6-2向心力(人教版2019必修第二册)(解析版).docx

第六章 圆周运动
第二节 向心力
[核心素养·明目标]
核心素养
学习目标
物理观念
(1)知道向心力是根据力的效果命名的，会分析向心力的来源。
(2)感受影响向心力大小的因素，通过实验探究它们之间的关系。
(3)掌握向心力的表达式，能够计算简单情境中的向心力。
(4)知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法。
科学思维
利用牛顿第二定律得出匀速圆周运动物体受力的方向，学会分析向心力的来源。
科学探究
理解控制变量法探究决定向心力大小的因素。
科学态度与责任
通过圆周运动实例激发学生学习兴趣，感受成功的快乐。

知识点一　向心力理解
1.定义
做圆周运动的物体一定受到指向圆心的力的作用，这个力称为向心力。
2.方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直。
3.作用效果
向心力只改变速度方向，不改变速度大小。
4.来源
向心力可能是弹力、重力、摩擦力，也可能是某几个力的合力或某一个力的分力。
5.向心力的性质
向心力是效果力，不是具体某个性质的力，在受力分析时，不能多出一个向心力。
6.向心力的来源
(1)若物体做匀速圆周运动，其向心力由合力提供，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定。
(2)若物体做非匀速圆周运动，其所受合力不指向圆心，此时向心力由物体所受的合力在半径方向上的分力提供，而合力在切线方向的分力改变线速度的大小。
知识点二　探究影响向心力大小的因素
1.实验目的：探究向心力大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
2.实验器材：向心力演示器、小球等。
3.实验原理与设计
如图所示，匀速转动手柄，可使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动。挡板对小球的作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球挤压挡板的力使挡板另一端压缩测力套筒的弹簧，压缩量可从标尺上读出，该读数即显示了向心力的大小。

向心力演示器
4.实验步骤
(1)把两个质量不同的小球分别放在长槽和短槽上，调整塔轮上的皮带和小球位置，使两球的转动半径和角速度都相同。转动手柄，观察向心力的大小与质量的关系。记录实验数据。
(2)换两个质量相同的小球，使两球的角速度相同。再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转动手柄，观察向心力的大小与半径的关系。记录实验数据。
(3)换两个质量相同的小球，调整小球的位置，使两球的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两球转动的角速度不同，转动手柄，观察向心力的大小与角速度的关系。记录实验数据。
5.实验结论
通过分析实验数据可得：
(1)在转动半径和角速度一定情况下，向心力大小与质量成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与转动半径成正比。
(3)在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比。
知识点三　向心力
1.向心力的大小：F＝mrω2＝m＝mr
①由公式可知向心力的大小与物体的质量m，圆周半径r，线速度v(或角速度ω或周期T)都有关系。
②向心力公式是从匀速圆周运动中得出的，但也适用于一般的圆周运动，只是在运用公式求解一般的圆周运动某点的向心力时，必须是该点对应的瞬时速度和对应时刻的半径。

2.向心力的来源实例分析
实例分析
图例
向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动

弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动

绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止

静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时

拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时

绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力

总结：向心力的来源来源。
(1)向心力不是像重力、弹力、摩擦力那样作为某种性质的力来命名的．它是根据力的作用效果来命名的。
(2)凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种力，都是向心力．匀速圆周运动的向心力一定是其合力。
(3)解题的关键是分析向心力的来源。
知识点四 变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果。
(1)合外力F跟圆周相切的分力Fτ，此分力产生切向加速度aτ，改变圆周运动速度的大小。
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向。
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多极短的小段，每一小段可看做一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
3．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较：

匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度
特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力
特点
合力方向一定指向圆心，充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
公式
Fn＝mmω2r都适用

易错易混点1.向心力的性质。
易错易混点辨析：(1)向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力。(2)物体做匀速圆周运动时，合外力一定是向心力，方向指向圆心，只改变速度的方向。(3)物体做变速圆周运动时，合外力沿半径方向的分力充当向心力，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小。(4)向心力是效果力，不是具体某个性质的力，在受力分析时，不能多出一个向心力。
例1. (多选)(2022·重庆第七中学期中)关于向心力，下列说法正确的是(　　)
A.物体由于做圆周运动而产生向心力
B.向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体的向心力是恒定的
D.做匀速圆周运动的物体所受各力的合力即为向心力
解析:选BD。因为受到向心力，物体才做圆周运动，而不是由于物体做圆周运动而产生向心力，故A错误；向心力总是与速度方向垂直，不能改变速度的大小，但能改变速度的方向，故B正确；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，故C错误；向心力是以作用效果命名的力，做匀速圆周运动的物体的向心力是其所受各力的合力，故D正确。
例2.如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋时做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是(　　)
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：选B。老鹰在水平面内盘旋时做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供向心力，则老鹰受到的重力和空气对它的作用力的合力提供向心力，向心力是效果力，不是老鹰受到的，故B正确，A、C、D错误。
例3.如图所示，一圆盘可绕过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是(　　)
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析：选C。圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡，在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。
易错易混点2.探究向心力的实验。
易错易混点解析：实验用到的方法，控制变量法。(1)在转动半径和角速度一定情况下，向心力大小与质量成正比。(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与转动半径成正比。(3)在质量和转动半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比。
例4.(2022·山东济南期末)如图甲为探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验装置，图乙为示意图，图丙为俯视图。图乙中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。

(1)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“理想模型法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)如图乙所示，如果两个钢球质量相等，且a、b轮半径相同，则是在验证向心力的大小F与__________的关系。
A.质量m B.半径r C.角速度ω
(3)现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，a、b轮半径相同，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。则钢球①、②的线速度之比为________。
解析：(1)在该实验中应用了控制变量法来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)如图乙所示，如果两个钢球质量m相等，且a、b轮半径相同，两球转动的角速度ω相同，则是在验证向心力的大小F与转动半径r的关系。
(3)钢球①、②的角速度相等，则根据v＝rω可知，线速度之比为2∶1。
例5.用如图所示的装置来探究钢球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。探究过程中某次实验时装置的状态如图所示。

(1)在研究向心力的大小F与质量m关系时，要保持________相同。
A.m和r B.ω和m
C.ω和r D.m和F
(2)若两个钢球质量和转动半径相等，则是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.质量m B.角速度ω C.半径r
(3)若两个钢球质量和转动半径相等，且标尺上红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值为1∶9，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为________。
A.1∶3 B.9∶1
C.1∶9 D.3∶1
解析：(1)在探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量之间的关系，该方法为控制变量法，据此可知，要研究F与m的关系，需保持ω和r相同，选择C正确。
(2)根据控制变量法可知，两球的质量和转动半径相等，则研究的是向心力的大小F与角速度ω的关系，选项B正确。
(3)根据F＝mω2r，两球的向心力之比为1∶9，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶3，因为靠皮带传动，两变速塔轮的线速度大小相等，根据v＝rω知，与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为3∶1，选项D正确。
例6.(2022·江苏扬州期中)甲乙两同学探究做圆周运动的物体所受向心力大小。

(1)甲同学利用细绳系一小物体在空气中甩动，使物体在水平面内做圆周运动，来感受向心力大小，则下列说法中正确的是________________。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)乙同学利用如图甲所示的实验装置，探究做圆周运动的物体所受向心力大小与质量、轨道半径及线速度的定量关系。圆柱体放置在水平光滑圆盘(图中未画出)上做匀速圆周运动，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F与线速度v的关系：
①该同学采用的实验方法为__________；
A.等效替代法 B.控制变量法
C.理想化模型法 D.微小量放大法
②改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示，请在图乙中作出F－v2图线；
v/m·s－1
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
v2/m2·s－2
1.0
2.25
4.0
6.25
9.0
F/N
0.90
2.00
3.60
5.60
8.10
③由作出的F－v2的图线，可得出F和v2的关系式：____________。
解析：(1)保持质量、绳长不变，增大转速，角速度变大，根据向心力公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据向心力公式可知，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确。
(2)①实验中研究向心力和线速度的关系，保持圆柱体质量和运动半径不变，采用的实验方法为控制变量法，故选B。
②在图乙中作出F－v2图线如图所示；

③根据作出的F－v2图像得F＝0.90 v2。
易错易混点3.匀速圆周运动问题的解题模型
易错易混点辨析：解决匀速圆周运动依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，因此求物体所受的合力，并选择圆周运动的公式是解决这类问题的关键。此外，弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径也是解题的一个关键环节。
例7.长为L的细线，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线L与竖直方向的夹角为α时，求：

(1)细线的拉力F；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期．
解析：　

对做匀速圆周运动的小球进行受力分析，如图所示，小球受到重力mg和细线的拉力F的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′。由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，细线对小球的拉力大小为F＝。
(2)由牛顿第二定律得mgtanα＝m
由几何关系得r＝Lsinα
所以小球做匀速圆周运动的线速度大小为v＝。
(3)小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π。
例8.以小物块为研究对象，受到重力和陶罐给它的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，其做圆周运动的平面在水平面内，根据牛顿第二定律求解。
解析：对小球受力分析如图所示，

由牛顿第二定律知
mgtanθ＝mω2·Rsinθ得ω0＝＝
针对训练
1.(向心加速度的理解)关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A.由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.匀速圆周运动不属于匀速运动
C.向心加速度能表示速度方向改变，也能表示速度大小改变
D.做圆周运动的物体，加速度方向时刻指向圆心
解析：选B。由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度大小是恒定的，但是方向不断改变，选项A错误；匀速圆周运动的速度方向不断改变，故不属于匀速运动，选项B正确；向心加速度只表示速度方向改变，选项C错误；只有做匀速圆周运动的物体，加速度方向才时刻指向圆心，选项D错误。
2.质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为(　　)
A.m B.mg
C.m D.m
解析：作出飞机的受力分析图，如图所示。根据牛顿第二定律有F合＝m，由平行四边形定则得空气对飞机的作用力F＝＝m，故C正确，A、B、D错误。
3.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是(　　)

解析：选C。雪橇做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供向心力；滑动摩擦力的方向和相对运动方向相反，故向后；拉力与摩擦力的合力指向圆心，故拉力指向雪橇的右前方。故C正确，A、B、D错误。
4.如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一定角度后释放，让小球以O点为圆心做圆周运动，则运动中小球所需的向心力是(　　)
A.绳的拉力
B.重力和绳子拉力的合力
C.重力和绳子拉力的合力沿绳方向的分力
D.重力沿绳方向的分力
解析：选C。如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力。因此，它可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选项C正确，A、B、D错误。
5.如图所示，绳子的一端拴着一个重物，固定另一端，现使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是(　　)
A.半径相同时，角速度越小绳越易断
B.周期相同时，半径越大绳越易断
C.线速度相等时，半径越大绳越易断
D.角速度相等时，线速度越小绳越易断
解析：选B。由F＝mrω2可知，选项A错误；由F＝mr可知，选项B正确；由F＝m可知，选项C错误；由F＝mvω可知，选项D错误。
6.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，重力加速度为g，则杆的上端受到的作用力大小为(　　)
A.mRω2 B.
C. D.不能确定
解析：选C。小球受重力和杆的作用力，做匀速圆周运动，这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力F＝＝，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确。
7.(多选)如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆周运动的精彩场面，目测质量为m的女运动员做匀速圆周运动时和水平冰面的夹角约为30°，运动员转动的周期为T，重力加速度为g，估算该女运动员(　　)
A.受到的拉力为mg
B.受到的拉力为2 mg
C.做圆周运动的半径为
D.做圆周运动的半径为
解析：选BC。设女运动员受到的拉力为F，分析女运动员受力情况可知，Fsin 30°＝mg，Fcos 30°＝mr，可得F＝2mg，r＝，故B、C正确。
8.(2022·海南海口一中月考)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则(　　)
A.绳的张力可能为零
B.桶对物块的弹力不可能为零
C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
解析：选C。当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，故B错误。
9.(多选)(2022·河北保定检测)如图所示，内部光滑的半球形容器固定放置，两个完全相同的小球a、b分别沿容器内壁，在不同的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是(　　)
A.a对内壁的压力小于b对内壁的压力
B.a的周期小于b的周期
C.a的角速度小于b的角速度
D.a的向心力大于b的向心加速度
解析：选BD。小球受到重力和内壁的支持力N，如图所示，合力指向圆心，充当向心力，故支持力N＝，对于两球有θa＞θb，所以NA＞NB，由牛顿第三定律知A错误；mgtan θ＝mrω2，得ω＝，设容器的半径为R，根据几何关系可知运动半径r＝Rsinθ，则ω＝，对于两球有θa＞θb，所以ωa＞ωb，周期T＝，故Ta＜Tb，B正确，C错误；向心力F向＝mgtanθ， 对于两球有θa＞θb，故a的向心力大于b的向心力，D正确。
10.游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r。秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示。已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计。重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)钢丝绳所受拉力F的大小；
(2)秋千匀速转动的角速度ω；
(3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采取哪些方法？(只要答对一种即可)
解析　(1)座椅做匀速圆周运动时，由重力和钢丝绳的拉力的合力提供向心力，如图所示，钢丝绳的拉力大小为F＝。
(2)座椅做匀速圆周运动的半径为
R＝r＋lsinθ
由mgtanθ＝mRω2得ω＝。
(3)增大转速(角速度)或增加钢丝绳的长度，可以增加钢丝绳与竖直方向的夹角。
12.如图所示，光滑杆AB与竖直方向的夹角为θ。质量为m的小球套在光滑杆上，球随杆一起绕OO′轴线匀速转动，此时球到B点的距离为L，重力加速度为g，求：
(1)杆对小球的作用力大小F；
(2)杆转动的角速度ω0；
(3)若调节杆转动的角速度，小球恰能在距B点2L处再次随杆一起匀速转动，则该过程杆对球做的功W。
解析：(1)小球在距B点L处，

Fsinθ＝mg，F＝。
(2)Fcosθ＝mωLsinθ，
解得ω0＝。
(3)小球在距B点2L处Fsinθ＝mg，
Fcos θ＝mω2×2Lsinθ，
解得ω＝，
开始时小球做圆周运动的线速度
v0＝ω0Lsinθ＝，
此时小球做圆周运动的线速度
v1＝ω×2Lsinθ＝，
由动能定理得
W－mgLcosθ＝mv－mv，
解得W＝mgLcosθ。