专题资料1 二次函数专题.doc

专题资料1 二次函数专题

1.二次函数的最值问题
1）二次函数（）的最值．
例：求的最值

总结：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．
2）．求二次函数在某一范围内的最值．(1)定轴定区间（2）定轴动区间（3）动轴定区间
即形如：在（其中）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；
第二步：讨论：
[1]若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；
②对称轴，即对称轴在的内部；
③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。
[2] 若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：
①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；
②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；

例： 已知函数 ，
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求函数的最值；
（3）若，求函数的最值；

【练习】已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

例：已知，求函数在区间上的最大值。

【练习】已知，求函数的最值。

2.二次函数恒成立问题
例：已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围；

【练习】1）若的定义域为R，求实数m的取值范围
1）若的值域为R，求实数m的取值范围
例：已知函数
(1)当时，恒成立，求的取值范围
(2)当时，恒成立，求的取值范围

3.含有二次函数的复合函数的单调区间问题
例：求下列函数的单调区间。
(1) (2)

【练习】求下列函数的单调区间
(1) (2)
(3)、讨论函数的单调性。
【练习】讨论函数的单调性

4.二次函数零点
例：对于函数若则函数在区间内（ ）
A、一定有零点 B、一定没有零点 C、可能有两个零点 D、至多一个零点
【练习】已知二次函数有两个相异零点，且函数满足
，则______
例：若方程在（0，1）内恰有一解，则的取值范围 （ ）
A、 B、 C、 D、
【练习】已知是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实根之和为（ ）
A、4 B、2 C、1 D、0

5.二次函数图像
例：已知函数，如果，且，则它的函数图象是哪个 （ ）

A B C D
例：已知，讨论关于的方程的实数解的个数。

6.二次函数对称轴
例：二次函数若则（ ）
A、 B、 C、　D、　
例：已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 （ ）
A． B． C． D．
例：已知函数f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之间的大小关系为
函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a的取值范围是（ ）
A.［-3,+∞］ B.(-∞,-3) C.(-∞,5］ D.［3,+∞)
例：已知函数在上是减函数，在上是增
函数，两个零点则这个二次函数的解析式为

7.可化为二次函数的函数
可化为二次函数的其他结构的函数，即
例：求函数的值域

【练习】求函数的值域

例：求函数的值域.

【练习】若方程有两个不同的解，求的范围

例：求函数的最小值

8.二次函数（方程根）的分布
1）一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
【定理1】
例1 若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。

【定理2】
【定理3】
例3 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？

【定理4】 1)，且；
2)，且。
例4若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？

2）一元二次方程的非零分布——分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
【定理1】

【定理2】

【定理3】

【定理4】有且仅有（或）

【定理5】或
此定理可直接由定理4推出，请自证。

【定理6】，则或

【练习】
1. 关于的方程有且仅有一个根在内，求的取值范围。

2.关于的方程的两实根均在内，求的取值范围。

3.若关于的方程的两个实根，满足，，求实数的取值范围

4.设二次函数，若，请判断的值的正负，并说明理由。

二次函数专题练习

1．已知函数在上的最大值为4，求的值．

2．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)

3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．

4.函数的最值。

5.已知二次函数的二次项系数为且不等式的解集为
（1）若方程有两个相等的根，求解析式
（2）若的最大值为正数,求的取值范围

6.函数的值域

7.已知，若函数在上的最大值为，最小值为，又已知函数，（1）求的表达式；（2）指出的单调区间，并求出的最大值和最小值。

8.若关于的方程的两个实根都大于2，,求实数的取值范围。

9.已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围