高等数学下复旦大学出版习题一.doc

习题一
1. 设,求,B\A.
解:

2. 设,求, CXA，CXA∪CXB, CXA∩CXB.
解:

CXA=X\A={1,2,3,4,5,6}\{1,2,3}={4,5,6}
CXB=X\B={1,2,3,4,5,6}\{2,4,6}={1,3,5}=C
CXA∪CXB={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6}
CXA∩CXB={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.
3. 判定下列命题是否正确?若不正确,请举出反例.
(1)若A∪B=A∪C,则B=C; (2)若A∩B=A∩C,则B=C.
解: (1)不正确. 例如: A={1},B={1,2,3},C={2,3}有A∪B=A∪C={1,2,3},但B≠C.
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有A∩B=A∩C={1},但B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞),;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1],;
(3) A=(-∞,+∞),B=[0,+∞],.
解: (1) 且,有,即A中不同的元素的有不同的像,∴f是单射.
又,有,使,即B中每个元素都有原像, ∴f是满射.
综上所述, f是一一映射.
(2),有,使即B中每个元素都有原像,∴f为满射.但,当,且,如为整数时,有,即A中不同的元素有相同的像,∴f不是单射.
综上所述, f为满射,但不是单射.
(3), 且,有,即A中不同的元素有不同的像,∴f是单射.
又,即B中的元素0没有原像,∴f不是满射.
综上所述, f是单射.,但不是满射.
5. 下列函数是否相等,为什么?

解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
6. 求下列函数的定义域

解: (1)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
即
所以函数的定义域是.
(4)要使函数有意义,必须
即
即或,(k为整数).
也即 (k为整数).
所以函数的定义域是, k为整数.
7. 求函数的定义域与值域.
解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
8. 没,求
解: ,
9.设,求.
解:
10. 设,求和.
解:

11. 证明:和互为反函数.
证:由解得,
故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.
12. 求下列函数的反函数及其定义域:

解: (1)由解得,
所以函数的反函数为.
(2)由得,
所以,函数的反函数为.
(3)由解得
所以,函数的反函数为.
(4)由得,又,故.
又由得,
即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为.
13. 判断下列函数的奇偶性:

解: (1)
是偶函数.
(2)
函数是奇函数.
14. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:

解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有,
故有.即函数有上界.
又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.
又由知,当且时,,而
当且时,.
故函数在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
且,使.
取,则有,
所以函数在定义域内是无界的.
又当时,有
故.
即当时,恒有,所以函数在内单调递增.
15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?

解: (1)是由复合而成.
(2)是由复合而成.
(3)是由复合而成.
(4)是由复合而成.
16. 设定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) 为偶函数; (2)为奇函数.
证: (1)设,则,
有
故为偶函数.
(2)设则,
有
故为奇函数.
17. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).
解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;
又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.
设总费用为,则.
18. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.
解: 当x能被20整除,即时,邮资;
当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资.
综上所述有
其中,分别表示不超过,的最大整数.
19. 证明:

证: (1)由得
解方程得,
因为,所以,
所以的反函数是
(2)由得,得;
又由得,
所以函数的反函数为

20. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
图1-1
解:

从而 .

由得定义域为.
21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:

解: 当时,.
,
当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.
,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
22. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:

解: ,,要使,只须.取,则当时,必有.
当时,或大于1000的整数.
,,要使
只要即即可.
取,则当时,有.
当时, 或大于108的整数.
23. 根据数列极限的定义证明:

证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.
(2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.
(3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.
(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.
24. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立.
证: ,由极限的定义知,,当时,恒有.
而
,当时,恒有,
由极限的定义知
但这个结论的逆不成立.如但不存在.
25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:

其中为给定的正常数;

解:
而,当时,
.
(2)记
则有
即
而
故
即 .
(3)
即
而
故 .
(4)
而
故 .
26. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:

证: (1),不妨设,则
.
故对所有正整数n有,即数列有上界.
又
显然有,又由得,从而即,
即数列是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列有极限.
设,则,于是,(不合题意,舍去),.
(2) 因为,且,
所以, 即数列有界
又
由知与同号，
从而可推得与同号，
而
故, 即
所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.
设, 则，
解得 (不合题意，舍去).
所以
27. 用函数极限定义证明：

证：(1),要使
,
只须,取，则当时，必有
,
故.
(2),要使
,
只须,取，则当时，必有
,
故.
(3) ,要使
,
只要取，则
当时，必有,
故.
(4) ,要使
,
只须，取，则
当时，必有
故.
(5) ,要使
,
只要取，则
当时，必有,
故.
28. 求下列极限：

(7)若，求a和b.
解：.

由无穷大与无穷小的关系知， .

(7)因为
由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是
且
解得 .
29. 通过恒等变形求下列极限：

解：

而 而

(14)令则当时，.
所以(利用(13)题的结果).

(16)令， 则
而 所以
30. 当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？
解：
∴当时，是比高阶的无穷小量.
31. 当时，无穷小量与是否同阶？是否等价？
解：
∴当时，是与同阶的无穷小.

∴当时，是与等价的无穷小.
32. 利用或等价无穷小量求下列极限：

解：(1)因为当时，
所以

(4)因为当时，,所以

(5)因为当时，所以
.

(7)因为当时，,所以

(8)因为当时，所以
.
(9)因为当时，,所以

(10)因为当时，，所以

(11)因为当时，所以

(12)因为当时，所以

(13)因为
而当时，
故
又当x→0进，所以

(14)因为当时，
故
所以

33. 利用重要极限，求下列极限：

解：

(6)令，则当时，.

34. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：

解：(1)令，则
于是：

即 即 即.
(2)令，则
于是

即 即 故
即 .
(3)令，则
于是

即 从而 故
即 .
(4)令，则
于是：

即
即.
35. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？
在处;
在处.
解：
因为
所以不存在.
(2)
因为不存在，所以不存在.
36. 研究下列函数的连续性，并画出图形：

解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，
又
而，在处连续，
又，由，知在处右连续，
综上所述，函数在[0，2)内连续. 函数图形如下：
图1-2
(2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由

知不存在，于是在处不连续.
又由
及知，从而在x=1处连续，
综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：
图1-3
(3)∵当x<0时，
当x=0时，
当x>0时，

由初等函数的连续性知在内连续，
又由
知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下：
图1-4
(4)当|x|=1时，
当|x|<1时，
当|x|>1时，
即
由初等函数的连续性知在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由

知不存在，从而在处不连续.
又由
知不存在，从而在处不连续.
综上所述，在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在处间断.
图形如下：
图1-5
37. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：

解：

是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点.

当时，.
为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0,及处连续.();
为无穷间断点
(3)∵当时，呈振荡无极限，
∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)

∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
38. 当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:

解：
∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.
39. 怎样选取a, b的值，使f(x)在(－∞,+∞)上连续？

解：(1)在上显然连续，而
且,
∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续.
(2)在内显然连续.而

∴当，即时，在处连续，因而在上连续.
40. 试证：方程至少有一个小于1的正根.
证：令，则在[0,1]上连续，且,由零点定理，使即
即方程有一个小于1的正根.
41. 试证：方程至少有一个不超过的正根，其中.
证：令，则在上连续，
且 ,
若，则就是方程的根.
若，则由零点定理得.
,使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根.
42. 设在上连续，且,证明：方程在[0，a]内至少有一根.
证：令,由在上连续知，在上连续，且

若则都是方程的根，
若，则，由零点定理知，至少,使,
即，即是方程的根，
综上所述，方程在内至少有一根.
43.设在上连续，且，证明：至少存在一点，使.
证：令,则在上连续，且
若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即.
综上所述，至少存在一点，使.
44. 若在上连续，,证明:在中必有，使
.
证: 由题设知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是
,
由介值定理知，必有，使
.
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