含绝对值的不等式解法(总结归纳).doc

含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法

　　[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|<a (a>0)的解集是
{x|-a<x<a}；不等式|x|>a (a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|<a与|x|>a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|<c与|ax+b|>c (c>0)型的不等式的解法。 

　　一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。 

　　求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。 
　　x2+3x-4<0  (x+4)(x-1)<0 或  或  -4<x<1或。 
　　原不等式解集为{x|-4<x<1}。 

　　x2+3x-4<0  (x+)2<  |x+|<  -<x+<  -4<x<1。 

　　原不等式解集为{x|-4<x<1}。 

　　[例题分析与解答] 

　　例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。 

　　[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|<c(c>0)型。∴ -4<ax-2<4, 不等号各端加2，得-2<ax<6。 

　　当a>0时，-<x<，

　　当a<0时，->x>, 

　　当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。 

　　故a>0时不等式解集是{x|-<x<}，a<0时不等式解集是{x|<x<-}，a=0时不等式解集是R。 

　　例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。 

　　[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和
x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。 

　　(1)  　 -4≤x<-。 

　　(2)    -≤x≤-。 

　　(3)。 

　　综上，原不等式的解集为{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。 

　　例3．解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。 

　　[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。
　　x2+(2-a)x-2a<0　 (x+2)(x-a)<0 

　　当a>-2时，原不等式解集是{x|-2<x<a}。 当a<-2时，原不等式解集是{x|a<x<-2}。 

　　当a=-2时，Δ=0，原不等式解集为。 

　　例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3<x<1，求关于x的不等式cx2+(a+b)x+6(b-a)<0的解集。 

　　[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号）又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。 

　　由ax2+bx+c>0的解集是-3<x<1。∴ y=ax2+bx+c的图象开口向下，a<0。 

　　且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴ -3+1=-，即=2, -3×1=，即=-3，
　　∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0,

　　∵ a<0，∴ x2-x-2<0, (x-2)(x+1)<0, 

　　∴ -1<x<2，原不等式解集为{x|-1<x<2}。 

　　另法：∵ a<0，将所求不等式两边同除以a得x2+(1+)x+6(-1)>0, 
　　将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0, 

　　以下同上面解法。 

　　在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。 

　　例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。 

　　[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。 

　　当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-,x∈R}。 

　　当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。 

　　(1)若0<a<4或a>16时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为
　　，。 

　　不等式的解为{x|x<或x>}。 

　　(2)若4<a<16时，Δ<0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相离，不等式的解为R。 
　　(3) 若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。 
　　(4) 若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。 

　　(5) 若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是： 
{x|<x<}。 

　　[本周参考练习] 
　　1．关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-≤x≤，求a，b的值。 

　　2．解不等式1<|x-2|≤7。 

　　3．不等式ax2+bx+c<0的解为x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。 

　　4．不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。 

　　[参考答案]： 
　　1．解：由|ax+1|≤b,　∴ -b≤ax+1≤b，∴ -b-1≤ax≤b-1。当a>0时，≤x≤。 

　　∴ , 不满足a>0,舍去。当a<0时，≥x≥。 

　　∴ 　当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。 

　　2．解由1<|x-2|≤7,∴1<x-2≤7或-7≤x-2<-1。∴ 3<x≤9或 -5≤x<1。 

　　3．解：必有a<0，则x2+x+>0的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。 

　　将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴ x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0, 

　　∵ αβ>0，∴ x2+()x+<0，∴ (x+)(x+)<0, 

　　∵ α<β<0, ∴ ，即<, ∴->-，不等式解为-<x<-。 

　　4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根（β>α）。 

　　∴ β-α=，∴ a2+24a≤25,　 

　　 -25≤a<24或0<a≤1。