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利用三边关系 确定线段和差最值
江苏省兴化市戴泽初级中学 王华明 225721 邮箱：xhdzwhm@ 手机：[phone]
我们经常会遇到这样的题目，如图，点A、B在直线L的同侧，试在直线L上取一点M，使MA+MB的值最小。
A
B
C
D
M
L
解：作点A关于直线L的对称点C，连接B、C，
与直线L交于点M，则M就是我们所求的点。
在L上任取一点D，连接CD、AD，
∵点A、C关于直线L对称
∴CD=AD MC=MA
∴AD+DB=DC+DB MA+MB=MC+MB
在△CDB中，CD+DB＞CB
即AD+DB＞MC+MB
∴AD+DB＞MA+MB
∴点M就是我们所求的点。
那如果在直线L上取一点N，使到点N到点A、B距离差最大，又如何确定呢？
A
B
C
N
L
解：作直线AB、交直线L于点N，则点N就是我们所求的点。
在直线上任取一点C，连接CA、CB
∵在△ABC中，CA-CB＜AB
而NA-NB=AB
∴ 点N就是我们所求的点
这两题都是将MA、MB；NA、NB转化到同一直线上，利用
三角形的三边关系，从而确定MA+MB有最小值，NA-NB有最大值。下面利用这些结论解决几个问题。
O
A
B
C
D
x
y
M
例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2㎝，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，-）。在抛物线的对称轴上求点M，使得点M到点D、点A的距离之差最大， 求出点M的坐标。
解：∵四边形OABC是正方形
∴A坐标为（0，-2），B坐标为（2，-2）
将A、B、D坐标分别代入y=ax²+bx+c得，
a=, b= -,c=-2
∴y=x²-x-2 对称轴为直线x=1
∵点A和点B关于直线x=1对称
∴使得点M到点D、点A的距离之差最大，
就是使得点M到点D、点B的距离之差最大
过点B、D作直线BD与直线x=1的交点就是所求的点M
设直线BD为y=kx+b 将B、D坐标代入得k= b= -
∴直线BD为y=x-
将x=1代入得 y=-
∴点M的坐标为（1，- ）
A
O
M
B
C
D
E
P
y
x
例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- x²+x+3交y轴于点A，矩形OABC，OC=5，边AB交抛物线于点E，边BC交抛物线于D，沿OD翻折，点C刚好落在E处，点M是抛物线的顶点，点P是线段OD上的一个动点，点P运动到何处时，点P到点M的距离PM与点P到点E的距离之和最小？求出点P的坐标。
解：由定点坐标公式求得M坐标为（2，）
∵沿OD翻折，点C刚好落在E处
∴点C点E关于OD对称 连接CM，与OD的交点就是所求的点P
将x=5代入y=- x²+x+3得y= ∴D坐标为（5，）
设直线OD为y=kx，将D坐标代入得k= ∴y=x
设直线CM为y=kx+b，将M、C坐标代入得k=- b=
∴y=- x+ 将两个函数关系式组成方程组可得x= y=
∴点P坐标为（，）