第三章 平面机构的运动分析.doc

本次课题： 平面机构的运动分析
教学要求：
1） 明确机构运动分析的内容、目的及方法。
2）深入理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心）的概念，学会运用“三心定理” 确定一般平面机构各瞬心的位置。掌握用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析；
3）熟练掌握相对运动图解法对机构进行速度、加速度分析；
4）学会用矢量方程解析法进行机构速度、加速度分析；

重 点： 瞬心法对机构进行速度分析、相对运动图解法对机构进行速度、加速度分析
难 点：瞬心的概念及求法、相对运动图解法矢量方程、速度和加速度多边形、哥氏加速度、影像法、矢量的微分运算
教学手段及教具：讲解时主要利用黑板画图，边讲，边提问、边讨论、边作图，要使学生自始至终参与矢量方程的图解过程。连杆机构运动仿真课件；
讲授内容及时间分配：讲授7学时包括一个学时的习题课。
1） 机构运动分析的内容、目的及方法；
2）速度瞬心法及其在机构速度分析上的应用：深入理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心）的概念，运用“三心定理”确定一般平面机构各瞬心的位置；
3）例题：用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析。
4）用相对运动图解法求机构的速度和加速度：同一构件上点间的速度和加速度的关系及求法、两构件的重合点间的速度和加速度的关系及求法；
5）例题：用相对运动图解法求机构的速度和加速度时应注意的问题；
6）用矢量方程解析法解析法作机构的运动分析。

课后作业
至少应包括：
用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析、同一构件上点间的速度和加速度的关系及求法、两构件的重合点间的速度和加速度的关系及求法及其逆问题（以二级机构为主，同时注意特殊位置的情况）
阅读指南
本章介绍的机构运动分析内容以图解法为主，对解析法内容也仅仅介绍了几何意义较强的简单的矢量方程解析法，且主要针对平面机构，现代机构学尤其是研究空间机构多采用矩阵法，方向余弦矩阵、位移矩阵、旋转矩阵、螺旋矩阵、微分旋转矩阵、微分位移矩阵等概念在现代机构运动分析经常用到，特别是用电算求解机构运动问题，这方面内容可以参阅：
《机构学和机构设计》[美]C.H苏、C.W拉德克利夫著 上海交通大学机械原理及机械零件教研室译 北京：机械工业出版社1983
《机构设计-分析与综合》[美]A•G•厄尔曼、G•D• 桑多尔著，庄细荣、党祖祺译，北京：高等教育出版社1992
《高等机构设计-分析与综合》[美]A•G•厄尔曼、G•D• 桑多尔著，庄细荣、杨上培译，北京：高等教育出版社1993
《空间机构的分析与综合》张启先编著 北京：机械工业出版社1984
《平面连杆机构分析与综合》曹惟庆著，北京：科学出版社 1989

第三章 平面机构的运动分析
§3-1 研究机构运动分析的目的和方法
1、 运动分析：
已知各构件尺寸和原动件的运动规律→从动件各点或构件的（角）位移、（角）速度、（角）加速度。
2、 目的：判断运动参数是否满足设计要求？为后继设计提供原始参数
3．方法：
图解法：形象直观、概念清晰。精度不高？（速度瞬心法，相对运动图解法）
解析法：高的精度。工作量大？
实验法：
§3-2 速度瞬心法及其在机构速度分析上的应用

1、速度瞬心：两构件作平面相对运动时，在任意瞬间总能找到这样的点：两构件的相对运动可以认为是绕该点的转动。
深入理解速度瞬心：
1） 两构件上相对速度为零的重合点，即同速点；
2） 瞬时具有瞬时性（时刻不同，位置不同）；
3） 两构件的速度瞬心位于无穷远，表明两构件的角速度相同或仅作相对移动；
4） 相对速度瞬心：两构件都是运动的；
绝对速度瞬心：两构件之一是静止的（绝对速度为零的点；并非接触点的变化速度）；

2、机构中瞬心的数目年K：
n —— 构件数(包括机架)
3、瞬心位置的确定
1） 直接观察法（定义法，由于直接形成运动副的两构件）；

2）三心定理法：用于没有直接形成运动副的两构件

三心定理：作平面运动的三个构件共有3个瞬心，它们位于同一直线上。
证明（反证法）：

P23位于P12、P13的连线上（为方便起见，设1固定不动）
设：K代表P23，设K不在P12、P13连线上，
根据瞬心定义：，（同速点）
即：
假设不能成立（连起码的方向都不可能一致）
3、 速度瞬心法在机构运动分析中的应用

1）图示高副机构，设已知ω1求图示位置构件2的角速度ω2

2）铰链四杆机构，速度瞬心法
3）曲柄滑块机构
4）直动平底从动件凸轮机构

5）图示机构，已知M点的速度，用速度瞬心法求出所有的瞬心，并求出VC，VD，i12。

解：直接观察：P12、P23、P34；
P14=（n_-n）. × VM ; P13= P12P23. × P14P34
P24= P12P14 × C·P24P34 ; ω1= VM/ P14M ; VB= P14B·ω1
ω2=VB/ P12P24 ; VC= P24C·ω2
ω1/ω2=( VM/ P14M)/( VB/ P12P24); VD= P24D·ω2

速度瞬心法小结：
1） 速度瞬心法仅用于求解速度问题，不能用于求解加速度问题。
2） 速度瞬心法用于简单机构（构件较少），很方便、几何意义强；
3） 对于复杂机构，瞬心数目太多，速度瞬心法求解不便（可以只找与解题有关的瞬心）
4） 瞬心落在图外，解法失效。
5）瞬心多边形求解的实质为三心定理，对超过4个以上构件的机构借助于瞬心多边形求解较方便。

§2—3 用相对运动图解法求机构的速度和加速度
一．矢量方程图解法基本原理：用相对运动原理列出构件上点与点之间的相对运动矢量方程，然后作图求解矢量方程。
1． 矢量方程（高副低代）

2。矢量方程的图解

每个矢量方程可以求解两个未知量

二、同一构件上点间的速度和加速度的关系及求法

图示机构，已知：机构各构件的尺寸及φ1、ω1、ε1；
求VC、VE、aC、aE、ω2、ε2、ω3、ε3

解：
1、求速度和角速度

大小 ？ lABω ？
方向 ⊥CD ⊥AB ⊥BC → VC

大小 ？ ？ √ ?
方向 ？ √ ⊥BE √ ⊥EC → VE

, 方向：顺时针,，逆时针 (方向判定采用矢量平移)
在速度多边形中，△bce和 △BCE相似，图形bce为 BC’E的速度影像。

在速度多边形中：P→极点，
注意：速度影像只能应用于同一构件上的各点。

小结：
1） 一个矢量方程最多只能求解两个未知量；
2） P称为极点，它代表机构中所有构件上绝对速度为零的点（速度多边形中仅此一点，它可能对应机构中多个点：机架上的点或构件的绝对瞬心点）
3） 由P点指向速度多边形中任一点的矢量代表该点的绝对速度大小和方向；
4） 除P点之外的速度多边形上其它两点间的连线，则代表两点间的相对速度（注意b→c = VCB）
5） 角速度的求法：ω=VCB/LBC 方向判定采用矢量平移;该角速度就是绝对角速度，(随同基点平动+相对转动)
6） 同一构件上，已知两点的运动求第三点时才可以使用速度影象原理。（机构整体不存在影象）
7） 随意在速度矢量图上指定一点，可能在机构图中的每一个构件上按影象原理找到对应的点。
8） 多杆机构的运动分析通常按杆组的装配顺序进行。

2、求加速度，角加速度

或
大小 ? ?
方向 C→D ⊥CD B→A ⊥AB C→B ⊥BC

求：

方向 ？ √ E→B ⊥BE
大小 ？ √
加速度多边形中：

同理：
∴
∴ 即 和BCE相似，称为BCE的加速度影像。
用处：
注意：只用于同一构件上。

三、两构件的重合点间的速度和加速度分析

已知机构位置，尺寸，等角速
求。
解：1、取作机构运动简图
2、求角速度

大小 ？ ？
方向 ⊥BC ⊥AB ∥BC
∴，顺时针
3、求角加速度

方向 B→C ⊥BC B→A ⊥BC ∥BC
大小 ？ ？
；°（）

方向：将沿转动90°。
∴ ，逆时针

举例：
已知：机械各构件的长度，（等角速度）
求：滑块E，， 导杆4，

矢量方程图解法的特点及注意事项
1） 该法的几何意义强、直观简便，具有普遍的适用意义。适用两类方程可以对所有低副机构作运动分析；
2） 本方法的工作量大（尤其分析机构整个运动循环时）、精度低（不绝对，若采用AUTOCAD绘图解的精度很高）。
3） 影象法的使用可以大大简化求解过程，但应注意使用条件（同一构件）；
例题：图示铰链四杆机构，速度和加速度矢量图已作出，但不完整，请补全，并：.
a) 求构件1，2，3，上速度为Vx的X1、X2、X3的位置
b) 构件2上加速度为零的点Q，标出该点的速度VQ；
c) 构件2上速度为零的点E，标出该点的加速度aQ；

4） 对含有三级杆组的机构需注意，其位置图需描轨迹取交点确定，其运动分析可借助特殊点法求解或结合瞬心法）

5） 速度矢量图随原动件角速度不同按比例变化，可以用此原理变化机架，求解三级机构速度分析问题。（但加速度不存在此原理）
6） 同一构件上的两点的速度在其两点的连线上投影相等；组成移动副两构件重合点处的速度在垂直导路方向的投影相等；

7） 某些机构处于特殊位置时的速度、角速度多边形可能成为直线、重合点或运动不确定问题，需引起注意；

关于科氏加速度ak问题：（2ωV r中，使用拿一个，的方向及有时ak为零）

8） 对于某些含有移动副的机构，采用扩大构件找重合点、杆块对调或导路平移的方法，往往可以使问题简化；

§2-4 用矢量方程解析法解析法作机构的运动分析
一．矢量的基本知识
1） 矢量的表示方法
e -----单位矢量;
et -----切矢（切向矢量：反时针转90゜）;
en -----法矢（法向矢量：反时针转180゜）;
e =i cosθ+j sinθ (i 、j代表与X、Y轴同向的单位矢量)
L=L e =L∠θ=L（i cosθ+ j sinθ）
2） 单位矢量的运算--------点积运算
(1)点积运算：a • b = a b cosθ (标量运算：数量积，与次序无关，θ两矢量间的夹角)
(2)e1 • e2 =1 cos(θ2-θ1)-----(理解：投影)；
(3)e1 • i= cosθ-----(在X轴上的投影)
(4)e1 • j= sinθ-----(在Y轴上的投影)
(5)e • e =1-----(自身点积为1，用于消去θ)
(6)e1 • en =-1-----(反向点积)
(7)e1 •et =0(在⊥方向的投影为零，用于消去该矢量)
练习： e1 • et2=cos[(θ2 + 90゜)-θ1]=-sin(θ2 -θ1)
e1 • en2= cos[(θ2 + 180゜)-θ1] =-cos(θ2 -θ1)
3) 单位矢量的运算--------微分运算
（1） 对θ的微分：（对θ微分一次转90゜）
e′= - i sinθ+ j cosθ= - i cos（90゜+θ）+ jsin（90゜+θ）
et″= et′= - i cosθ- j sinθ= - （i cosθ+ jsinθ）= - e = en
（2）矢量e对时间t的微分：（e对θ微分,θ再对t微分）
de/dt = (de/dθ)(dθ/dt) = ω et
det/dt= (det/dθ)(dθ/dt)=ω en
d″e/d″t = (de/dt)′=d(ωet)/dt=εet + ω2 en
(单位矢量的切向加速度+单位矢量的法向加速度)
(3)对定长矢量的微分
dL/dt = d( Le )/dt= Lωet
det/dt= (det/dθ)(dθ/dt)=ω en
d″L/d″t = d (L ω et )/dt = L ε et + L ω2 en
(定长矢量的切向加速度+定长矢量的法向加速度)

二、用矢量方程解析法进行机构运动分析
(用图示机构说明本方法的解题步骤)
1） 建立坐标系和封闭矢量图
L1 + L2 = L3 + L4
大小 √ √ √ √
方向 √ ？ ？ √
2） 进行位置分析
（1）求解θ3
L2 = L3 + L4 -L1
方程两端各自点积（消去θ2） ： L2 •L2 =（ L3 + L4 -L1）•（L3 + L4 -L1）•
整理后，得：A Sinθ3+ B Cosθ3 + C =0
式中：A=2l1l3sinθ1 ; B=2l3(l1cos-l4) ;
C = l=22 - l=12 - l=32 - l=42+ 2l1l3 cosθ1

3)进行速度分析
由位置方程：l1 e1 + l2e2 = l3 e3 + l4 e 4
（1）对时间进行一次微分；
ω1l1 et1 +ω2l2 et2 =ω3l13et3 +ω4l4et4
（2）求ω3，用e2 点积上式，消去θ2
ω3=ω1l1sin(θ1-θ2 )/ l3sin(θ3-θ2 )
（3）求ω2，用e3 点积上式，消去θ3
ω2=-ω1l1sin(θ1-θ3 )/ l2sin(θ3-θ2 )

3） 进行加速度分析
由速度方程：ω1l1 et1 +ω2l2 et2 =ω3l13et3
(1) 将速度方程对时间再进行一次微分解得：
ε1l1 et1 +ω12 l1 en1+ε2l2 et2 +ω22 l2 en2 =ε3l3 et3 +ω32 l3 en3
（2） 求ε3，用e2 点积上式，消去θ2（ et2 •e2 = 0；en2 •e2 = -1）
得：ε3=[ω12 l1 cos(θ1-θ2)+ ω22 l2 -ω32 l3 cos(θ3-θ2 ) ] / l3 sin(θ3-θ2 )

（3） 求ε2，用e3 点积上式，消去θ3
得：ε2=[-ω12 l1 cos(θ1-θ3) + ω32 l3 -ω22 l2 cos(θ2-θ3)] / l2 sin(θ2-θ1)

时间允许情况下再举一个摆动从动件凸轮机构的例子，进一步介绍机构位置方程的建立，并验证高副低代。
习题课选题类型要全面、要有特点，习题有简单到复杂，层层深入，要抓住基本问题进行讲解，切忌过难题目。

机构的运动线图
要了解机构的运动特性，需了解机构在一个运动循环中各个位置时的位移、速度、加速度的变化情况。把这些运动参数的的变化情况用曲线表示出来就是机构的运动线图。这些运动线图能十分直观的表示出机构的运动性能。以曲柄滑块机构及课件为例介绍机构运动线图的做法。并分别说明图解法分析、解析法分析的特点。

第三章 平面机构的运动分析
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