火灾时一般框架的简化弹塑性分析(张所杰,土木09级).doc

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火灾时一般框架的简化弹塑性分析
摘要：针对高温下的三维框架的分析，本文提出了一种可供选择的简化方法。在塑性发展过程中，考虑垂直力及弯矩作用，则一般塑性铰原理包括了温度的影响。利用刚度的折减系数，来改善附加的允许的单元逐步屈服。同时讨论了如何确定内力矢量，其考虑了非线性热效应。利用实例反映的不同情况，对本文建立模型与实验结果进行了比较。由此可知，本文建议方法可用于分析实际火灾中的二维及三维框架，同时其精度合理，计算成本低。
关键词：弹塑性分析；钢结构；三维结构；塑性铰；非线性分析；SAFIR；有限位移
1. 引言
在发生偶然火灾时，为了确保生命安全和减少经济损失，在一定时间内，结构必须保持稳定性。如果是钢结构，细长构件的高导热性及低热惯性促进了温度的升高，而温度的膨胀和高温下材料性质的变化将导致塑性变形和大位移，最终导致整个结构破坏。
因此，对钢结构的防火安全来讲，一个重要部分是研究火灾时结构的行为分析。由于它的复杂性，不能利用手工计算来估算整体结构的行为。另一方面，实验室试验受到操作性和经济方面的限制作为自然影响因素，促进了基于优先元法的数值模型的发展。
为了研究火灾时的钢结构，一般采用塑性区法。关于此模型的发展研究可以参阅文献[28]及Friedmen的研究。关于这方面，Friedmen曾给出了综述，而Olenick和Carpenter[21]进行了发展。
这些研究中的一个现代化的计算规范是SAFIR，比利时国王大学Sanad等人[26]的研究表明，一些特殊实例可以采用非线性结构分析的商业化程序，如ABAQUS[1]。
本文研究的目标是提出一种可供选择的方法。习惯上将塑性铰的基本理论用来分析高温状态下的非弹性结构，但在本文中被延伸到了分析热效应。附加的改进之处包括模拟应力及屈服的分布。
我们已经提出了框架的塑性铰模型。Liew等人[17]已经进行了分析，但是没有给出具体的公式。Li和Jiang[15]给出了在单元内力变化为线性时的热膨胀效应模型。Toh等人[30]对塑性铰法和塑性区法的分析结果进行了比较。Lu光和Chan[10]给出了基于塑性铰的模型，此模型在刚度矩阵中考虑了热效应。在下部分中我们将介绍包括冷却相变的改进模型，所有这些模型都是二维的。在本文中，公式均延伸到三维的情况。同时，传统的塑性铰模型是精确的，它通过单元模拟逐步屈服过程。
这种方法的发展是基于以前的公式[5，19]，它的运动理论是基于Oran[22]的研究基础之上的，Oran容许在小应变的情况下，产生大位移。Argyris[2]假设几何刚度矩阵包括切线弯矩，尤其是对于空间结构。本文在2.7节讨论了内力的计算，此内力考虑了温度效应。在动力荷载作用下，利用Yang[33]的研究方法，在临界状态后，随着荷载的降低，位移增大。Newton-Raphson判断了在恒定荷载作用下，热量增加的位置。通过与精确模型以及实验结果相比较，证明了此数值方法的可行性。
2. 公式
2.1 基本假设
数值程序是建立在以下假设基础之上的：
（1）结构承受具有小应变的有限位移。
（2）最初单元是垂直、等截面、双轴对称的横截面。
（3）根据平截面仍保持平面以及它仍同纵轴正交，进行了伯努力-欧拉假设，忽略了剪切变形和翘曲变形。
（4）假设随着周围环境温度以及高温作用，单元可提高其整体塑性弯矩，而不是局部屈服的性能，同时单元具有适量的转动能力。
（5）作用在单元结点的荷载（径向荷载）成比例地增加，同时形状独立。在热增量分析中，荷载保持不变，热量增加。
（7）一般塑性铰理论中[18]包括正应力的影响，它包括港督的逐渐减小。
（8）采用塑性流变规则。
对于材料的性能，当热量比在2-500C/分钟时，采用欧洲规范3[4]的应力-应变关系是可以的，它包括蠕变效应。对于塑性铰，如图1所示，近似采用双线性模型，同时采用欧洲规范推荐的高温时的屈服强度极限及弹性模量的折减息书，热膨胀系数恒等于1410-6/0C。

图1 高温下钢材的应力-应变关系
2.2 运动方程
Oran[2]提出在运动时，当小应变发生较大位移时，即使在粗大网格中也可以提供较好的结果。为了描述运动学原理，随后利用33阶矩阵进行了解释，如图2所示。
=结点修正矩阵：柱子时坐标轴和 轴的方向余弦，其与端点i（i=1，2）刚接，同时在开始时与世界坐标系X，Y，Z平行。
=端部修正矩阵：柱子是结点i方向余弦的垂线，同时沿着截面的主要方向。
=单元转动矩阵：行是局部坐标轴x，y，z的余弦。X轴通过截面的重力形心，y轴及z轴平行于中部垂直方向的主要方向。
在结点转动中，适量考虑几何非线性的影响时重要的。可以通过一般迭代长度（Lt）和初始长度（L0）来确定轴向相对位移Ux ，通过相对广义位移来定义单元变形

运动学的优点是可以反映杆件端截面的转动。在计算正应力及剪应力合力方面，利用一般纵轴的弦长可能引起错误的结果，一般它在屈曲状态方面出现错误。利用本文的运动学，它的每个单元的端部在参考系统中是独立的。因此即使一个单元仅仅划分若干个区格，也可以提供精确的结果，文献[19，22，28]给出了更为详细的解释。
2.3 塑性铰模型
利用梁-柱有限元，钢框架的非弹性分析常用二种形式：塑性区和塑性铰。塑性区分析又称为分布或分散塑性，同时可以模拟通过横截面和沿着杆件长度方向的逐步屈服。这个模型也很容易考虑热量梯度。另一方面，与塑性铰法相比，塑性区法计算复杂，成本高。
在传统的塑性铰或集中的塑性铰模型中（通常用于钢结构的塑性设计中），在单元中要保持塑性，仅在端部考虑塑性效应。一旦弯矩达到塑性铰，塑性铰理论就认为完全塑性。
在许多情况下，这样的模型完成的很好，与精确塑性区法相比，可以为整体框架的非线性刚度和强度提供预测[14]。对于单个独立的单元和框架，结构失效试验的最主要方面是沿着长度方向的屈服分布，因此有必要改进弹-塑性铰模型[9]。在弹-塑性铰模型中，在预测非弹性的荷载-位移曲线和强度方面进行修正，可以引起明显的改进。

图2 （a）单元的世界及局部坐标轴和初始参考轴；（b）各截面的法向及基本方向
2.4 屈服函数
在近期的研究中，采用传统的塑性铰理论（考虑屈服弯矩和垂直力之间的耦合作用），对矩形截面的梁柱，沿长轴方向的塑性弯矩Mpz以及轴向屈服荷载Np，可用文献[19]的屈服函数表示

式中和，分别表示轴向荷载与屈服荷载的比值以及长轴屈服极限弯矩与塑性弯矩的比值。
对于平面框架的I字型截面，可利用文献[12]表示屈服函数

对三维框架，屈服面为[23]

式中my=My/Mpy表示短轴屈服极限弯矩与塑性弯矩的比值。
同时，下一部分将进行更为详尽的描述，目的是获得更实际的反应，它是沿着单元建立内应力与屈曲分布的反应。
2.5 残余应力以及屈服分布
利用修正系数和来考虑这二方面的效应。
为了考虑应力-应变关系中热轧型钢梁中的残余应力效应（如文献[3]），可用有效模量代替弹性模量

式中为材料刚度的这算系数，计算见文献[6]

考虑到塑性发展沿着单元的塑性分布，文献[12]给出了附加的刚度折减系数

用刚度折减系数，切向弯曲刚度从最大值逐渐降低到0，在0.5-1.0之间变化。
同时，因为弯矩沿着单元并不相同（参见文献[34]），也就是说，计算每个单元端部的折减系数，同时通过折减系数、来计算扩大刚度矩阵。
至于切线模量，在Np、Mpy和Mpz中利用屈曲强度折减系Ky,T考虑。
2.6 刚度矩阵
为了得到适用于三维框架的表达式，Argris确定弯矩是准切线，同时扭矩是半切线，并提出了他们之间的关系。这种关系是用来在维持节点转角和弯矩一致的情况下，推导采用Argris提出的单元刚度矩阵。这个刚度矩阵包括直接推导的几何非线性部分，因此可通过数值积分来提高计算效果。
2.7 内力矢量
作为非线性分析，常采用增加塑性（参见文献[18]的例2）和以下假设来进行（与弹塑性及温度作用有关）：
（1）弹性增量，塑性增量和热位移增量

（2）存在与应力合力的屈曲标准有关的温度

式中是应力合力矢量，T是温度。
（3）协调条件：在塑性变形时，合力必须保持在屈服面，

（4）内力和位移之间的弹性关系为

式中是总位移中的弹性部分， 是切线刚度矩阵（利用Argris[2]几何非线性效应的函数），内力增量可表示为

（5）根据常规条件确定的塑性位移增量为

式中是一个正的标量和是屈服函数的梯度。
将式（13）代入式（8），整理后将代入式（12），得

将式（10）代入

即得

因此，将式（14）代入

即

式（17）可写成

式（19）表达了单元内力的增量，它考虑了几何非线性效应、热膨胀和屈服温度，若仅考虑动力荷载，式（19）可简化为

它与文献[5]的结果相符。在反复荷载作用下，位移增量迭代为

3. 计算方法
这个计算方法采用一个与迭代增量解答有关的修正拉格朗日表达式[22，28]。采用控制荷载锃亮的分析方法，在参考文献[24]中可以看到有关这方面的更为详细地介绍，它提供了超过临界状态，甚至是软化行为的荷载-位移路径。为了分析热增量，采用Newton-Raphon方法。在这种情况下，开始施加动力荷载在建筑物上，同时找到其相应的平衡位置。然后，在荷载不变的情况下，通过结构单元来介绍温度增量。通过式（19）确定每个单元的内力增量，同时组合整个结构的内力到矢量。通过内力与外力的不同，给出不平衡力。

根据相应的不平衡合资阿，建立结构位移增量方程

这些位移增量被增加到总位移，同时修正建筑物的形状，利用式（22）和（23）逐步迭代，直到内力及外力之间达到平衡。然后，在结构上施加一个新的热增量，重新开始计算。
4. 实例
4.1 实例1
图3给出了出自文献[23]的门式刚架。考虑到材料的弹塑性，取弹性模量为200000MPa，屈服强度为250 MPa。梁-柱横截面为矩形截面，面积为31612mm2和惯性矩等于8.328107mm4。式（2）表示矩形截面，塑性铰得到的屈服函数如图所示。框架分为5个单元。利用ABAQUS[1]应用塑性区法计算。
图4 给出了结果。有图中可知，与粗分法相比，本文公式结果吻合很好。为了与ABAQUS结果相比，采用32个单元（每个柱10个，梁12个单元）。
4.2 实例2
Rubert和Schaumann对一系列平面框架进行了试验，其中之一是如图5所示的门式刚架。它是利用电力装置进行均匀加热，所有截面均为IPE80，弹性模量及屈服强度的初始值分别为210000MPa和382MPa。同时利用式（3）的屈服标准，图6给出了试验和图5所示的计算结果的比较。

图3 例1中用到的5个单元的框架

图4 室温时框架的荷载-位移曲线

图5 例2中用到的单层单跨框架
4.3 实例3
同以前实例[25]一样，进行了同样系列试验。图7给出了单层双跨框架局部加热的情况。在前面实例中，所有截面均为IPE80，在室温时材料屈服强度为355 MPa，，弹性模量为210000MPa。如图8所示。模拟及试验结果吻合很好。

图6 单层单跨框架的位移-温度曲线

图7 例3中用到的单层双跨框架

图8 单层双跨框架的位移-温度曲
4.4 实例4
Mcnamee和Lu对图9所示的三层框架进行了试验。为了研究温度作用，考虑动力侧向荷载，即P=30KN，在二层模拟火灾时的热曲线。同样，式（3）作为屈服标准，图10给出了本文研究和SAFIR的比较。尽管低估了位移，但是临界温度仅相差0.8%（本文693.70C，SAFIR为689.00C）。
4.5 实例5
图11给出了出自文献[13]的三维框架。荷载P=250KN，材料弹性模量初始值为210000MPa，屈服强度为325MPa，所有截面均为H150150710。通过式（14）的屈服条件进行计算，图12 给出了在荷载H1、H2点之间的水平位移，同时与SAFIR结果进行了比较。同前述实例一样，高估了塑性铰模型的荷载路经，破坏温度之间仅仅相差4.1%（本文5120C，SAFIR为5330C）。

图9 例4中用到的三层单跨框架

图10 三层单跨框架的位移-温度曲线

图11 例5中的三维框架

图12 三维框架的位移-温度曲线
5. 结论
本文提出了一种适用于火灾中的三维钢框架分析的改进简化方法。这种模型是建立在一般塑性铰原理基础之上的。它包括在法向内力和弯矩共同作用下，通过横截面的塑性铰函数。它主要在以下几个方面进行了改进：
（1）利用刚度折减系数考虑了单元内应力和屈服的逐步分布，同时在计算效应方面有所增加。
（2）在每个单元端部，采用单独的系统描述运动特性，同时采用端部近似转动来表示，如图1所示。在有限位移效应方面，Argris提出的刚度矩阵可以提供精确解答。
（3）内力矢量（应仔细详细地进行确定）考虑屈服级温度变化的组合效应。
（4）用于分析荷载增量的控制方法，在超过临界状态时可以确定平衡路径，同时在荷载降低时，位移增加。
通过试验结果与先进规范的比较，如SAFIR给出的结果，二者吻合很好。由结论可知，本文建议改进的一般塑性铰方法，在温度升高时可以用于分析平面及空间框架，同时其精确度合理，计算效率较高。

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