高中必修一函数全章知识点整理.doc

函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是 （ ）
A、 B、
C、 D、f（x）=x，
2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1；

1.函数的定义域为

2求函数定义域的两个难点问题
（1）

（2）

例2设，则的定义域为__________

变式练习：，求的定义域。

三．函数的奇偶性
1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系
1、 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .

2、 已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

3、 若奇函数满足，，则_______

四、函数的单调性
1、函数单调性的定义：

2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

1判断函数的单调性。

2函数的单调增区间是________

3(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）

五．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标
2．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。
一元二次不等式的解集(a>0)

二次函数
△情况
一元二次不等式解集

Y=ax2+bx+c (a>0)
△=b2-4ac
ax2+bx+c>0
(a>0)
ax2+bx+c<0
(a>0)
图象与解

△>0

△=0

△<0
R

1、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）
（A） (B) (C) (D)

2、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______

六．指数式
1．幂的有关概念
(1)零指数幂
(2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(5)负分数指数幂
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质

3．根式
根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
(1)

十．指数函数
名称
指数函数
一般形式
y=ax (a>1)
y=ax(0<a<1)
定义域
(-∞,+ ∞)
值域
(0,+ ∞)
过定点
（０，1）
图象

单调性
在(-∞,+ ∞)上为增函数
在(-∞,+ ∞)上为减函数
值分布
X<0时0<y<1,x>0时，y>1,x=0,y=1
X<0时y>1,x>0时，0<y<1,x=0,y=1

2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同
1、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）
记住下列特殊值为底数的函数图象：

2、 研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
1、（1）的定义域为_______；
（2）的值域为_________；
（3）的递增区间为，值域为
2、（1），则
3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。

〖2.2〗对数函数
（1）对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
（2）几个重要的对数恒等式
，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质
如果，那么
①加法： ②减法：
③数乘：④
⑤ ⑥换底公式：
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对 图象的 影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

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