式化简为：
D∇4w=-Eαh1-νθ∂2w∂x2+∂2w∂y2 (2.11)
边界条件如(2.4)及(2.5)所示，横向位移函数(2.8)变为：
Wx,y,t=Asinπxsinπy (2.12)
代入(2.11)可得：
Dπa2+πb2=Eαhθ1-μ (2.13)
临界屈曲温度可求得：
T*s=θcr=π2h2(β2+1)12ab2(1+μ) (2.14)

同样道理，四边固支条件下屈曲温度可推导得
T*c=π2h2(β4+2β2+1)12ab2(1+μ) (2.15)
屈曲系数定义为：s=t-TrefTcr ，t为薄板温度，Tcr为屈曲温度（相对于参考温度的增量）
2.2 单自由度模型模态方程的建立
2.2.1 运动模态方程的建立
为了定性研究薄壁板结构在热声环境下的响应规律，假设只有一阶模态参与，使用加勒金法降阶，得到简化后的无量纲模态方程：
q+2ω0ξq+ω201-sq+kq3=f+f0 (2.16)
其中：对于四边简支板：
ω0=1+β2s=T0k=4APs=γ2ρh216π2gtγ=ρhb4π4D12f=PsA=34[1-μ21+β4+2(β4+2μβ2+1)] (2.17)
对于四边固支板：
ω0=1631+2β23+β4s=T0k=1289BPc=γ2ρh2gtγ=ρhb4π4D12f=PcB=34β2+β-2+2μ+49(1+μ2)[178β2+β-2+4β+β-12+1β+4β-12+14β+β-12] (2.18)

2.2.2 非线性模态方程的性质
以四边固支板为研究对象，其模态方程式为(2.16)，式中各含义见(2.18)，其模态方程含非线性三次项kq3，为杜芬型方程，系统含有时间变量，为非自治系统。为了反映非线性屈曲的本质，首先讨论无外载荷，无阻尼情况下薄板自由振动特点。
恢复力方程：
fx=ω201-sq+kq3 (2.19)
系统的势能方程为：
Vx=ω201-sq22+kq4/4 (2.20)
相轨方程为：
y2+ω201-sq2+12kq3=E (2.21)
假定=1，=0.3，s分别取0，1，2，3。

图2.1 势能方程
从图2.1可以看出：
s=0时势能曲线成单凹井状态，能量最低位置在q=0处，此时q=0为板的振动平衡位置，即屈曲前振动相对于板中面是对称的。
当温度继续增高的临界屈曲温度时，此时s趋近于1，板进入屈曲状态，开始产生变形，对应图中在q=0临近的小区内势能值均为零。
s=2和s=3时，曲线呈双凹井形态，由前面分析可知，此时薄板有两个稳定平衡位置，分别在q=0的两侧势能取极小值处，q=0已不再是稳定平衡位置，即板进入屈曲后产生了稳定平衡位置的改变。这正是薄板屈曲后阶段所产生的现象。
屈曲前s=0时，只有一个稳定点，热屈曲后系统至少有一个平衡位置，在声激励下易发生跳变响应。
2.3 热屈曲幅值
热屈曲幅值为静态幅值，四边简支板和四边固支板模态方程中时间变量t的微分项均是零，统一形式的模态方程(2.16)式可以写为：
ω201-sQ+kQ3=f+f0 (2.22)
式中：Q为热屈曲幅值。
当热载荷较弱(s<1)是组合刚度项为正，方程只有一个正根，为：
Q=f+f02k+f+f02k2+ω201-s3k313+f+f02k-f+f02k2+ω201-s3k313 (2.23)
对(2.23)式进行分析可知，当f和f0均为零时，上式只有Q1=0一个实根，只要f和f0不同为零，Q就有实数解，其中f0体现了沿板厚度方向的温度梯度，f体现了外部噪声载荷的作用。
当板进入屈曲后状态时，s>1，此时组合刚度项为负值，则(2.22)上式可写成：
kQ3-ω20s-1Q=f+f0 (2.24)
当f和f0均不为零时，屈曲幅值为：
Q2=f+f02k+f+f02k2-ω201-s3k313+f+f02k-f+f02k2-ω20s-13k313 (2.25)
当f和f0均为零时，屈曲幅值为：
Q3=±ω0s-1k (2.26)
2.4 薄壁板屈曲前后刚度变化
式(2.26)所示的Q3对应于势能曲线的双凹井处，当热载荷足够强（s>1）并且假设f和f0均为零时，它是薄板在后屈曲状态下的稳定平衡位置。对统一形式的模态方程(2.16)进行坐标变换，令
q=q1+Q3 (2.27)
式中(2.27)式代入(2.16)式中，得到：
Q3+q1+ω0ξQ3+q1-ω0s-1Q3+q1+k(Q3+q1)3=f+f0 (2.28)
由于Q3为静态位移，所以Q3=Q3=0，故整理后得：
q1+ω0ξq1-ω20s-1q1+kq13-ω20s-1Q3+kQ33+3Q23q1+3Q3q21=f+f0 (2.29)
并且有：

kQ33-ω20s-1Q3=03kQ23q1=3kω20s-1kq1=3ω20s-1q1 (2.30)

将式(2.30) 代入(2.28)式中整理得：
q1+2ω0ξq1+2ω20s-1q1+kq13+3kQ3q21=f+f0 (2.31)
式(2.31)表示的是平板在Q3附近的振动，与屈曲前相比，可知其线性项前的综合刚度是屈曲前的2倍，因此可以得出结论，当平板由于温度载荷出现热屈曲后，其固有频率提高了2倍。
2.5 功率谱密度法
功率谱密度法的依据是随机过程理论，假定实测的应力-时间历程是真实应力过程的一个样本，由此得到随机过程中不同频率成分上的能量或随机应力的强度的分布状况，而不直接涉及这个样本的随机幅值序列。随机载荷长期作用就会使零件产生随机疲劳。一般的随机载荷，其应力幅和平均应力都是随机变化的，这样，使随机疲劳计算变得很复杂。假设我们现在处理窄带平稳过程，问题就变得简单了。因为在这种情况下，只有应力幅是随机变化的。得到了应力幅的概率分布规律后，问题就容易求解了。
结构的声疲劳是典型的宽带、中高频随机载荷作用下结构的疲劳问题，涉及的主要问题有：噪声载荷的确定，噪声载荷作用下结构随机振动应力响应的计算以及噪声疲劳损伤和寿命估算。其中热和强噪声载荷作用下的结构振动应力响应计算是本文研究所涉及到的内容。
3 热声载荷作用下薄壁结构响应数值分析
数值建模计算与结果分析方案。
3.1 建立模型
本文中分别考虑了平板，孔板，加肋板三种情况，并分别建立模型。三种模型都选取了同种材料，铝合金。杨氏模量E=7.3×1010Pa，密度ρ=2700kg/m3，泊松比μ= 0. 32， 线膨胀系数α=22.3×10-6/℃。三种模型边界条件均为固支。

图3.1 平板模型
a=b=240mm，h=2mm 应用SHELL 181单元
SHELL 181单元适用于薄到中等厚度的壳结构，该单元有四个节点，单元每个节点有六个自由度，分别为沿节点X, Y, Z方向的平动及绕节点X, Y, Z轴的转动。退化的三角型选项用于网格生成的过度单元。SHELL 181单元具有应力刚化及大变形功能。该具有强大的非线性功能，并有截面数据定义，分析，可视化等功能，还能定义复合材料多层壳。SHELL 181单元的截面定义了垂直于壳X-Y平面的形状。通过截面命令可以定义Z方向连续层，每层的厚度，材料，铺层角及积分点数都可以不同。SHELL 181单元支持非线性分析，本文选自这个单元是合理的。

图3.2 节点在平板上的位置示意图

图3.3 孔板模型
a=b=240mm，h=2mm，应用SHELL 181单元
节点位置示意图：

图3.4 开孔板上节点位置示意图

图3.5 肋板模型
a=b=240mm，h=2mm，应用SOLID 45单元。
3.2 计算结构框图

图3.6 计算结构框图
3.3 计算结果提取项目
平板模型中，对中心点处109节点、1/4处76节点、1/4面中心处79节点进行提取数据，分别为Z向位移，X向应力， Y向应力，XY向应力，Von Mises应力。
孔板模型中，对中心点处326节点、两孔中心线中点处413节点、孔边缘处138节点进行提取数据，分别为Z向位移，X向应力， Y向应力，XY向应力，Von Mises应力。
肋板模型中，对肋背面边缘1025节点、肋背面中心1027节点、肋背面中点1034节点，四分之一面中心1206节点，正面中心点2049节点，肋上边缘点2066节点，肋上中点2074节点进行提取数据，分别为Z向位移，X向应力， Y向应力，XY向应力，Von Mises应力。
3.4 分析方案
将ANSYS软件计算所得结果在MATLAB软件通过编程进行傅里叶变换，得到功率谱密度。在同一声压级下对比不同温度对结构的影响，在同一温度下对比不同声压级对结构的影响。本文中选定160dB声压级，分别加载0、10、20、30、40、50、60这七个温度，通过此分析温度在跳变响应中的产生的影响。另外还选定了30℃温度，在此温度下分别加载158dB、160 dB、162 dB三个声压级的载荷，由此分析声压级升高后，对薄壁结构产生的影响。
对所获得的数据进行傅里叶变换后得到了功率谱密度，由此可以从频域的角度对结构的响应进行分析。
由于温度的影响，结构在噪声激励下的响应变得复杂。
3.5 实施过程和结果
平板加载热载荷和声载荷后模态图：

位移模态图 应力模态图

图3.7 前5阶位移及应力模态图
3.6 得到位移及应力的时间历程

Z向位移 X向应力

Y向应力 XY向应力
Von Mises应力
图3.8 平板中点(节点109)处位移及应力时间历程 (载荷工况：T=30℃ SPL=162dB)
通过Z向位移和X向应力的时间历程可以看到明显的跳变现象。

3.7 经傅里叶变换后各项功率谱密度

(a)Z向位移功率谱密度

(b)X向应力功率谱密度

(c)Y向应力功率谱密度

(d)XY向应力功率谱密度

(e)Von Mises 应力功率谱密度
图3.9 平板中点处位移及应力功率谱密度(载荷工况：T=30℃ SPL=162dB)
使用MATLAB软件通过编程对数据进行处理，得到位移概率密度和各项应力概率密度。

图3.10 Z向位移的时间历程

图3.11 位移概率密度

算出位移及各项应力的有效值、方差、均方根值。

表3.6 各节点位移(m)及应力(Pa)参数
节点

Z向位移
X向应力
Y向应力
XY向应力
Von Mises应力
109
均值
0.002816409
61390606.6
61978979.6
398069.1045
87836808.84
有效值
0.003569226
90145978
90488307.1
7214851.202
92398889.23
方差
4.81E-06
4.36E+15
4.35E+15
5.19007E+13
8.2233E+14
76
均值
0.001593405
6489797.537
-5479558.8
-243626.49
42443265.87
有效值
0.002079459
51941919.54
43107899.8
6319968.181
52349190.06
方差
1.79E-06
2.66E+15
1.83E+15
3.98866E+13
9.39099E+14
79
均值
0.000874948
-38253067.4
-37811146
14541088.7
59866005.42
有效值
0.001183023
51460860.21
51408209.3
21894896.04
64651854.65
方差
6.34E-07
1.19E+15
1.21E+15
2.6797E+14
5.95982E+14

此为一次加载过程，依此例，分别进行不同温度不同声压级的次计算。
4 热噪声复合作用下动态响应分析
4.1 屈曲模态和屈曲临界温度
表4