课时6-3-向心力加速度(新教材人教版必修第二册).docx

第六章 圆周运动
课时6.3 向心力加速度

1.理解向心加速度的产生和向心加速度的方向。
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
3.了解向心加速度的表达式的推导过程。
4.运用向心加速度公式求解有关问题。

1.向心加速度的定义及特点
(1)意义:描述线速度方向改变的快慢。
(2)定义:物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心,这个加速度称为向心加速度。
(3)方向:向心加速度的方向时刻在变化,总是沿半径指向圆心,即始终与线速度方向垂直。
(4)作用效果:只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。
2.向心加速度的表达式

基础过关练
题组一　对向心加速度的理解
1.下列关于向心加速度的说法中正确的是 (　　)
A.向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化

2.对于做匀速圆周运动的物体,下列说法中正确的是 (　　)
A.根据an=v2r可得,向心加速度的大小一定跟运动的半径成反比
B.根据an=ω2r可得,向心加速度的大小一定跟运动的半径成正比
C.根据ω=vr可得,角速度一定跟运动的半径成反比
D.根据ω=2πT可得,角速度一定跟运动周期成反比

3.如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像,其中A为双曲线的一条分支,由图可知 (　　)

①A物体运动的线速度大小不变
②A物体运动的角速度不变
③B物体运动的角速度不变
④B物体运动的角速度与半径成正比
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

4.如图所示是学生常用的剪刀,A、B是剪刀上的两点,B离O点更近,则在正常使用过程中 (　　)

A.A、B两点的角速度相同
B.A、B两点的线速度大小相等
C.A、B两点的向心加速度大小相等
D.A、B两点的向心加速度方向相同

5.(多选)如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样,它们的边缘有三个点A、B、C,在自行车行驶过程中,下列说法中正确的有 (　　)

A.A、B两点的线速度大小跟它们的运动半径成正比
B.A、B两点的角速度大小跟它们的运动半径成反比
C.B、C两点的线速度大小跟它们的运动半径成正比
D.B、C两点的向心加速度大小跟它们的运动半径成正比

题组二　向心加速度的计算
6.如图所示,A、B为小区门口自动升降杆上的两点,A在杆的顶端,B在杆的中点处。在杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程中,下列判断正确的是 (　　)

A.A、B两点线速度大小之比为1∶2
B.A、B两点角速度之比为1∶1
C.A、B两点向心加速度大小之比为1∶2
D.A、B两点向心加速度的方向不同

7.A、B两个质点分别做匀速圆周运动,若在相等时间内,转过的圆心角之比为θA∶θB=3∶2,它们通过的弧长之比为LA∶LB=4∶3,则 (　　)
A.它们的角速度之比为ωA∶ωB=2∶3
B.它们的线速度大小之比为vA∶vB=3∶4
C.它们的周期之比为TA∶TB=2∶3
D.它们的向心加速度大小之比为aA∶aB=2∶3

8.如图所示是两个靠摩擦传动的轮,其中小轮半径为10 cm,大轮半径为20 cm,大轮上的C点离圆心O2的距离为10 cm,A、B分别为两个轮边缘上的点,则A、B、C三点的 (　　)

A.线速度大小之比是1∶1∶1
B.角速度之比是1∶1∶1
C.向心加速度大小之比是4∶2∶1
D.转动周期之比是1∶1∶2

能力提升练
题组一　向心加速度的分析与计算
1.如图所示,细绳的一端固定,另一端系一小球,让小球在竖直面内做圆周运动。关于小球运动到P点时的加速度方向,下列图中可能正确的是(易错)

2.(多选)现代人的压力普遍偏大,减压产品层出不穷,如图所示是一种叫“指尖陀螺”的减压产品。当陀螺绕中心的转轴O旋转时,陀螺上外侧B、C两点的周期、角速度、线速度大小和向心加速度大小的关系正确的是 (　　)

A.vB=vC B.ωB=ωC
C.TB=TC D.aB=aC

3.(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60 kg的学员在A位置,质量为70 kg的教练员在B位置,A点的转弯半径为5.0 m,B点的转弯半径为4.0 m,学员和教练员(均可视为质点) (　　)

A.运动周期之比为5∶4
B.运动线速度大小之比为1∶1
C.向心加速度大小之比为5∶4
D.受到的合外力大小之比为15∶14

题组二　向心加速度表达式的应用
4.(多选)波轮洗衣机中的脱水筒(如图所示)在脱水时,衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。某洗衣机的主要技术参数如表所示。在运行脱水程序时,有一质量m=6 g的硬币被甩到筒壁上,随筒壁一起做匀速圆周运动。下列说法正确的是 (　　)

主要技术参数
额定电压、频率
220 V、50 Hz
额定脱水功率
225 W
质量
31 kg
脱水转速
600 r/min
脱水筒尺寸
直径300 mm、高370 mm
外形尺寸
长555 mm、宽510 mm、高870 mm
A.硬币的角速度约为20 rad/s
B.硬币的线速度大小约为9.42 m/s
C.硬币的向心加速度大小约为60 m/s2
D.筒壁对硬币的弹力大小约为3.55 N

5.如图所示,两根长度相同的细线下面分别悬挂质量相等的A、B两小球,细线上端固定在同一点,两小球绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动,则 (　　)

A.细线的拉力关系为FA<FB
B.两小球的角速度关系为ωA<ωB
C.两小球的周期关系为TA<TB
D.两小球的线速度大小关系为vA<vB

6.(多选)如图,内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB,另一端BC伸直,水平放置在桌面上并固定。APB部分的半径R=1.0 m,BC长L=1.5 m,桌子高度h=0.8 m,质量为1.0 kg的小球(可视为质点)以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内,从C点离开管道后水平飞出,落地点D离点C的水平距离s=2 m,不计空气阻力,g取10 m/s2。则以下分析正确的是(深度解析)

A.小球做平抛运动的初速度为10 m/s
B.小球在圆轨道P点的角速度为ω=10 rad/s
C.小球在P点的向心加速度为an=25 m/s2
D.小球从B运动到D的时间为0.7 s

答案全解全析
基础过关练
1.A　向心加速度的方向时刻指向圆心,线速度的方向与半径垂直,故A对,B错;在匀速圆周运动中,向心加速度大小恒定,但方向时刻发生变化,故C、D错。
2.D　根据an=v2r可知,当线速度保持不变时,向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成反比,故A错误;根据an=ω2r可知,当角速度保持不变时,向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成正比,故B错误;根据ω=vr可知,当线速度大小保持不变时,角速度一定跟圆周运动的半径成反比,故C错误;根据ω=2πT可知,角速度的大小一定跟转动周期成反比,故D正确。
3.A　由图可知,A图线为双曲线的一条分支,说明向心加速度an与半径r成反比,根据an=v2r可知,当线速度大小不变时,向心加速度与半径成反比,说明A物体运动的线速度大小不变,①正确,②错误;由图可知,B图线为过坐标原点的直线,说明向心加速度an与半径r成正比,根据an=ω2r可知,当角速度不变时,向心加速度与半径成正比,说明B物体运动的角速度不变,③正确,④错误。故选A。
4.A　A、B两点同轴转动,A、B两点的角速度相同,选项A正确;根据v=rω可知A、B两点的线速度大小不相等,选项B错误;根据an=ω2r可知A、B两点的向心加速度大小不相等,选项C错误;向心加速度的方向沿半径指向圆心,A、B两点的向心加速度方向相反,选项D错误。
5.BCD　大齿轮与小齿轮是链条传动,边缘点的线速度大小相等,故选项A错误;A、B两点的线速度大小相等,由公式ω=vr可知,A、B两点的角速度跟它们的运动半径成反比,故选项B正确;B、C两点是同轴转动,它们的角速度相等,由公式v=ωr可知,B、C两点的线速度大小跟它们的运动半径成正比,故选项C正确;B、C两点是同轴转动,它们的角速度相等,由公式an=ω2r可知,B、C两点的向心加速度大小跟它们的运动半径成正比,故选项D正确。
6.B　A、B两点同轴转动,则角速度相等,故角速度之比为1∶1;根据v=ωr,因为rA=2rB,故A、B两点线速度大小之比为2∶1,选项A错误,B正确。根据an=ω2r,因为rA=2rB,ωA=ωB,故A、B两点向心加速度大小之比为2∶1,且A、B两点向心加速度的方向相同,均指向转轴,选项C、D错误。
7.C　A、B两质点分别做匀速圆周运动,在相等时间内转过的圆心角之比为θA∶θB=3∶2,根据公式ω=θt可得角速度之比为ωA∶ωB=3∶2,故A错误;A、B在相等时间内通过的弧长之比为LA∶LB=4∶3,根据公式v=st可得线速度大小之比为vA∶vB=4∶3,故B错误;根据公式T=2πω可得周期之比为TA∶TB=ωB∶ωA=2∶3,故C正确;根据an=ωv可得向心加速度大小之比为aA∶aB=2∶1,故D错误。
8.C　两个轮靠摩擦传动,边缘点的线速度大小相等,故vA=vB;B、C两点同轴转动,角速度相等,即ωB=ωC。由于ωB=ωC,rB∶rC=2∶1,根据v=ωr可得vB∶vC=rB∶rC=2∶1,所以vA∶vB∶vC=2∶2∶1,故选项A错误。由于vA=vB,根据v=ωr可得ωA∶ωB=rB∶rA=2∶1,所以ωA∶ωB∶ωC=2∶1∶1,故选项B错误。A、B、C三点的向心加速度大小之比为aA∶aB∶aC=vA2rA∶vB2rB∶vC2rC=4∶2∶1,故选项C正确。A、B、C三点的转动周期之比为TA∶TB∶TC=1ωA∶1ωB∶1ωC=1∶2∶2,故选项D错误。
能力提升练
1.D　小球在竖直面内做圆周运动,运动到P点时,所受的合力可分解为沿半径指向圆心的力和沿圆周切线方向的力,可知小球在P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度,故D可能正确。
易错警示
本题易错选B项。本题中小球做变速圆周运动,其加速度的方向不指向圆心。在变速圆周运动中,向心加速度是物体实际加速度的一个分加速度。
2.BC　因B、C两点绕同一转轴转动,所以B、C两点的角速度相等,转动周期相等;B、C两点的转动半径不相等,根据v=ωr、an=ω2r,可知B、C两点的线速度大小不相等,向心加速度大小不相等。A、D错误,B、C正确。
3.CD　由题可知,学员和教练员做圆周运动的角速度相等,根据T=2πω知周期相等,选项A错误。由于运动半径之比为5∶4,根据v=rω可得线速度大小之比为5∶4,根据an=rω2可得向心加速度大小之比为5∶4,选项C正确,B错误。由于向心加速度大小之比为5∶4,质量之比为6∶7,根据Fn=man可得合外力大小之比为15∶14,选项D正确。
4.BD　根据表格数据读出脱水筒的转速为n=600 r/min=10 r/s,由匀速圆周运动的角速度和转速的关系可得硬币的角速度为ω=2πn=20π rad/s≈62.8 rad/s,故A错误;硬币做匀速圆周运动的半径为r=d2=150 mm,则线速度大小为v=ωr=20π×150×10-3 m/s=3π m/s≈9.42 m/s,故B正确;硬币做匀速圆周运动的向心加速度大小为an=ω2r=(20π)2×150×10-3 m/s2=60π2 m/s2,故C错误;筒壁对硬币的弹力提供硬币做匀速圆周运动的向心力,FN=man=6×10-3×60π2 N=0.36π2 N≈3.55 N,故D正确。
5.C　设细线与竖直方向的夹角为θ,对小球受力分析可得细线拉力F=mgcosθ,连接小球B的细线与竖直方向的夹角小,故FA>FB,选项A错误;重力和细线拉力的合力提供向心力,有mg tan θ=mω2r=mv2r,解得v=grtanθ=gLsinθtanθ,ω=gtanθr=gLcosθ,其中L为细线长度,可知线速度vA>vB,角速度ωA>ωB,故B、D错误;周期T=2πω,可知TA<TB,故C正确。
6.CD　根据h=12gt2得t=2hg=2×0.810 s=0.4 s,故小球做平抛运动的初速度v0=st=20.4 m/s=5 m/s,选项A错误。小球在圆轨道P点的角速度ω=v0R=51.0 rad/s=5 rad/s,选项B错误。小球在P点的向心加速度an=v02R=251.0 m/s2=25 m/s2,选项C正确。小球在BC段的运动时间t'=Lv0=0.3 s,则小球从B运动到D的时间为0.3 s+0.4 s=0.7 s,选项D正确。
导师点睛
本题考查水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题。此类问题的情景往往是物体先在水平面内做匀速圆周运动,后做平抛运动。解决此类问题,首先要明确物体在水平面内做匀速圆周运动的向心力来源,根据牛顿第二定律和向心力公式列式;关于平抛运动,一般沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。速度是联系前后两个过程的关键物理量,前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。