函数概念教学设计.doc

目 录

题目……………………………………………………………………………………1
前言……………………………………………………………………………………1
1教材与教学目标分析………………………………………………………………1
1．1教材分析…………………………………………………………………………1
1．2教学目标分析……………………………………………………………………2
2教学重、难点剖析…………………………………………………………………2
2．1教学重点剖析……………………………………………………………………2
2．2教学难点剖析……………………………………………………………………3
3教学方法与策略……………………………………………………………………3
4教案…………………………………………………………………………………4
参考文献……………………………………………………………………………12
致谢…………………………………………………………………………………12
本人声明……………………………………………………………………………12函数概念教学设计
作者：XX
指导老师：xx
（xx师范高等专科学校xx级数学教育专业）

前言
函数是高中数学中一个非常重要的内容之一，是贯穿整个高中数学学习，乃到一生的数学学习过程中。其重要性体现在：1、函数本源在于现实生活，如自然科学乃至于社会科学中，具有广泛的应用。2、函数本身是数学的重要内容，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。亦是今后进一步学习高等数学的基础方法。3、函数部分内容蕴涵大量的重要数学方法，如函数的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归的思想、换元法、待定系数法、配方法等。这些思想方法是进一步学习数学和解决数学问题的基础。本文对函数概念的教学提出了自己的一些见解和想法，希望对读者有所帮助和启发。

1. 教材与教学目标分析
1.1 教材分析
本节课的教学内容来自于人教版全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修） 数学 第一册（上） 第二章的第一、二节。这本课本（第一册（上））是学生在高中第一个学期使用的教材，高一学生的知识还比较少，逻辑思维、抽象思维等方面的能力还不是很强，因此这本书主要介绍一些基本的数学知识，为学生在高中阶段以后的数学学习打基础。课本的第二章——函数，是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其它许多学科中有着广泛的应用；函数与已经学过的代数式、方程以及将要学习的不等式、三角函数等内容联系非常密切；函数是进一步学习数学的重要基础知识。函数的概念是第二章的重要内容，是函数学习的基础；函数概念是运动变化和对立同统一等观点在数学中的具体体现；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。
1.2 教学目标分析
一、教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射的概念，理解函数的近代定义、函数的三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辨证唯物主义观点。
二、教学目标分析：
以往的传统教学模式只注重知识目标，在这里，我觉得更应注重本身能力的提高和思想道德上的觉悟，出于这些方面的考虑，我制定了以上三个目标。学生在初中已学过不少函数，怎样引导学生理解函数本身的特质，找出函数中普遍存在的规律性的东西，概括出函数的概念，从而提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，是我们在教学工作时应该着重思考的。同时，函数概念是运动变化和对立统一等辨证唯物主义观点在数学中的具体体现，我们在教学时应注意渗透这些观点，从而通过数学方面的教育，培养学生的辨证唯物主义思想。

2. 教学重、难点剖析
2．1 教学重点剖析
一、教学重点：
函数的近代概念、函数的三要素。
二、教学重点剖析：
函数的近代概念是用集合和映射的概念来定义的：函数就是集合A到集合B的一个映射 f: A B ，其中A、B都是非空的数集。这个定义跟初中函数概念的定义有很大的不同，再加上近代定义本身又比较抽象，所以学生接受起来会比较困难。要讲清楚这个问题关键在于要先让学生知道函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射，然后再强调这个映射的特殊性在于集合A、B都必须是非空数集。这样，学生就理解什么是函数的近代概念了。函数的三要素：对应法则、定义域和值域。一个函数主要由对应法则和定义域这两个要素所决定。其中应特别强调函数三要素的对应法则。对应法则f是联系自变量x与变量y的纽带，我们在讲授函数这一抽象定义时，不妨把函数比喻为一个“机器”加工的过程，输入x，输出y，而这关键的加工机制便是f。现在涉及到函数三要素相关知识的题目，我们要对其引起重视。
2．2 教学难点剖析
一、教学难点：
映射的概念、函数符号的理解、区间的概念。
二、教学难点剖析：
映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作 f：A B 。前面说过，函数的近代概念就是用映射的概念来定义的，函数本身就是一个特殊的映射。因此，要弄明白函数近代概念就必须先理解好映射的概念。但映射概念本身是人们抽象出来的一个概念，比较不好理解，我们在讲解这一概念时可多用举例子等较生动形象的方法来帮助学生理解。函数符号在学生初学时容易搞错的两点：一、函数符号f（x）中的f表示对应关系，而平常我们所认识的字母一般是用来表示数的，因此，经常有学生会弄不明白f所表示的意义。另外，在不同的函数中f的具体含义一般不一样。二、f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。区间的概念在研究函数时常常会被用到。函数的区间常常是比较难求解的，特别是区间的端点，有时在某函数能否取到区间端点时是需要好好考虑一番的。

3. 教学方法与策略
教学方法策略是以教师讲授为主,学生自主预习为辅。因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。但是，俗话说“教无定法”。函数这个概念从产生、发展到成熟经历了几个世纪的争论和人为的加工，所以要让学生用40分钟完全掌握，几乎是不可能的，我认为在这里要发挥教师的主导作用，以讲授法为主。古语有云：“授人以鱼，仅供一饭之需；教人以渔，则终身受用无穷。”在教学中，我们除了要把知识传授给学生之外，更重要的是教会他们研究问题和解决问题的方法，从而为他们今后独立解决问题打下基础。其实著名教育家叶圣陶也曾说过：“教是为了不教。”本节课主要让学生体会怎样从数学的角度来分析实际问题、怎样从实际问题中抽象出数学概念的方法。

4. 教案
4.1 教学目标
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念，理解函数的近代定义、函数三要素、以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辨证唯物主义观点。
4.2 教学重点：
函数的近代概念、函数的三要素
4.3 教学难点：
映射的概念、函数符号的理解、区间的概念
4.4 教学过程：
一、复习引入
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
（让学生回忆一下初中对函数概念所下的定义，为下面介绍新的定义作铺垫。）
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
问题1：y = 1(xR)是函数吗？
（提这个问题是想让学生明白初中的函数定义在解释某些函数时显得不那么合理，而用近代定义来解释则显得非常自然。）
问题2：y = x与y = 是同一函数吗？
（提这个问题是让学生对函数的定义域问题引起注意。）
二、新授
（一）映射的有关概念
在初中我们已经学过一些对应的例子。例如，对于坐标平面内的任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x,y）和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一的一个确定的面积和它对应。现在我们将学习一种特殊的对应——映射。
先看两个集合A,B的元素之间的一些对应关系的例子：
（举这个例子是想让学生对映射这一抽象概念有一个形象的认识，从而帮助学生更好的理解映射的概念。）
30°
45°
60°
90°

2
-2
1
-1
A 求正弦 B
（2）
9
4
1

3
-3
2
-2
1
-1
A 开平方 B
（1）
1
4
9

1
-1
2
-2
3
-3
A 求平方 B
（3）
1
2
3

1
2
3
4
5
6
A 乘以2 B
（4）

观察（2）、（3）、（4），想一想这3个对应有什么共同的特点？
我们发现，这3个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。
一般地，设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A,B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB
注意：
（1） A中元素必须全部射出
（2） A中元素必须是单射
（3） B中元素有可能不被射到
（4） B中元素有可能被射到几次
这样，（2）、（3）、（4）这3个对应，都是集合A到集合B的映射
（1）的对应不是集合A到集合B的映射，想一想为什么？
另外，给定一个集合A到集合B的映射，且aA，bB,如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。
（二）函数的有关概念
1、函数的定义
我们在初中数学中代数中学过函数的概念，它可以叙述为：
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数的集合叫做函数的值域。
从映射的概念可以知道，函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f ：AB，其中A，B都是非空的数集，对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合B中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域。很显然，CB。
因此，如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y = f(x)，其中xA，yB。原象的集合A叫做函数y = f(x) 的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y = f(x) 的值域。函数符号y = f(x) 表示“y是x的函数”，有时候简记作函数f(x)。
2、已学函数的定义域和值域
（1）一次函数f(x) = ax + b (a 0)：定义域R，值域R；
（2）反比例函数f(x) = （k0）：定义域{x | x0},值域{y | y0}；
（3）二次函数f(x) = a+ bx +c (a0)：定义域R，值域：当a > 0时，{y | y }，当a < 0时，{y | y }。
3、函数的三要素
函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{f(x) | xA}。
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
4、函数符号f(x)的意义
（1）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
（2）f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
（三）函数的表示法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图像法三种。
（1） 解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
例如，s = 60，A，s = 2L，y = a+ bx + c (a0)，y = (x 2)
等等都是用解析式表示函数关系的。
中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数。
（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
例如，下表就是用列表法来表示函数关系的
国民生产总值 单位：亿元
年份
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
生产总值
7204.8
8994.6
10210.9
11956.4
14922.3
16904.9
18544.7
21665.8
26651.4
34476.7
（3） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
例如，下图是我国人口出生率变化曲线，是用图象法来表示函数关系的
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
出生率/%
时间/年

（4） 区间的概念
研究函数常常用到区间的概念。
设a、b是两个实数，而且a < b，我们规定：
（1） 满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
（2） 满足不等式a < x < b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；
（3） 满足不等式a x < b或a < x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b]。
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
定义
名称
符号

{x | a≤x≤b}
闭区间
[a , b]
a b

{x | a＜x＜b}
开区间
(a , b)
a b

{x | a≤x＜b}
半开半闭区间
[a , b)
a b

{x | a＜x≤b}
半开半闭区间
(a , b]
a b

在数轴表示图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域
（1） f（x）= （2） f（x）=
(3) f（x）= +
分析：给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的
自变量取值的集合。
解：（1）因为 x — 2 = 0 ，即x = 2时，分式没有意义，而x 2时，分式有意义。所以，这个函数的定义域是{x | x 2}。
（2）因为3x + 2 < 0，即x < 时，根式没有意义，而3x + 2 0，即x
时，根式 才有意义。所以，这个函数的定义域是[， +）。
（3）使根式有意义的实数x的集合是{x | x —1}，使分式有意义的实数x的集合是{x | x 2}，所以，这个函数的定义域是{x | x 1} {x | x 2 } =[ —1, 2 ) （2 ， +）。
注 从例1可以看出，当确定解析式y = f（x）表示的函数定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f（x）是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f（x）为二次根式，那么函数的定义域是使根式内的式子大于或等于零的实数的集合；
（4）如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。
例2 下列函数中哪个与函数y = x 是同一个函数？
（1） y = （） （2） y = （3） y = （4） y =
解：（1）y = ()= x（x 0），这个函数与函数y = x （x R）虽然对应法则相同，但是定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数。
（2）y = = x （x 0），这个函数与函数y = x （x R）对应法则相同，但是定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数。
（3）y = = x （x R），这个函数与函数y = x （x R）不仅对应法则相同，而且定义域也相同，所以这两个函数是同一个函数。
（4）y = = | x | ={ 这个函数与函数y = x（x R）的定义域都是实数集R，但是当x < 0时它的对应法则与函数y = x （x R）不相同，所以，这两个函数不是同一个函数。
注 函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就要看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致时这两个函数才算相同。
四、巩固练习
1、已知函数f（x）= 3x + 5，x R，求f（—3），f（—2），f（0），f（1），
f（2）以及函数的值域。
（布置这道练习题是想加深学生对函数三要素的认识，从而更好的理解函数的三要素。）
2、画出下列函数的图象：
（1） f（x）= x +2 （x z, 且 | x | 3）； （2） f（x）= 3x — 5，x (2，4 ]
（希望同学们多作画函数图象这方面的练习题，因为画函数图象是研究函数性质的一个有效途径，每一个学生必须掌握这个方法。）
3、求下列函数的定义域：
（1）f（x）= （2）f（x）= （3）f（x）=
（4）f（x）= + + 4
（在前面例题讲解的时候，我已经总结出了求定义域问题的几种具有一般规律性的情况，在高中阶段，求函数定义域的题目还有很多，希望同学们能够引起重视。）
五、小结
1、在函数的两个定义中，传统定义是以变量的概念为基础的，它生动形象易于学生接受，所以初中采用了这个定义，近代定义是以集合和映射为基础的，把函数看成数集到数集的映射，突出自变量与函数值之间的对应关系，用近代定义解释各种各样的函数都很方便。
2、函数是抽象性很强的概念，要理解透彻并非一朝一夕的事，教师在教学过程中必须由浅入深，让学生在不断地学习中加深对函数概念的理解，我们不可能做到一步到位，要给学生一个逐步加深认识的过程。
3、函数的思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数形结合等数学思想方法，教师始终要培养学生函数的思想。

参考文献
[1] 人民教育出版社中学数学室 全日制普通高级中学教科书（试验修订本· 必修）《数学》第一册（上） 人民教育出版社 P45 — P57

致谢
在指导教师xx老师的辅导、帮助下，本人顺利完成毕业设计，在此表示衷心地感谢！

本人声明
我声明，本论文及其设计工作是由本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成时所利用的一切资料已在参考文献中列出。
签名：xx
2009年4月24日