高数(一)试卷.doc

2007-2008学年第一学期
《高等数学（一）》（309010034）期末考试试题（A卷）
一. 填空题:( 满分14分,共7小题, 2分/题 )
1. 若,则= ;
2. = ;
3. ；
4.设函数,则= ；
5.设其中可导,且,则= ;
6.设有一个原函数，则＝ ；
7. = ;

二.单项选择题: (满分16分,共8小题,2分/题)
1. 极限的结果是（ ）
(A) 不存在 (B)1/2 (C)1/5 (D)0
2. 当时,若,则之值一定为( )
(A) ; (B) 为任意常数;
(C) 为任意常数; (D) 均为任意常数;
3.设函数其中在处可导, ,则是的（ ）
（A）连续点 （B）第一类间断点
（C）第二类间断点 （D）连续点或间断点不能由此确定
4.曲线 （ ）
（A）仅有水平渐近线; （B）仅有铅直渐近线;
（C）既有铅直又有水平渐近线; （D）既有铅直又有斜渐近线;
5.设函数在内连续,其导函数的图形如图所示:
则有( )
(A)一个极小值点和两个极大值点; (B) 两个极小值点和一个极大值点;
(C) 两个极小值点和两个极大值点; (D) 三个极小值点和一个极大值点;
6.根据定积分的几何意义,下列各式中正确的是( )
（A） （B）
（C） （D）
7.设，则＝（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8.当( )时,广义积分收敛
(A) (B) (C) (D)
三.计算题(满分24分,共4小题,6分/题)
1. 设,求 2. 求
3. 求 4.设,求
四 .(满分11分)
n在什么条件下函数,
（1）在x=0处连续; （2）在x=0处可微; （3）在x=0处导函数连续;
五.（满分10分）设曲线为
（1）把曲线、轴、y轴和直线所围成平面图形绕轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积,并求满足
（2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积
六. 证明题 (满分5分)
设函数在上连续,在内可导,又,证明,在内存在使得

参考答案及评分标准
1. 2. 3. 4. 5. 3 6. 7.
二. 1.A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.D 7.D 8.C
三. 1. 设,求
解： ………（2分）
………（2分）
………（2分）
2. 求
解：……（2分）
＝ ………（3分）
………（1分）
3. 求
解: ……（2分）
………（2分）
……（2分）
4.设,求
解:设则………（2分）
由………（2分）
即,解出:A=, 故: ……（2分）
四 .n在什么条件下函数,
（1）在x=0处连续; （2）在x=0处可微; （3）在x=0处导函数连续;
解：（1）若要f（x）在x=0处连续,只需
即 由此可知,
当,(p,q互质)且q为偶数时,只考虑x=0处的右连续; ………（3分）
（2）若要f（x）在x=0处可微,只需f（x）在x=0处可导,即存在
由可知,
当时,函数在x=0处可微; ………（3分）
（3）先求f（x）在x=0处导函数
当时,
当时,
所以, ………（3）
若要f（x）在x=0处导函数连续,只需即可
由,当时,导函数在该点连续; ………（2分）
五.（满分10分）设曲线为
（1）把曲线、轴、y轴和直线所围成平面图形绕轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积,并求满足
（2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积
解:（1）
………（3）
由,即,
得 ………（2分）
（2）设切点为,
切线方程为 ……（2分）
令x=0 得
令y=0 得
所以 ………（1分）
又 代入上式
由 令 得 (负值舍去)……（1分）
当时, , 由该题中存在最大面积 所求切点为,最大面积为2
………（1分）
六.证明题 (满分5分)
设函数在上连续,在内可导,又,证明,在内存在使得

证明:令,因为,由题设满足柯西定理,
即: ……（2分）
又满足拉氏定理条件,
……（2分）
故: ………（1分）
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