J3601答卷.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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储油罐的变位识别与罐容表标定模型
摘要

一、 问题重述
加油站一般都有地下储油罐及与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
然而，由于地基变形等原因，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。
由题中给出两种罐体结构图，以及相关数据，用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
问题一：已分别对小椭圆型储油罐无变位和倾斜角为a=4.1°的纵向变位两种情况做实验并得到相关数据，在此背景下建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
问题二：由实际储油罐图形，建立罐体变位后罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系的数学模型。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、 模型假设
1、 忽略油温变化引起的体积变化。
2、 忽略油位探针、注油管、出油管所占体积。
3、 忽略油位计、流量计的误差。
4、 假设罐体无形变。

三、 符号说明
：储油罐含油体积
：储油理论与实际体积差
：含油横截面面积
：储油罐纵向倾斜角度
β：储油罐横向偏转角度
：储油罐沿垂直轴向切片所得椭圆截面长半轴长
：储油罐沿垂直轴向切片所得椭圆截面短半轴长
：实际储油罐最大截面圆半径
：实际储油罐截面圆半径
：实际储油罐截面圆直径
：实际储油罐球体部分半径
：垂直轴向切片油面对应高度
：无横向偏转时油位高度示值
：有横向偏转时油位高度示值

四、 问题分析
对于问题一，未变位时，小椭圆型储油罐罐容的计算可将油位高度视为一自变量，利用微元法将油罐沿垂直于其轴向切成无数薄片，计算出薄片中含油部分的面积，再对其进行积分，继而得到储油罐罐容关于油位高度的关系，再代入不同油位高度，计算出储油罐罐容理论值，并与实际值比较，分析是否存在误差及误差产生原因。变位后，方法不变，只需将薄片上油位高度用油浮子所测的油位高度关于倾斜角的函数关系给出即可，然后代入间隔1cm的不同油位高度数据，得出罐容表标定值。
对于问题二，要建立实际储油罐变位后标定罐容的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系，找到因变量与两个角度之间的关系是解决问题的关键。因此，若在问题一模型基础上，对其添加纵向倾斜变位、横向偏转倾斜变位的影响，修改及完善原模型参数，建立储油罐罐容关于油位高度、纵向倾斜角度、横向偏转角度三因素的关系表达式，应能达到预期目的。首先可以根据一些特定的情况初步确定参数的数值，再根据实测数据逐步确定各变位参数应是一条可行之径。

五、 模型建立及求解
5.1问题一：
5.1.1模型建立：垂直轴向切片法求储油罐罐容模型
以油位探针的底部为原点，轴线向右方向为X轴正向，油位探针向上方向为Y轴正向，再根据右手规则定出Z轴正向建立坐标系。
基于问题分析，对储油罐进行沿垂直轴线方向切片，求切片中含油部分面积，然后将面积沿轴向积分，既得小椭圆型储油罐罐容表达式：
（5-1）
切片含油部分面积见图1中椭圆被直线AB所截阴影部分，积分过程中，
椭圆方程：
（5-2）
故OB曲线表达式为：
（5-3）
直线AB的y坐标由倾斜后油面在XY平面投影方程确定，投影图见图2，当＝0时，为油面高度值，即＝，故直线方程应为：
（5-4）
沿Z轴对阴影部分积分得：
（5-5）

Y
Z
O
A
B
-a
a
b

图1：小椭圆型储油罐沿垂直轴向切片图
（注：A、B为油面在YZ平面投影直线与椭圆交点）

Y
X
O
E
M
Q
F
P
N
α

图2：小椭圆型储油罐在XY平面投影图
油面在XY平面投影平行于图2中直线MN，由于投影在图2两直线MN与PQ间、直线PQ下方及直线MN上方外对储油罐垂直轴线方向截面面积求解不同，故需将截面含油部分面积分区间求得，如下：
（5-6）

整理以上公式得到完整的表达式：
(1)无变位即为0°时：
（5-7）
(2)为4.1°时：
（5-8）

用MATLAB对以上的关系式求解，得无变位时不同油位高度的储油量，并与实际值比较，部分数据如下表（所有数据见附录一）：
表1：无变位时部分储油量实际值与理论值比较
油位高度/mm
储油量实际值/L
储油量理论值/L
偏差/L
159.02
312
322.88
10.88
176.14
362
374.63
12.63
192.59
412
426.36
14.36
208.5
462
478.13
16.13
223.93
512
529.85
17.85

由上表数据可看出储油量实际值与理论值并不相等，存在差值，则做出储油量实际值与理论值之差与体积测量值变化趋势如下图（图中体积单位用立方米，高度用米）：

图3：未变位储油量实际值与理论值之差随体积测量值变化趋势图

由上图知储油量实际值与理论值之差与体积测量值存在一定的函数关系。因此，在建立初步求解体积的模型后，对求得储油量理论值应进一步修正，使结果更加准确。用MATLAB进行曲线拟合，得到体积差△V与测量体积V关系式为：。
用MATLAB编程求解为4.1°时不同油位高度数据所对应的油罐罐容理论值，程序见附录，画储油理论、实际值体积差△V与油位高度h的散点图。用MATLAB进行曲线拟合，得到体积差△V与油位高度h关系式为：
（5-9）

图4 ：体积差△V与油位高度h的2次拟合
对V进行修正后，其表达式为：
(1) 当无变位即为0°时：

（5-10）
(2)为4.1°时：
（5-11）

5.1.2模型求解
用此时的模型去计算给出高度时的体积，这时计算的结果与真实值的平均相对误差为0.86%。
将油位高度取相邻间隔为1cm的不同值，运用程序，求出所对应罐容，得到罐容表部分标定值（所有数据见附录二）如下表：
表2 罐容表部分标定值
高度/cm
容积/L
高度/cm
容积/L
高度/cm
容积/L
10
128.079
80
2574.228
111
3771.334
11
137.6869
81
2617.019
112
3801.951
12
148.9529
82
2659.584
113
3831.743
13
161.9409
83
2702.025
114
3860.61

5.2问题二：
5.2.1模型建立
当储油罐有横向偏转倾斜，为简化问题，可看作储油罐位置未变，而是坐标轴倾斜相应角度，如下图所示：
Z
Y
O
K
J
Z'
Y'
I
O'
β
C
D

图5：储油罐垂直于轴向截面结构示意图
（注：ZOY为原坐标，Z' O' Y'为倾斜β角后坐标）
分析图易得：
JI=，KI=，
故有：
，
则： （5-12）
由于储油罐垂直于轴向截面为圆形，故其在横向偏转倾斜后(即不等于0时)油位高度实际值并不变，仍为对应未偏转时油位高度示值，而油位高度示值却发生改变，
为。横向偏转倾斜后油位实际高度值与储油罐含油体积V的关系类似问题一，问题二则要求得到偏转后油位高度示值与储油罐含油体积V关系表达式，由上分析知是关于、的函数，故可先利用问题一模型得到、与V的关系式，再将用、代换，即得V关于、、三因素的表达式。
储油罐在XY平面投影图如下：
Y
X
O
M
F
P
Q
E
N
W

图6：储油罐在XY平面投影图
实际储油罐在XY平面投影图如上图，其中，P、Q点为储油罐球体部分球心，由几何关系求解储油罐球体部分半径m。
设M点横坐标为x,因, ，又由几何关系有，即。
由图5知圆方程为，得；油面在XY平面投影直线方程仍为；储油体积；同问题一，储油罐垂直于轴向截面含油部分面积仍需分段给出：
（5-13）
基于以上关系，最终得到V关于、、三因素的完整表达式：
（5-14）

5.2.2模型求解
(1)利用实际检测数据选定、搜索区间
对于油面过球罐的几何中心的这一特殊情况
可以表示出和的关系为：
（5-15）
而总是成立
所以可以换算出和的关系如下：
（5-16）

即可以用β表示出，所以体积V随高度示值的变化率满足：
=g(,(β),β) （5-17）

并且可以进一步表示成：
K’=h(,β)
而此时就是油面通过球罐的几何中心时的显示油高
可以通过下述方法进行求解：
因为对于特定的α和β，当油面通过球罐的几何中心时，随着视高的变换，油的体积的变化最快，所以可以利用附件二中总所给的原始数据出油量和显示油高利用差分
方法求油量V随显示油高的变化率随显示油高的变化关系。

图7： 体积V的变化率随油高h0的关系曲线

设对于h的函数为=H(h)
用四次多项式拟合得到其关系为

求得最大时，显示油高h=1.5743(m),并且对应h的= 28.1289()
利用在此前建立的求解油罐含油体积的式(5-14)，给模型中的赋予此处求得最大时求出的油高1.5743m
然后编写程序，令模型中的在一个较大的范围内变化，（比如以0.01度为步长取遍0—40度范围的点），求解出对应于不同的油量随油高的变化率，并且与比较，最后找出与最接近时，对应的的大小即为初步算得的此模型的值，再代入中，计算得到β的值,此时α,β值分别为,
此处求解得到的α和β可能会由于各种原因而带有一定的误差，所以进一步取
1.5743附近的一些值，然后分别求出对应的α,β值，统计出这些值所在的区间，以备下一模型“轮转搜索取最优模型”作为搜索区间，为了使搜索到的α,β值尽可能接近实际值，可以使搜索区间适当增大，此处取α和β的搜索区间分别为[0,4][2,10]。
(2)轮转搜索取法求解最优、
此模型的求解需要先从上一模型得到限定的搜索区间，然后在此区间内分别求解α,β取各个不同组合时，利用求解油量体积的模型，由附件二给出的高度求解理论出油量，与附件中所给的实际出油量求偏差平方和，最后搜索出使得总偏差平方和最小的α,β角度组合。
实现下述步骤：
Step1：预设定可以承受的偏差水平tol,先给定一个初值，找到在此β值下，使实际出油量与理论出油量偏差平方和最小的值，并将此时的作为α的初值。
Step2：利用找到的值，运用与Step 1相同的目标条件来寻找新的值，与上一次的值求绝对偏差，如果此绝对偏差小于tol,则搜索结束，并记录此时的α,β值，即为搜索到的目标值，否则做step3。
Step3：利用找到的值, 运用与Step 1相同的目标条件来寻找新的值，与上一次的值求绝对偏差，如果此绝对偏差小于tol,则搜索结束，并记录此事的α,β值，即为搜索到的目标值，否则做step2。
(3)求解结果
a) 利用已给数据用MATLAB编程（程序见附录）求解，运行程序得出结果为：α=2.1234度，β =4.2485度，即、分别为：2.1234°、4.2485°。
b) 将、值代入储油罐含油体积V的表达式，使从0到3米按间隔为10cm取值，得到储油罐变位后的油量容积表：
表3：罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值
油位高度/m
油量容积
/L
油位高度/m
油量容积
/L
油位高度/m
油量容积/
L
0
0.046.19
1.1
19.252
2.1
46.755
0.1
0.35443
1.2
21.928
2.2
49.311
0.2
1.0628
1.3
24.661
2.3
51.765
0.3
2.2172
1.4
27.437
2.4
54.099
0.4
3.695
1.5
30.239
2.5
56.292
0.5
5.4236
1.6
33.053
2.6
58.32
0.6
7.3613
1.7
35.863
2.7
60.155
0.7
9.4769
1.8
38.654
2.8
61.761
0.8
11.745
1.9
41.41
2.9
63.087
0.9
14.143
2
44.116
3
64.021
1
16.652

5.2.3模型检验
(1)令、均为0°，在不同油位高度下，利用式（5-14）求出相应储油罐含油体积值，并与题目附件2中相同油位高度的显示油量容积比较，得平均相对误差为%。由于附件2中显示油量容积是由相应显示油高在无变位时得到，而、均为0°时运用模型求得油量容积为相应理论值，二者平均相对误差为%说明用模型求体积准确性极高。
（2）首先，将所求得的、值代入式（5-14），计算不同高度下储油罐含油体积，将相邻高度所得含油体积做差，将体积差与附件2相应出油量比较，得误差0.57%；计算得到总的累计体积偏差平方和的值为5.9792*E-4(m^6)
然后再取储油体积为油罐容积一半时，取油位示值为1.5m处，实际储油32.3322，而模型中为2.1234°时，由得油位示值1.574m，由此得理论储油 32.3221，二者相对误差为0.0312%，此处的体积偏差很小，并且由求出的体积变换两偏差也比较小可得，整体的体积偏差情况都比较小，说明由建立的模型计算的体积值准确度高，可靠性强。

六、 模型优缺点分析
优点：对于问题二的求解，先考察油罐的几何中心这一特殊点处的体积变化率，通过与的关系，将对体积变化率的影响转化为对体积变化率的影响，将多因素问题转化为单因素问题分析，就可求出理想的值，进而求出值,再通过代入多组点求解不同的、的组合，用这些不同的解定出一个区间，再用反复循回修正的方法，对、的值不断进行修正，使解的精度更高，通过预先定的区间可以很大程序上减少搜索的工作量。
缺点：在对问题一中模型修正偏差时，只是着手寻找理论与实际体积差与油浮标示值或理论体积的关系，但未对造成偏差的具体原因做进一步的研究。

七、 模型改进
在问题一中，针对无变位情况进行分析时，经过拟合可以看出此时实际体积偏差与理论体积成很好的线性关系，对模型的改进可以从分析造成这一现象的原因入手，从而分析出造成误差的原因，如果此种误差主要为系统误差（如油量计测量误差），则可以对以后的所有数据在使用前进行预处理，分析其受系统误差的影响的大小，然后对数据进行修正，这样可以使数据更接近于理想值，使各问求解更加精确。

八、 参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2005。
[2]求是科技，MATLAB7.0从入门到精通，人民邮电出版社，2006。
[3]吴建国等，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005。
[4]John H.Mathews,Kurtis D.Fink,数值方法（MATLAB版），电子工业出版社，2009。
[5]冯有前等，数值分析，清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005。
九、 附录
附录一:1cm间隔对应罐油量
高度 /cm
罐容量/L
高度/cm
罐容量/L
高度/cm
罐容量/L
0
110.3744
41
953.3211
82
2659.584
1
106.8186
42
990.5853
83
2702.025
2
104.2136
43
1028.224
84
2744.341
3
102.6625
44
1066.339
85
2786.532
4
102.2563
45
1104.728
86
2828.598
5
103.079
46
1143.592
87
2870.339
6
105.2047
47
1182.632
88
2911.955
7
108.7045
48
1222.146
89
2953.346
8
113.6433
49
1261.836
90
2994.512
9
120.0831
50
1301.9
91
3035.453
10
128.079
51
1342.24
92
3076.069
11
137.6869
52
1382.754
93
3116.46
12
148.9529
53
1423.644
94
3156.527
13
161.9409
54
1464.708
95
3196.268
14
176.6739
55
1505.948
96
3235.684
15
193.212
56
1547.463
97
3274.776
16
211.3651
57
1589.152
98
3313.442
17
230.8933
58
1631.017
99
3351.784
18
251.6665
59
1673.057
100
3389.6
19
273.5747
60
1715.272
101
3427.092
20
296.568
61
1757.662
102
3464.058
21
320.5563
62
1800.127
103
3500.5
22
345.4997
63
1842.767
104
3536.516
23
371.3381
64
1885.482
105
3571.908
24
398.0415
65
1928.372
106
3606.775
25
425.56
66
1971.237
107
3641.016
26
453.8535
67
2014.277
108
3674.633
27
482.9021
68
2057.292
109
3707.625
28
512.6557
69
2100.383
110
3739.792
29
543.1043
70
2143.548
111
3771.334
30
574.218
71
2186.688
112
3801.951
31
605.9567
72
2229.904
113
3831.743
32
638.3005
73
2273.094
114
3860.61
33
671.2393
74
2316.26
115
3888.452
34
704.7331
75
2359.4
116
3915.269
35
738.772
76
2402.516
117
3940.761
36
773.3259
77
2445.506
118
3964.728
37
808.3849
78
2488.472
119
3986.971
38
843.9289
79
2531.412
120
4007.688
39
879.9379
80
2574.228

40
916.392
81
2617.019

附录二：第二问10cm的罐容表标定值
高度 /cm
罐容量/L
高度/cm
罐容量/L
高度/cm
罐容量/L
0
46.19
100
16652
200
44116
10
354.43
110
19252
210
46755
20
1062.8
120
21928
220
49311
30
2217.2
130
24661
230
51765
40
3695
140
27437
240
54099
50
5423.6
150
30239
250
56292
60
7361.3
160
33053
260
58320
70
9476.9
170
35863
270
60155
80
11745
180
38654
280
61761
90
14143
190
41410
290
63087

注：所用程序见“源程序”文件夹

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