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光纤通信原理
第一章 概论
内容摘要：
------本章主要介绍光纤通信的发展简史，光纤通信的特点，概括了光纤通信系统的主要构成，并且简单说明了光纤通信系统中的多媒体应用，最后指出光纤通信的发展方向。
-本章重点要求：
-- ---了解光纤通信的发展史，理解光在电磁波谱中的位置、光纤通信所用光波的波长范围。掌握光纤通信系统的组成、光纤通信的特性。
第一节. 光纤通信简史
----光纤通信是以光作为信息载体，以光纤作为传输媒介的通信方式。光纤通信技术是近30年迅猛发展起来的高新技术，给世界通信技术乃至国民经济、国防事业和人民生活带来了巨大变革。为了使读者对光纤通信的发展历程有个基本了解，现将该技术的进程简要介绍如下。
（1）1966年，英籍华人高锟 (C·K·Kao)预见利用玻璃可以制成衰减为20dB／km的通信光导纤维(简称光纤)。当时，世界上最优秀的光学玻璃衰减达l000dB／km左右。1970年，美国康宁公司首先研制成衰减为20dB／km 的光纤。从此，光纤就进入了实用化的发展阶段，世界各国纷纷开展光纤通信的研究。
----光纤的主要作用是引导光在光纤内沿直线或弯曲的途径传播。为了实现长距离的光纤通信，必须减小光纤的衰减。C·K·Kao 早就指出降低玻璃内的过渡金属杂质离子是降低光纤衰减的主要因素。另一方面，玻璃内的OH离子对衰减也有严重的影响。到了 1976年，人们设法降低OH含量后发现低衰减的长波长窗口有：1.31μm、1.55μm。1980年，光纤衰减已降低到 0.2dB／km (1.55μm)，接近理论值。这样，使得进行长距离的光纤通信成为可能。与此同时，为促进光纤通信系统的实用化，人们又及时地开发出适用于长波长的光源、激光器、发光管、光检测器。应运而生的光纤成缆。光无源器件和性能测试及工程应用仪表等技术日臻成熟。这都为光纤光缆作为新的通信传输媒介奠定了良好的基础。
1976年，美国西屋电气公司在亚特兰大成功地进行了世界上第一个 44.736Mbit／s 且传输110km 的光纤通信系统的现场实验，使光纤通信向实用化迈出了第一步。1981年以后，用光纤通信技术大规模地制成商品并推向市场。历经近20年突飞猛进的发展，光纤通信速率由1978年的45Mbit／s 提高到目前的40Gbit／s。

--- 我国自70年代初就开始了光纤通信技术的研究。1977年，武汉邮电研究院研制成功中国第一根阶跃折射率分布的、波长为 0.85μm多模光纤。后来又研制成单模光纤和特殊光纤以及光通信设备。现在，我国光纤通信产业已初具规模，能够生产光纤光缆、光电器件、光端机及其他工程应用方面的配套仪表器件等。由此可见，中国已具有大力发展光纤通信的综合实力。

第二节. 光纤通信使用波段
1、光在电磁波谱中的位置
----光波与无线电波相似，也是一种电磁波，只是它的频率比无线电波的频率高得多。红外线、可见光和紫外线均属于光波的范畴。图1-1下图所示为电磁波波谱图。可见光是人眼能看见的光，其波长范围为0.39至0.76。红外线是人眼能看不见的光，其波长范围为 0.76至300。 一般分为：近红外区， 其波长范围为0.76至15；中红外区，其波长范围为15至25；远红外区，其波长范围为25至300。
2、光纤通信使用波段
---目前光纤通信所用光波的波长范围为=0.8～2.0，属于电磁波谱中的近红外区。其中0.8～1.0称为短波长段，1.0～2.0称为长波长段。
---目前光纤通信使用的波长有三个：0.85、1.31、1.55。图1-1上图为光纤损耗与波长的关系，从图中可以看到从0.8～2.0为光纤的低损耗区域，或称为低损耗窗口。
---光在真空中的传播速度约为，根据波长、频率和光速之间的关系式

（1-1）
可计算出各电磁波的频率范围。对应光纤通信所用光波的波长范围，由式(1-1)可得相应的频率范围为 。可见光纤通信所用光波的频率是非常高的。正因为如此，光纤通信具有其他通信无法比拟的巨大的通信容量。
第三节．光纤通信的特点
与电缆或微波等电通信方式相比，光纤通信的优点如下：
　 (1)传输频带极宽，通信容量很大；
　 (2)由于光纤衰减小，无中继设备，故传输距离远；
　 (3)串扰小，信号传输质量高；
　 (4)光纤抗电磁干扰，保密性好；
　 (5)光纤尺寸小，重量轻，便于传输和铺设；
　 (6)耐化学腐蚀；
　 (7)光纤是石英玻璃拉制成形,原材料来源丰富，并节约了大量有色金属。
　 光纤通信同时具有以下缺点：
　 (1)光纤弯曲半径不宜过小；
　 (2)光纤的切断和连接操作技术复杂；　
　 (3)分路、耦合麻烦。
----由于光纤具备一系列优点，所以广泛应用于公用通信、有线电视图像传输、计算机、
空航、航天、船舰内的通信控制、电力及铁道通信交通控制信号、核电站通信、油田、炼油厂、矿井等区域内的通信。
第四节． 光纤通信系统
　　就广义而言，通信就是各种形式信息的转移或传递。通常的具体做法是首先将拟传递的信息设法加载(或调制)到某种载体上，然后再将被调制的载体传送到目的地后，将信息从载体上解调出来。光纤通信系统中电端机的作用是对来自信息源的信号进行处理，例如模拟／数字转换多路复用等；发送端光端机的作用则是将光源( 如激光器或发光二极管 )通过电信号调制成光信号，输入光纤传输至远方；接收端的光端机内有光检测器( 如光电二极管)将来自光纤的光信号还原成电信号，经放大、整形、再生恢复原形后，输至电端机的接收端。对于长距离的光纤通信系统还需中继器，其作用是将经过长距离光纤衰减和畸变后的微弱光信号经放大、整形、再生成一定强度的光信号，继续送向前方以保证良好的通信质量。目前的中继器多采用光--电--光形式，即将接收到的光信号用光电检测器变换为电信号，经放大、整形、再生后再调制光源将电信号变换成光信号重新发出，而不是直接放大光信号。近年来，适合作光中继器的光放大器(如掺铒光纤放大器)已研制成功，这就使得采用光纤放大器的全光中继及全光网络将会变得为期不远。
第五节． 光纤通信的多媒体应用
　　由于多媒体应用信息量大，就性能价格和信号特征而言，必须采用压缩技术，压缩掉人不能分辨的部分以节约频带。假设不使用压缩技术，一个标准的个人电脑上的80MB硬盘只可存储约8min 的具有CD品质的立体声，或约35s的电视广播品质的运动视频。采用压缩磁盘后，CDROM 则可以存储72min 的高保真音乐，或存储20min 的电视广播品质的运动视频。那么位速呢?立体声的CD品质的声音如果不压缩的话，要求网络以每秒钟140万位的恒定速率传送一个比特流，这对于局域网来说是足够的。但是，由于传统的局域网技术是基于在若干个端系统(一般从几十个到几百个)之间共享一条电缆或光纤，因而有太多的这样的数据流无法并行流动。共享的最大位速范围通常是从10Mbps(以太网技术)到100MbPs(快速以太网或FDDI技术)。当不压缩时，PAL品质的数字运动视频需要 160Mbps／通道。这与已有的共享传送媒体思想为概念的局域网技术是相矛盾的。在长距离通信上存在着采用哪种速度的地面电缆电路， 但是使它们专用单独一个视频通道所需的费用是令人无法接受的。在这种速度下，卫星线路的性能价格比最高，费用仍然很昂贵。所以采用压缩和编码的必要性是显而易见的。
多媒体应用需求的网络特征，与其他应用相比有许多相同的特性，也有不少如下特有的特征：
　　·要求连续媒体信息(音频和视频)进行实时传送。
　　·对连续媒体信息的编码使得被交换的数据容量大而非常重要。
　　·大多数应用是面向分布的，特别是当服务于常驻用户时。
　　 基于这样的观察，我们选择了4个能用数量表示并且应用于通信子网的性能规则以及两个应用于大型"网络"的关键特征。4个关键的通信子网的性能规则如下：
　　(1)吞吐量：多媒体通信要求的吞吐量是很大的；
　　(2)传输延迟：多媒体通信要求的传输延迟很小；
　　(3)延迟变化：多媒体通信要求的传输延迟波动很小；
　　(4)差错率：多媒体通信要求的传输误码率很低。
　　这些参数与支持连续媒体的实时传送密切相关。
----大型"网络"的最关键的特性如下：
　　(1)多点播送和广播能力；
　　(2)文件缓存能力。
　　这些特征与支持基于下载的分布和检索的应用密切相关。
　　从前面的分析可以看出，光纤通信具备许多优点，能够满足多媒体通信的各种要求。因此，光纤必将是多媒体通信传输介质的最佳方案。
第六节．光纤通信的发展
　　20世纪提出了构建信息高速公路的伟大设想。信息高速公路从根本上说是一个全国范围乃至全球范围的宽频带、高速度、高可靠性、无传输错误的先进综合通信网络，它将任何信息源(包括声音、文件、图形、影视、数据等)连接到全部网络，送达千家万户。
----一切信息源在数字化以后都是一样的，即 01010101011 这样的 0、1 形式。话音为3kHz，故每秒需传播64K比特。电视为 8MHz，故每秒需传播90M比特。一部90min 的电影片，用现有的电话网络传输，需要两天的时间，这是不现实的。所以必须采用宽频带和高速网络技术。用光纤网络传输，一部电影只要一分钟即可传输完了。我国若采用OC48做成超级干线，一部电影只有4s钟就可以传送完毕。
----只有超干线和干线是不够的， 因为到每个用户若用电话线或其他窄带的传输介质接入， 都会成为一个传输瓶颈。 为了解决这一难题，国际上已取得共识，认为利用和改造目前的有线电视网是一条捷径，即改造(或新建)成为混合光缆同轴互联网络(HFC)。从前端以光缆连到光节点，再用同轴作为分配网络，这样系统就能直接把交互型话音、数据和视频信号送入家庭和用户。在电视机上可加装一个机顶变换器(机顶盒)，或在计算机上接了一个电缆调制解调器，就可以实现远程教学、远程医疗、电子购物、上网、交互式电子游戏、可视电话、IP电话、电子银行等功能。由此把人们带入一个全新的信息化社会。　
近年来出现的塑料光纤(POF)又称为聚合物光纤(Plastic optical fiber)。POF性能价格比好，因此为光纤到用户打开了大门 (FTTH)。当前，国际推荐的IEEEl394 串行接口中， 是使用带屏蔽的双金属线对 ( Shielded Twisted Pair， STP )， 速率虽然可以达100Mb／s，但距离多在4.5m以内，有一定的局限性。另一种就是正在开始初步实用的塑料光纤，由于POF本身具有比STP更多的优点，在家庭网和其他局域网的室内配线中受到了重视。　　　　　　　　　　　
宽带综合业务数字网(B-ISDN)是一种基于异步传输模式(ATM)的通信网络，为了进一步提高传输速率，建立同步数字系列 (SDH)网络是必由之路。21世纪是个信息时代，为了满足人类不断增长的信息需求，现在这种高价全新的宽带IP网络能传输千兆比特多媒体数字信号。 为了增加光缆的传输距离， 近来研究成功了光放大器，这样就不必进行光电转换、放大、再电光转换，从而实现了直接光放大到全光网络。这对于提高信号质量、降低成本、提高网络的可靠性都是非常有益的。
　　 我国经济正在高速发展，已进入信息时代。现已铺设了 360 000km 光缆；建成连接21个主要城市的数据网络；有强大的航天卫星工业；已经建造并在高速发展的巨大的有线电视网。具有中国特色的信息高速公路正在高速发展。我们深信中国在21世纪的信息时代会有更伟大的作为。
第二章 光纤与导光原理
内容摘要：
-----由于光纤具有低损耗、容量大以及其他方面的许多优点，现已成为通信系统的重要传输介质之一。光纤特性包括它的结构特性、光学特性及传输特性。结构特性主要指光纤的几何尺寸（芯径等）； 光学特性包括折射率分布、 数值孔径等；传输特性主要是损耗及色散特性。
----本章在简要介绍光纤结构和分类的基础上，首先，用射线光学理论分析光纤的传输原理；然后用波动理论讨论光纤中的模式特性，给出光纤中完善的场的描述；最后对光纤的损耗及色散特性进行讨论。
----本章重点要求：
--- 能用射线光学理论分析光纤的导光原理；理解单模光纤、多模光纤、色散位移光纤的概念；掌握光纤单模传输条件的计算公式；理解光纤损耗和色散的概念及其对光纤通信系统的影响。
第一节 光纤的结构和分类
2．1．1 光纤的结构
----光纤是传光的纤维波导或光导纤维的简称。其典型结构是多层同轴圆柱体，如图2-1所示，自内向外为纤芯、包层和涂覆层。

----核心部分是纤芯和包层，其中纤芯由高度透明的材料制成， 是光波的主要传输通道；包层的折射率略小于纤芯，使光的传输性能相对稳定。纤芯粗细、纤芯材料和包层材料的折射率，对光纤的特性起决定性影响。涂覆层包括一次涂覆、缓冲层和二次涂覆，起保护光纤不受水汽的侵蚀相机械的擦伤， 同时又增加光纤的柔韧性， 起着延长光纤寿命的作用。
2．1．2光纤的分类
----根据折射率在横截面上的分布形状划分时，有阶跃型光纤和渐变型 (梯度型) 光纤两种。阶跃型光纤在纤芯和包层交界处的折射率呈阶梯形突变，纤芯的折射率n1和包层的折射率n2是均匀常数。渐变型光纤纤芯的折射率nl随着半径的增加而按一定规律(如平方律、双正割曲线等) 逐渐减少，到纤芯与包层交界处为包层折射率n2，纤芯的折射率不是均匀常数。
----根据光纤中传输模式的多少，可分为单模光纤和多模光纤两类。单模光纤只传输一种模式，纤芯直径较细，通常在4μm～10μm 范围内。而多模光纤可传输多种模式，纤芯直径较粗，典型尺寸为50μm左右。
----按制造光纤所使用的材料分，有石英系列、塑料包层石英纤芯、多组分玻璃纤维、全塑光纤等四种。光通信中主要用石英光纤，以后所说的光纤也主要是指石英光纤。
----另外，若按工作波长来分，还可分为短波长光纤和长波长光纤。
多模光纤可以采用阶跃折射率分布，也可以采用渐变折射率分布；单模光纤多采用阶跃折射率分布。因此，石英光纤大体可以分为多模阶跃折射率光纤、多模渐变折射率光纤和单模阶跃折射率光纤等几种。它们的结构、 尺寸、 折射率分布及光传输的示意图如下页 图2-2a、2-2b、2-2c 所示。

-第二节 光纤中的射线光学理论
----光波长很短，但相对光纤的几何尺寸要大得多，因此从射线光学理论的观点出发，研究光纤中的光射线，可以直观认识光在光纤中的传播机理和一些必要的概念。本节用射线光学理论对阶跃型及渐变型多模光纤的传输特性进行分析。射线光学的基本关系式是有关其反射和折射的菲涅耳（Fresnel)定律。
首先，我们来看光在分层介质中的传播，如图2-3所示。图中介质1的折射率为,介质2的折射率为，设 。当光线以较小的角入射到介质界面时，部分光进入介质2并产生折射，部分光被反射。它们之间的相对强度取决于两种介质的折射率。

由菲涅耳定律可知
反射定律

(2-1)
折射定律

(2-2)
在时，逐渐增大，进入介质2的折射光线进一步趋向界面，直到趋于。此时，进入介质2的光强显著减小并趋于零，而反射光强接近于入射光强。当 极限值时，相应的角定义为临界角 。由于,所以临界角

（2-3）
当时，入射光线将产生全反射。应当注意，只有当光线从折射率大的介质进入折射率小的介质，即时，在界面上才能产生全反射。

2．2．1 阶跃型光纤中的射线光学分析
全反射现象是光纤传输的基础。光纤的导光特性基于光射线在纤芯和包层界面上的全反射，使光线限制在纤芯中传输。光纤中有两种光线，即子午光线和斜射光线。子午光线是位于子午面(过光纤轴线的平面)上的光线，而斜射光线是不经过光纤轴线传输的光线。图2--5 所示阶跃型的光纤，纤芯折射率为 ，包层的折射率为，且，空气折射率为。在光纤内传输的子午光线，简称内光线，遇到纤芯与包层的分界面的入射角大于时，才能保证光线在纤芯内产生多次全反射，使光线沿光纤传输。--然而，内光线的入射角大小又取决于从空气中入射的光线进入纤芯中所产生折射角，因此， 空气和纤芯界面上入射光的入射角就限定了光能否在光纤中以全反射形式传输。与内光线入射角的临界角相对应， 光纤入射光的入射角有一个最大值。 如图2-6所示：
当光线以入射到纤芯端面上时，内光线将以小于的入射角投射到纤芯和包层界面上。 这样的光线在包层中折射角小于90度， 该光线将射入包层，很快就会漏出光纤。如图2-7所示：
由上面分析可知，当光线从空气入射到纤芯端面上的入射角时，进入纤芯的光线将会在芯包界面间产生全反射而向前传播，而入射角的光线将进入包层损失掉。因此，入射角最大值确定了光纤的接收锥半角。是个很重要的参数，它与光纤的折射率有关。下面讨论的确定：
----由菲涅耳定律，对于内光线，有

(2-4)
因为

所以

即

(2-5)
当光线以入射到纤芯端面上时，入射光线在光纤内将以大于的入射角投射到纤芯和包层界面上。这样的光线在包层中折射角大于90度，该光线将在纤芯和包层界面产生多次全反射， 使光线沿光纤传输。如图2-8所示：
对于空气和纤芯界面，有

(2-6)
由（2-5）式代入（2-6）式得

即

(2-7)
定义为光纤的数值孔径，用NA表示。它的平方是光纤端面集光能力的量度。在空气中的折射率，因此，对于一根光纤，其数值孔径为

(2-8)
纤芯和包层的相对折射率差，定义为

(2-9)
则光纤的数值孔径可以表示为

(2-10)
----NA是表示光纤波导特性的重要参数，它反映光纤与光源或探测器等元件耦合时的耦合效率。应注意，光纤的数值孔径仅决定于光纤的折射率，而与光纤的几何尺寸无关。
在多模阶跃折射率光纤中，满足全反射、 但入射角不同的光线的传输路径是不同的，结果使不同的光线所携带的能量到达终端的时间不同，如图2-9所示，从而产生了脉冲展宽，这就限制了光纤的传输容量。

如图2-10所示，设光纤的长度为 L ，光纤中平行轴线的入射光线的传输路径最短，为L ；以临界角入射到纤芯和包层界面上的光线的传输路径最长，为 。

因此，最大时延差为：

(2-11)

因为

单位长度光纤的最大群时延差为

(2-12)
----群时延差限制了光纤的传输带宽。为了减少多模阶跃折射率光纤的脉冲展宽，人们制造了渐变折射率光纤。
2．2．2 渐变型光纤中的射线光学分析
----渐变折射率光纤的折射率在纤芯中连续变化。适当选择折射率的分布形式，可以使不同入射角的光线有大致相同的光程，从而大大减小群时延差。
----光学特性决定于它的折射率分布。渐变型光纤的折射率分布可以表示为

（2-13)
式中：g是折射率变化的参数；a是纤芯半径；r是光纤中任意一点到轴心的距离；是渐变折射率光纤的相对折射率差，即

(2-14)
----阶跃折射率光纤也可以认为是 的特殊情况。使群时延差减至最小的最佳的g在2 左右， 称为抛物线分布。下面用射线光学理论分析渐变折射率光纤中子午光线的传输性
质。光线在介质中的传输轨迹应该用射线方程表示：

（2-15）
式中：是轨迹上某一点的位置矢量；s为射线的传输轨迹；ds是沿轨迹的距离单元，表示折射率的梯度。
----将射线方程应用到光纤的圆柱坐标中，讨论平方律分布的光纤中的近轴子午光线，即和光纤轴线夹角很小，可近似认为平行于光纤轴线(z轴)的子午光线。由于光纤中的折射率仅以径向变化，沿圆周方向和z轴方向是不变的。因此，对于近轴子午光线，射线方程可简化为：

（2-16）
式中，r是射线离开轴线的径向距离。对平方律分布，有

（2-17）
将式（2-17）代入式(2-16),得

（2-18）
对近轴光线，，因此上式可近似为

（2-19）
设时，，上式的解为

（2-20）
这就是平方律分布的光纤中近轴子午光线的传输轨迹。
图2-11显示了当和时这些光线的轨迹。可以看出，从光纤端面上同一点发出的近轴子午光线经过适当的距离后又重新汇集到一点。也就是说，它们有相同的传输时延，有自聚焦性质。
如果不作近轴光线的近似， 分析过程就会变得比较复杂， 但从射线方程同样可以证明，当射率分布取双曲正割函数时，所有的子午光线具有完善的自聚焦性质。自聚焦光纤的折射率分布为：

（2-21）
式中 。可见平方率分布（抛物线分布）是分布忽略高次项的近似。
----以上分析可知，要想子午线聚焦，折射率分布可用的形式或用的形式。的平方率分布（抛物线分布）是目前通行的分布形式。
图2-12显示了渐变型光纤可以实现自聚焦。

第三节 光纤的波动理论　　　　　
---用射线光学理论分析法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传输的物理图像，但由于忽略了光的波动性质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布以及其他许多特性。尤其是对单模光纤， 由于芯径尺寸小，射线光学理论就不能正确处理单模光纤的问题。因此，在光波导理论中，更普遍地采用波动光学的方法，即把光作为电磁波来处理，研究电磁波在光纤中的传输规律，得到光纤中的传播模式、场结构、传输常数及裁止条件。本节先用波动光学的方法求解波动方程，而后引入模式理论得到光纤的一系列重要特性。
2．3．1 圆柱坐标系中的波导方程式
对于圆柱形光纤，采用圆柱坐标系更合适。如图2-13所示

1. 圆柱坐标系中横向场方程式
---在圆柱坐标系中用纵向场、分量表示的横向场、、、分量为

（2-22）

（2-23）

（2-24）

（2-25）
式中，而为自由空间的波数；；为介质的折射率。
2. 圆柱坐标系中的波动方程
---均匀波导中纵向场、的波动方程为：

（2-26）

（2-27）
---在圆柱坐标系中纵向场、的波动方程表示为：

（2-28）

（2-29）
式中：为自由空间的波数；；为介质的折射率。
-其中，------------
2．3．2 阶跃折射率光纤中波动方程的解
----用分离变量法求解式（2-28）和式（2-29）、波动方程，令

(2-30)

(2-31)
---表示导波沿光纤轴向的变化规律应为行波，用表示其传播的相位常数，则

(2-32)
----表示沿方向（圆周方向）的变化规律应是以为周期的函数，则

m=0,1,2,...
(2-33)
由式（2-28）～（2-33），可得：

（2-34）
----上式（2-34）是贝塞尔方程，在特定的边界条件下求解，便可得到阶跃折射率光纤的模式情况。、
1．解的形式
---求解方程（2-34）式的过程，实际上就是根据边界条件选择适当的贝塞尔函数的过程。
（1）在纤芯中（），
---对于传输导模，在纤芯中沿径向应呈驻波分布，方程（2-34）式应有振荡形式的解。为此，应满足的条件。同时，纤芯包含了r=0的点，在这一点，光场分量应为有限值，所以只能采用第一类贝塞尔函数，令

(2-35)
可得到

(2-36)
式（2-36)中：A,B为常系数。
（2）在包层里（），
----对于传输导模，在包层里场分量应迅速衰减，因此，应满足 的条件。才能得到变型贝塞尔方程的解。此外，包层包括无穷远处，所以不能采用第一类贝塞尔函数，而只能用第二类变型的贝塞尔函数。令

（2-37）
可得到

（2-38）
式（2-38)中：C,D为常系数。
结合参量和，可以定义光纤的重要的结构参量为

（2-39）
----一方面与波导尺寸（芯径a）成正比， 另一方面又与真空中的波数 成正比，而（c为真空中的光速），因此称为光纤的归一化频率。是决定光纤中模式数量的重要参数。
----从以上的求解过程也可以的得出导模的传输条件。为了得到纤芯里振荡、包层里迅速衰减的解的形式，必须满足：

和
（2-40）
因此，导模的传输常数的取值范围为：

（2-41）
-----若，则 ， 这时包层里也得到振荡形式的解， 这种模称为辐射模。表示一种临界状态，成为模式截止状态，模式截止时的一些性质往往通过时的特征方程式来讨论。相反地，或的情况是一种远离截止的情况，模式远离截止时其电磁场能量 很好地封闭在纤芯中。
2．边界条件和特征方程
----求出来的和分量应满足纤芯和包层界面（）上连续的条件，因而，可写为

利用（2-22）～（2-25）式表示的横向场方程式，可以求出其他的场分量，其中和分量为：
2．边界条件和特征方程
确定光纤中导波的特性，还须利用光纤的边界条件。在纤芯和包层的边界上，电磁场的切向方向均连续， 即在纤芯和包层界面（）上和也应连续，可得到特征方程为：

（2-46）
对于通信中所用的弱导波光纤（弱导光纤），，（2-46）式可简化为：

（2-47）
（2-47）式就是弱导光纤特征方程。式中“±”表示方程有两组解，取“+”号为一组解，对应的模式为模；取“-”号为另一组解，对应的模式为模。
3．光纤中的各种导模
--- 首先分析阶跃折射率光纤中存在哪些模式。对应由两套波型， 模和模，这里的表示圆周方向的模数，表示径向的模数，。由波导方程式可知，对于模，仅有，和分量，； 而对于模， 仅有，和分量，。意味着 模和模的场分量沿圆周方向没有变化。
----当时，和分量都不为零，为混合模。混合模也分为和两套模式，（2-47）式表示的弱导光纤特征方程。式中“±”表示方程有两组解，取“+”号为一组解，对应的模式为模；取“-”号为另一组解，对应的模式为模。
--下面通过弱导光纤特征方程来分析各种模式的截止条件，并求出各种模式的截止频率。
（1） 模和 模
--- 令，可得到模和 模有相同特征方程,为

（2-48）
----当模式截止时，，， 由第二类变型的贝塞尔函数的递推关系及渐进公式，可以得到

（2-49）
所以截止状态下的特征方程为

（2-50）
---- 的根有 2.4048, 5.5201, 8.6537,,它们分别对应着 ，，，模的截止频率。就是说，若归一化频率2.4048,则模就能在光纤中存在；反之，若归一化频率2.4048，模就不是导模。对其他模式可以次类推。-应该注意，和模有相同截止频率，它们是相互简并的。
3．光纤中的各种导模
（2） 模
--- 令，可得到模特征方程,为

（2-51）
由贝塞尔函数的递推公式将（2-51）式化为

（2-52）
当模式截止时，，可得到

（2-52）
所以截止状态下的特征方程为

（2-53）
----从（2-53） 解出。是阶贝塞尔函数的第个根，,对每一个,的组合，可得到一个相应的模。
----例如，当1时，得到一族模，其==3.8317,7.0156,10.1745,,其他可以次类推。
3．光纤钟的各种导模
（3） 模
--- 令，可得到模特征方程,为

（2-54）
由贝塞尔函数的递推公式将（2-54）式化为

（2-55）
分，两种情况进行讨论。
-----<1>当时，截止状态下的特征方程为

（2-56）

所以

（2-57）
的根有 0,3.8317 ,7.0160 ,10.1735,,它们分别对应着,,,模式的截止频率。在所有的导模中，只有 模式截止频率为零，亦即截止波长为无穷大。模式是任何光纤中都能存在、永不截止的模式，成为主模或基模，是单模光纤的工作模。
3．光纤中的各种导模
-----<2>当时，截止状态下的特征方程整理后为

（2-58）

得到

（2-59）
----例如，当2时，的根有 2.4048, 5.5201, 8.6537,,它们分别对应着,,，模，模在截止时与、简并。
--表2-1给出几个较低阶贝塞尔函数的前几个根。
------------------------- 表2-1 贝塞尔函数的前几个根
贝塞尔函数

前三个根
（不包括零根）
2.40483
3.83171
5.13562
5.52008
7.01559
8.41724
8.65373
10.17347
11.61984
从以上分析可以知道，模式光纤的主模，这种模式对于任意的光波长都能在光纤
中传输，它的截止频率为零。如果光纤的归一化频率2.405，、、模
式还没有出现时，光纤只有模，因此

或

（2-60）
式中，为纤芯半径，为纤芯的折射率，为包层的折射率，为工作光波长。
(2-60）式就是阶跃折射率光纤单模传输的条件。
(4)远离截止时的和模
--当 W→∞,U→0是模式远离截止的条件。可得到远离截止和模的特征方程为

0
模
（2-61）

0
模
（2-62）
5．光纤中的模式传输
---由光纤的参数及工作波长计算出归一化频率V后，从图-14中就可以判断光纤中可能存在几种模式传输。

2．3．3 近似解-LP模
----由于矢量模的求解繁琐， 对于大多数的实际光纤都采用近似解， 最常用的近似方法
是标量近似法(用于阶跃光纤)及 WKM 近似法(用于渐变光纤)。 标量近似法是指在弱导波光纤中， 将光纤的横向电场和横向磁场当作标量处理， 所得到的导波模式称为线性偏振模，用 LPmn "Linearly Po1arized(LP)modes" 表示。
1 特征方程
--- 在近似模式理论基础上，可得到标量的亥姆霍兹方程，写到圆柱坐标系中，可得到

（2-63）
求解（2-63）式，通过变换得到直角坐标系中的横向场分量为

（2-64）

（2-65）
由电磁场的边界条件，可以确定出模的特征方程为

（2-66）
2 线性偏振模及其特性
----当模式截止，时，利用第二类变型的贝塞尔函数渐进公式，由（2-66）式可得到

（2-67）
所以，截止状态下特征方程为

（2-68)
也就是说，模的归一化截止频率由来确定。
----求出各种LPmn模的归一化截止频率 。 因此， 当进入光纤中的信号归一化频率大于某种模式的截止频率时，该信号可在光纤中传输；反之，若，则与相应的模式将被截止，不能在光纤中传输。
----对于远离截止时的传输特性，其特征值随归一化频率而变化，因此远离截止时的特征方程可简化为Jm(u)＝0，从而 。远离截止时的特征方程等于m阶贝塞尔函数的第n个根 。表2-2给出了光纤中几个低次模截止时的值和远离截止时的值
----------------------表2-2--几种模的值和值
截止情况模的值

0
1
2
0
0
2.40483
3.83171
1
3.83171
5.52008
7.01559
2
7.10559
8.65373
10.17347
远离截止模的值

0
1
2
1
2.40483
3.83171
5.13562
2
5.52008
7.01559
8.41724
3
8.65373
10.17347
11.61984
2 线性偏振模及其特性
----对于一组 m,n值， 有一确定的u值，从而对应一个模式，它有自己的场分布和传输特性，这种标量模称为线性偏振模，用LPmn表示，下标m，n有明确的物理意义，它们表示相应模式在光纤截面上的分布规律，m表示沿圆周方向光场出现最大值的个数，n表示沿半径方向光场的最大值个数。必须指出，线性偏振模LPmn。是弱导近似下得到的标量模，表示弱导波光纤中的电磁场基本上是一个线性极化波。实际上LPmn是由矢量叠加而成的线性偏振模，是矢量模的简并模式。矢量模包括横电模TEon 横磁模TMon： 及混合模EHmn 和 HEmn等四套模式。例如LP01模HE11模相对应；次低模LP11模包括了TE01、TM01、HE21三个矢量模， 为这三个矢量模的简并模；LP11模为TE02、TM02、HE22模的简并模等等。
----在多模阶跃光纤中，多个导模同时传输，光纤的归一化频率V愈大，导模数愈多，导模数M可按下式计算:

(2-69)
在多模渐变光纤中，当时，导模总数为:

(2-70)
即仅为阶跃光纤的一半，这对于减小模间色散是有利的。
3 模功率分布
-导模在光纤中传输时，功率集中在纤芯和包层中。对于不同模式，光功率在纤芯和包层的分配比例不同，包层中的光功率易受各种因素的影响而失掉。在弱导近似下，LP模的横向场只有Ey和Hz分量，所以导模携带的光功率在纤芯和包层中分别为

（2-71）

（2-72）
将LPmn模的场分布代入，可得

（2-73）

（2-74）
式中， P总＝P芯十P包 为光纤传输的总功率；η称为波导效率。

图2—15给出了各LP模的P包／P总与f的关系。可以看出，在远离截止时，功率主要集中在纤芯中，且大部分在高阶模中。在接近截止时，功率向包层转移，对于低阶模(m＝0或1)，在截止时功率完全转移到包层中；对于m＞1的高阶模，纤芯中仍保留较大的比例。
第四节 光纤的损耗
----光波在光纤中传输，随着距离的增加光功率逐渐下降，这就是光纤的传输损耗，该损耗直接关系到光纤通信系统传输距离的长短，是光纤最重要的传输特性之一。自光纤问世以来，人们在降低光纤损耗方面做了大量的工作，1.31μm光纤的损耗值在0．5dB/km以下，而1.55μm的损耗为0.2dB/km以下，这个数量级接近了光纤损耗的理论极限。光纤的损耗如图2-16所示----形成光纤损耗的原因很多，其损耗机理复杂，计算也比较复杂 (有些是不能计算的)。降低损耗主要依赖于工艺的提高相对材料的研究等。光纤损耗的原因主要有吸收损耗和散射损耗，还有来自光纤结构的不完善。
2．4．1 光纤的损耗系数
----光纤的损耗系数尽管引起光纤损耗的原因有多种，但在定义其损耗系数时，只考虑输入和输出光纤的光功率之比。
若用Pi表示输入光纤的功率，Po表示输出光功率，则在传输线中的损耗可定义为

(2-75)
----若该损耗在长为 L(km)的传输线上传输，且损耗均匀，则单位长度传输线的损耗即损耗系数为

(2-76)
2．4．2 吸收损耗
----物质的吸收作用将传输的光能变成热能，从而造成光功率的损失。吸收损耗有三个原因，一是本征吸收，二是杂质吸收，三是原子缺陷吸收。光纤材料的固有吸收叫做本征吸收，它与电子及分子的谐振有关。对于石英(SiO2)材料，固有吸收区在红外区域和紫外区域，其中，红外区的中心波长在 8μm～12μm 范围内， 对光纤通信波段影响不大。对于短波长不引起损耗，对于长波长光纤引起的损耗小于1dB/km。紫外区中心波长在0.16μm附近，尾部拖到lμm左右，已延伸到光纤通信波段(即0.8μm～1.7μm的波段)。在短波长范围内，引起的光纤损耗小于1dB／km。在长波长范围内，引起的光纤损耗小0.1dB／km。
---由于一般光纤中含有铁、锚、镍、铜、锰、铬、钒、铂等过渡金属和水的氢氧根离子，这些杂质造成的附加吸收损耗称为杂质吸收。金属离子含量越多，造成的损耗就越大。降低光纤材料中过渡金属的含量可以使其影响减小到最小的程度。为了使由这些杂质引起的损耗小