模块综合检测(B).doc

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模块综合检测(B)
(时间：120分钟　满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知sin α＝，则cos 2α的值为________．
2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b＝________.
4．设cos(α＋π)＝(π<α<)，那么sin(2π－α)的值为________．
5．已知α为第二象限的角，sin α＝，则tan 2α＝________.
6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________．
7．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝________.
8．若向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，则|a－b|＝________.
9．把函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)的图象，则g＝________.
10．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－，]，则|a＋b|的取值范围是________．
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________．
12．设ω>0，若函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围是________．
13．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
14.

如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：
①＋＝2；
②＝2＋2；
③·＝·；
④(·)＝(·)．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知0<x<，化简：lg(cos x·tan x＋1－2sin2)＋lg[cos(x－)]－lg(1＋sin 2x)．

16．(14分)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

17．(14分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P点的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．

18．(16分)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．

19．(16分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(α＋)＝，求sin α.

20．(16分)已知a＝(cos ωx，sin ωx)，b＝(2cos ωx＋sin ωx，cos ωx)，x∈R，ω>0，记f(x)＝a·b，且该函数的最小正周期是.
(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

模块综合检测(B)
1.
解析　cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝.
2．0
解析　∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，
(a－c)⊥b，b＝(1,3)，
∴(3－k)×1－3＝0，∴k＝0.
3．－10
解析　∵a∥b，
∴1×(－4)－2x＝0，x＝－2.
∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，
∴a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.
4.
解析　∵cos(α＋π)＝－cos α＝，
∴cos α＝－，
∵π<α<，∴α＝，
∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin π＝.
5．－
解析　由于α为第二象限的角，且sin α＝，
∴cos α＝－.
∴tan α＝－，
∴tan 2α＝＝
＝－＝－.
6．－
解析　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－.
7．－
解析　∵cos α＝－，α是第三象限角．
∴sin α＝－，
∴sin(α＋)＝(sin α＋cos α)＝－.
8．2或10
解析　∵a·b＝2x＋3－x2＝0.
∴x1＝－1或x2＝3.
a－b＝(－2x－2,2x)．
当x＝－1时，a－b＝(0，－2)，|a－b|＝2；
当x＝3时，a－b＝(－8,6)，则|a－b|＝10.
9．1
解析　f(x)＝sin(－2x＋)向右平移个单位后，图象对应函数解析式为f(x－)＝sin[－2(x－)＋]
＝sin(－2x＋π)＝sin 2x.
∴g(x)＝sin 2x，g()＝sin ＝1.
10．[，2]
解析　|a＋b|＝＝.
∵θ∈[－，]，∴cos θ∈[0,1]．
∴|a＋b|∈[，2]．
11.
解析　Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉
＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.
∴cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．∴≤〈a，b〉≤π.
12.
解析　令－≤ωx≤，－≤x≤，
则是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的，即⊆，则
⇒0<ω≥.
13.
解析　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－(1－cos2 2θ)＝.
14．①②④
解析　在正六边形ABCDEF中，＋＝＋＝＝2，①正确；
设正六边形的中心为O，则2＋2＝2(＋)＝2＝，②正确；
易知向量和在上的投影不相等，即≠.∴·≠·，③不正确；
∵＝－2，
∴(·)＝(·)
⇔(·)＝－2(·)
⇔·＝－2·
⇔·(＋2)＝0.
∵＋2＝－＝0，
∴·(＋2)＝0成立．
从而④正确．
15．解　0<x<，
∴原式＝lg(cos x·＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)
－lg(1＋sin 2x)
＝lg(sin x＋cos x)＋lg(cos x＋sin x)－lg(1＋sin 2x)
＝lg(sin x＋cos x)2－lg(1＋sin 2x)
＝lg(1＋sin 2x)－lg(1＋sin 2x)＝0.
16．解　(1)因为a∥b，
所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－.
又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝，或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.
17．解　(1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝
＝2cos2α＝2·(－)2＝.
(2)∵·＝0，∴α－β＝，
∴β＝α－，
∴sin β＝sin(α－)＝－cos α＝，
cos β＝cos(α－)＝sin α＝.
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋(－)×＝.
18．解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，
∴x＝＋，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为(＋，0)，(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin(2x－)≤1，
即f(x)的值域为[－，1]．
19．解　(1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝，
即f(x)的最小正周期为.
(2)∵当x＝时，f(x)有最大值4，∴A＝4.
∴4＝4sin，∴sin＝1.
即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝.
∴f(x)＝4sin.
(3)∵f＝4sin
＝4sin＝4cos 2α.
由f＝，得4cos 2α＝，∴cos 2α＝，
∴sin2α＝(1－cos 2α)＝，
∴sin α＝±.
20．解　(1)f(x)＝a·b
＝cos ωx·(2cos ωx＋sin ωx)＋sin ωx·cos ωx
＝2cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＝
2·＋sin 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1
＝sin(2ωx＋)＋1.
∴f(x)＝sin(2ωx＋)＋1，其中x∈R，ω>0.
∵函数f(x)的最小正周期是，可得＝，
∴ω＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(8x＋)＋1.
当8x＋＝＋2kπ，
即x＝＋(k∈Z)时，
sin(8x＋)取得最大值1，
∴函数f(x)的最大值是1＋，此时x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}．

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