空间向量与线性运算(重难点突破)解析版.docx

1.1.1 空间向量与线性运算

（一）、回顾平面向量
1.平面向量的概念
名称
定义
备注
向量
既有 又有 的量。
向量的大小叫做向量的长度或模
平面向量是自由向量
零向量
长度等于0的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
与非零向量共线的单位向量为
平行向量
(或共线向量)
方向 的 向量
0与任一向量平行（或共线）
相等向量
长度 且方向 的向量
两向量只有相等或不等，不能比大小
相反向量
长度 且方向 的向量
0的相反向量为
2.向量的线性运算
（1）加法：是指求两个向量和的运算；
法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。
（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。
（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；
法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ；
③当时，与的方向 ；④四时，= .
3.共线向量定理
向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。
4.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，
一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；
（2）三终点A,B,C共线ó存在实数使得=，且
5.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。
（2）范围：夹角的取值范围是 。
①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）与的夹角是锐角ó· 0且与不共线；
（2）与的夹角是钝角ó· 0且与不共线。
（二）、学习空间向量
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1

相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)、向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b

减法
＝－＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)、空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.

知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。

重难点题型突破1 空间向量的有关概念
例1、（1）．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（     ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果，则，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
（2）.（2022·江苏·高二课时练习）(多选题)下列命题中为真命题的是（　　）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】AD
【解析】
【分析】
直接利用平面向量的定义，相等向量，相反向量的定义，空间向量的定义判定A、B、C、D的真假性．
【详解】
对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题．
对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B为假命题．
对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C为假命题．
对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题．
故选：AD
【变式训练1-1】、（2023春·高二课时练习）（多选题）下列说法错误的是（    ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
【答案】ACD
【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；
【详解】A.如图所示： ，三个向量共面，故错误；
B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；
C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；
D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；
故选：ACD
【变式训练1-2】、（2023秋·高二课时练习）思维辨析(对的打“正确”，错的打“错误”)
（1）向量的长度与向量的长度相等．( )
（2）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( )
（3）零向量没有方向．( )
（4）空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．( )
【答案】 正确
正确
错误
正确
【分析】根据定义直接判断即可.
【详解】（1）相反向量长度相等，故（1）正确；
（2）相等向量方向相同、长度都相等，所以若起点相同，则终点也相同，故（2）正确；
（3）零向量方向是任意的，故（3）错误；
（4）空间向量的加减法运算和平面向量的运算法则是相同的，故（4）正确；
故答案为：正确；正确；错误；正确.
重难点题型突破2 空间向量的线性运算
例2．（1）、（2021秋·高二课时练习）在空间中，下列结论正确的是（　　）
A．＝＋ B．＝＋＋
C．＝＋－ D．＝＋
【答案】B
【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D错误，
故选：B
（2）、（2022·河北沧州·高二期末）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.
【详解】
.
故选：B.
（3）、（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（    ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的运算法则计算即可.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，正确．
故选：D
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.
【详解】
由题意得，.
故选：D
【变式训练2-2】、（2023秋·河北秦皇岛·高二秦皇岛一中校考期末）（多选题）如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可.
【详解】A：，因此本选项正确；
B：，因此本选项正确；
C：，因此本选项不正确；
D：，因此本选项不正确，
故选：AB
【变式训练2-3】、（2022·浙江嘉兴·高一期末）(多选题)如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.
【详解】
选项A：.判断正确；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：AC

重难点题型突破3 共线定理或共面定理的应用
例3、（1）.（2005·山东·高考真题）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：
，
又与过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
(2)、（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）已知向量，若共面，则________．
【答案】±1
【解析】
【分析】
利用共面向量定理直接求解
【详解】
因为向量共面,
所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,
所以，解得,所以x=±1.
故答案为：±1.
(3)、（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.
【详解】由与三点共面以及，
可得，，所以.
故选：C.
【变式训练3-1】、（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
【变式训练3-2】、（2023·全国·高二专题练习）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用向量来判定点在平面内，只需要满足：（）
【详解】因为A、B、C三点不共线，则不共线，
若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，
即，变形得，
对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确；
对于，，可得：
则，故不在平面内，故选项错误；
对于C，，可得：，
则，故不在平面内，故选项C错误；
对于，，可得：
则，故不在平面内，故选项错误；
故选：
【变式训练3-3】、（2023·江苏·高二专题练习）（多选题）在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】AC
【分析】根据向量线性运算法则，结合题意，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】根据向量的线性运算法则，根据正方体性质，结合图象，分析可得：
对于A：，由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故A正确；
对于B：，由图象可得三个向量共面，所以，，共面，故B错误；
对于C：由图象可得三个向量不共面，所以，，不共面，故C正确；
对于D：，由图象可得共面，所以，，共面，故D错误.
故选：AC
重难点题型突破4 挑战满分压轴题
例4、（1）.（2023·江苏·高二专题练习）在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，

Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；

在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
（2）．（2022·高二单元测试）已知球是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】如图所示，
设已知的正八面体，易知平面于球心，
且点为正方形的中心，设球心与正四棱锥的侧面相切于点
连接，则，，
由，得
即正八面体的内切球的半径为

为正八面体表面上的任意一点
则，

即的取值范围是
点睛：本题考查了空间内的向量点乘问题，将其转化为从点出发的向量，利用立体几何知识求出相切时的长度，继而算出取值范围，本题的难点在于向量的转化上，同时也是解题的方法．
【变式训练3-1】、（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（    ）

A．的最小为2
B．若DP⊥平面ABC，则
C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为
D．若F为线段EN的中点，且，则
【答案】D
【分析】A选项由线面垂直证得CM⊥BM，CM⊥AM，进而由点P与点M重合时即可判断；B选项利用内切球求得即可判断；C选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；D选项由空间向量的线性运算即可判断.
【详解】易得，又，则面，又面，则，同理可得，
，则CM⊥平面ABD，又平面，所以CM⊥BM，CM⊥AM．则当点P与点M重合时，取得最小值，
又，则最小值为，A错误．

在正四面体ABCD中，因为DP⊥平面ABC，易得在上，所以，又点N，M也是和的内心，
则点P为正四面体ABCD内切球的球心．，．设正四面体ABCD内切球的半径为r，
因为，所以，
解得，即，故，B错误．

设三棱锥P－ABC外接球的球心为O，半径为R，易得球心在直线上，且，则，
解得，故三棱锥P－ABC外接球的表面积为，C错误．
若F为线段EN的中点，则，．
设，则．因为，
所以设，则解得故，D正确.
故选：D.
【变式训练3-2】、（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）（多选题）已知直四棱柱的底面为正方形，，P为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在点P，使得
C．当时，的最小值为
D．当时，存在唯一的点P，使得平面平面PBC
【答案】ACD
【分析】对于A选项，Q，R分别为AB，的中点，连结QR，判断出点P在线段QR上运动，由平面，得到点P到面的距离为定值，而的面积为定值，即可判断；
对于B选项，
连结，设M，N分别为，的中点，连结MN，则.判断出
点P在线段MN上运动，由，判断出不可能存在点P，使得；
对于C选项，连结，判断出点P在线段上运动.连结，将翻折到平面内，得到四边形，解四边形，即可判断.
对于D选项，设M为的中点，连结BM，判断出P在线段BM上运动.设S为的中点，连结SM，连结BS，过P作交BS于点T，判断出为二面角的平面角，当时，平面平面PBC，即可判断.
【详解】对于A选项，

设Q，R分别为AB，的中点，连结QR，则.面，面，所以平面.
因为，其中，，当时，所以点P在线段QR上运动，平面，所以点P到面的距离为定值，而的面积为定值，因此三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B选项，

连结，设M，N分别为，的中点，连结MN，则.
因为，其中，，当时，所以
点P在线段MN上运动，且，，且两等号不同时成立，从而，故不可能存在点P，使得，故B错误；
对于C选项，

连结，则由可知B，P，三点共线，故点P在线段上运动.
连结，将翻折到平面内，得到四边形，其中，，，，连结，如图1，所以，，所以，故C正确；
对于D选项，

设M为的中点，连结BM，则，由知P在线段BM上运动.设S为的中点，连结SM，则，连结BS，过P作交BS于点T，则易知PT为平面PAD与平面PBC的交线，，，故为二面角的平面角，当时，平面平面PBC，且T点唯一确定，所以P点也唯一确定.故D正确.
故选:ACD.
【点睛】空间背景下的动点轨迹的处理方法的两种：
（1）要求熟悉一些常见情况，利用面面相交得到动点的轨迹方面；
（2）利用数形结合，用解析的方法来研究空间轨迹.