2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练55-几何概型.docx

课时规范练55　几何概型
基础巩固组
1.某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:15~8:30),一名职工在7:50到8:30之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常刷卡上班的概率是(　　)
A.23 B.58 C.13 D.38
2.已知α∈[0,π],则满足sin α<cos α的概率为(　　)
A.14 B.13 C.12 D.34
3.在区间-π2,π2上随机取一个实数x,使cos x≥12的概率为(　　)
A.34 B.23 C.12 D.13
4.在一次试验中,向如图所示的正方形ABCD中随机撒一大把豆子,图中半圆的直径分别为AB,BC.经过统计,发现落在正方形ABCD中的豆子有N粒,其中有m(m<N)粒豆子落在阴影区域内,以此估计mN的值为(　　)

A.π-28 B.π-24
C.π-18 D.π-14
5.(2022江西上饶六校二模)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,则满足x-y≥13的概率为(　　)
A.29 B.13 C.49 D.23
6.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,0)和圆O:x2+y2=1,在圆O上任取一点Q,连接PQ,则直线PQ的斜率大于-3的概率是(　　)
A.16 B.13 C.23 D.56
7.(2022吉林长春模拟)向平面区域{(x,y)|x2+y2≤1}内随机投入一点,则该点落在区域2x+y≤1,x≥0,y≥0内的概率等于　　　　　. 
综合提升组
8.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为(　　)
A.23 B.22 C.12 D.13
9.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为(　　)
A.34+12π B.12+1π
C.14−12π D.12−1π
10.(2022江西萍乡二模)已知圆C:(x-2)2+y2=1,直线l为绕原点转动的任一直线,则事件“直线l与圆C有公共点”发生的概率为(　　)
A.π3 B.π6 C.13 D.16
创新应用组
11.(2022河南开封三模)如图,E是正方形ABCD内一点,且满足AE⊥BE,AD=DE,在正方形ABCD内随机投一个点,则该点落在图中阴影部分的概率是(　　)

A.310 B.25 C.49 D.35

参考答案
课时规范练55　几何概型
1.D　一名职工在7:50到8:30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟,但有效刷卡时间是15分钟,所以该职工能正常刷卡上班的概率P=1540=38.故选D.
2.A　∵α∈[0,π],sin α<cos α,∴0≤α<π4,∴满足sin α<cos α的概率为P=π4-0π-0=14.
3.B　不等式cos x≥12在区间-π2,π2上的解为-π3≤x≤π3,故cos x≥12的概率为2π3π=23.
4.A　设正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD的面积等于4.因为阴影部分的面积等于2×14π×12-12×1×1=π-22,所以mN≈π-224=π-28.故选A.
5.A　由题可知试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},满足x-y≥13的结果构成的区域为A=(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1,x-y≥13,满足x-y≥13的概率为P=12×23×231×1=29.故选A.

6.D　如图:当直线PM的斜率为-3时,倾斜角为120°,∠POM=60°,当点Q在优弧PM(不含端点)上时,直线PQ的斜率大于-3,优弧PM的长度为2π-π3×1=5π3,圆的周长为2π×1=2π,根据几何概型的概率公式可得所求概率为5π32π=56.故选D.

7.14π　由题设,线性区域如图,由2x+y=1可知直线与坐标轴的交点为(0,1),12,0,所以线性区域面积为12×1×12=14,而圆的面积为π,故点落在线性区域的概率为14π.

8.A　圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.
所以当b∈(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.

9.C　∵|z|=(x-1)2+y2≤1,∴(x-1)2+y2≤1,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而y≥x所表示的区域如图中阴影部分,故P=π4-12π=14−12π.故选C.

10.C　设直线l:y=kx,由直线l与圆C有公共点,则圆心(2,0)到直线的距离d=|2k|1+k2≤1,化简得4k2≤1+k2,即-33≤k≤33,所以直线l的倾斜角的范围为0,π6∪5π6,π,则事件“直线l与圆C有公共点”发生的概率为P=(π6-0)+(π-5π6)π-0=13.
11.B　建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=1,E(x,y),0<x<1,0<y<1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1),因为|AD|=|DE|,AE·EB=0,

所以1=x2+(y-1)2,x(1-x)-y2=0,
解得x=45,y=25,或x=0,y=0(舍去),即E45,25.该点落在图中阴影部分的概率P=1-12×1×45-12×1×251×1=25,故选B.