李堡中学国庆数学文科作业四.doc

李堡中学国庆数学文科作业四
1. 已知角A是△ABC的一个内角，若sin A＋cos A＝，则tan A等于 －
2. 函数y＝3cos(x＋φ)＋2（0<φ<π）的图象关于直线x＝对称，则φ的值是
3. 已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为__-2___．
4. 设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为__-1______．
5. 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为 2
6. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点，则m的取值范围是 [1,2)
7. 设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为___④_____．
8. 在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝___－a＋b(用a，b表示)
9. 已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于________．　3＋
10. 函数y＝tan的对称中心为________．(k∈Z)
11. 如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝
，＝a，＝b.
(1)用a、b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
(1)解　延长AD到G，使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明　由(1)可知＝，
因为有公共点B，所以B，E，F三点共线．
12. 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明　(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，则A、P、B三点共线，
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.
13. (2013·重庆)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．
解　(1)由余弦定理得
cos A＝＝＝－.
又因为0<A<π，所以A＝.
(2)由(1)得sin A＝，
又由正弦定理及a＝得
S＝absin C＝··asin C＝3sin Bsin C，
因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)
＝3cos(B－C)．
所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cos Bcos C取最大值3.
14. 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明　(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，则A、P、B三点共线，
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.

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