重积分的计算及应用习题课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,习题课,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,重积分的 计算 及应用,一、重积分计算的基本方法,1.,选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面,(,线,),围成,;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离,.,2.,选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙,.,图示法,列不等式法,(,从内到外,:,面、线、点,),3.,掌握确定积分限的方法,累次积分法,1.,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,2.,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示,:,积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域,.,3.,计算积分,其中,是,两个球,(,R,0),的公共部分,.,提示,:,由于被积函数缺,x,y,原式,=,利用“,先二后一,”计算方便,.,4.,计算三重积分,其中,是由,xoy,平面上曲线,所围成的闭区域,.,提示,:,利用柱坐标,原式,绕,x,轴旋转而成的曲面与平面,补充题,.,计算积分,其中,D,由,所围成,.,提示,:,如图所示,连续,所以,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.,交换积分顺序的方法,2.,利用对称性或重心公式简化计算,3.,消去被积函数绝对值符号,4.,利用重积分换元公式,证明,:,提示左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得,.,1.,2.,其中,是,所围成的闭区域,.,提示,:,被积函数在对称域,上关于,z,为奇函数,利用,对称性可知原式为,0.,由球面,3.,在均匀的半径为,R,的圆形薄片的直径上,要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少,?,提示,:,建立坐标系如图,.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上,例,4.,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,(2),积分域如图,:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得例,2.,计算二重积分,其中,D,是由曲,所围成的平面域,.,解,:,其形心坐标为,:,面积为,:,积分区域,线,形心坐标,例,5.,计算二重积分,在第一象限部分,.,解,:,(1),两部分,则,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,(2),提示,:,两部分,说明,:,若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号,.,作辅助线,将,D,分成,例,6.,如图所示,交换下列二次积分的顺序,:,解,:,例,7.,解,:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,三、重积分的应用,1.,几何方面,面积,(,平面域或曲面域,),体积,形心,质量,转动惯量,质心,引力,证明某些结论等,2.,物理方面,3.,其它方面,例,1,.,证明,证,:,左端,=,右端,例,2.,设函数,f,(,x,),连续且恒大于零,其中,(1),讨论,F,(,t,),在区间,(0,+),内的单调性,;,(2),证明,t,0,时,(03,考研,),解,:,(1),因为,两边对,t,求导,得,(2),问题转化为证,即证,故有,因此,t,0,时,因,利用“先二后一”计算,.,例,3.,试计算椭球体,的体积,V,.,解法,1,*,解法,2,利用三重积分换元法,.,令,则,