趣味数学之幻方探秘.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,趣味数学,幻方探秘,幻方的故事,在“,射雕英雄传,里的数学故事”一文中，曾经谈到了“洛书”，它有三行三列，每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。后来，人们逐步把具有类似性质的数阵扩展到四行四列、五行五列,通称为“,纵横图,”。宋代数学家,杨辉对纵横图,做了深入的研究，取得了辉煌的成就，并且打破常规，把幻方从正方形推广到多边形和圆。,15,世纪，西方数学家摩索普拉把我国的纵横图介绍到欧洲，并取名为“,魔幻正方形,”简称“,幻方,”。“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。由于幻方有着变幻莫测的性质，所以幻方一词逐渐为大众所接受。占星家还将其作为护身符，至今仍有许多印度少女把“洛书”佩在胸前。,下面这个幻方被称为“,魔鬼幻方,”，因为它除了每行、每列、每条对角线上四个数的和相等以外，四个角上，以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和竟然也都相等,真是妙不可言！,关于幻方,幻方，又称,纵横图、奇方或方阵、魔阵,等。,是把,1,至,n,2,的自然数排列成正方形，使它的纵横均有,n,个数，而把每行、每列、还包括两条对角线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做,幻和,.,幻方的幻和等于,这种排列方式的纵横图称为,n,阶纵横图,，或,n,阶幻方,.,基本概念,把,n,2,个数填入纵横各,n,个方格组成的正方形中，使得每行、每列、2 条对角线上的数字之和都等于同一个常数，我们把这数表叫做,n,阶,幻方,(,magic square,)，,这个常数叫做,幻和,(,magic sum,),n,叫做幻方的,阶数,(,order,).,按照纵横各有数字的个数，可以分为：,三阶幻方、,四阶幻方、,五阶幻方、,六阶幻方,按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为：,奇阶幻方,偶阶幻方,分类：,自己动手，构造三阶幻方,！,幻和,=15,传说：河图洛书,系辞曰：,“,河出图，洛出书，圣人则之.,”,相传大禹治水，感动上苍，黄河神龙贡图，洛水灵鬼献书，天佑伟业,.,构造,3,阶幻方,南宋数学家杨辉在1275年所著的续古摘奇算法中，给出了310阶幻方，其中3 阶幻方构造如下：,九子斜排，上下对易，,左右相更，四维挺出，,戴九履一，左三右七，,二四为肩，六八为足.,三阶幻方构成方法,之一,九子斜排,上下对易,左右更替,四维挺出,九子斜排,上下对易,左右更替,四维挺出,三阶幻方构成方法,之二,画格辅助,九子斜排,送子回家,清除辅助,6,5,8,7,9,4,2,3,1,7,3,9,1,这种方法（阶梯法）,适用于所有的,奇阶幻方,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,1,2,6,4,5,10,21,22,16,24,25,20,五阶幻方不止,1,个,四阶幻方构成方法,一字排开,对角不动,上下交换,左右更替,2,3,14,15,5,8,12,9,一字排开,对角不动,上下交换,左右更替,构造,4,阶幻方,法二,名画中的幻方,德国画家丢勒,1514,年创作的一幅铜板雕刻画忧郁中，就是这个,4,阶幻方,。,六阶幻方构成,把,1,36,中，中间的,16,个数,(11-26),填到四阶幻方中,其余的数写成对,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8,、,9,、,1036,、,35,、,34,、,33,、,32,、,31,、,30,、,29,、,28,、,27,六阶幻方,一个,8,阶幻方（对角线法）,双偶阶幻方（对称交换法）,n,为偶数，且能被,4,整除,(n=4,，,8,，,12,，,16,，,20)(n=4k,，,k=1,，,2,，,3,，,4,，,5),先说明一个定义。,互补,：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即,nn+1,，称为互补。,先看看,4,阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：,先看看,4,阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：,这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（,同色,）的数字。,这里，,nn+1=44+1=17,；把,1,换成,17-1=16,；把,6,换成,17-6=11,；把,11,换成,17-11=6,换完后就是一个四阶幻方。,对于,n=4k,阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按,44,把它划分成,kk,个方阵。因为,n,是,4,的倍数，一定能用,44,的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作,4,阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。,8,阶幻方,幻方知多少？,如果2个幻方经过旋转、对称以后相同，我们认为它们是一样的.数学家们发现,1阶幻方：1个；,2,阶幻方：,0,个；,3阶幻方：1个；,4阶幻方：880个；,5阶幻方：275，305，224个；,百子碑,百子回归图,