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2.4 单摆
学习目标：1．了解单摆的组成及单摆回复力的推导。
2．理解单摆周期公式并能用于计算。
重点：1．利用单摆实验探究单摆周期公式。
2．会用单摆周期公式进行分析、计算。
难点：1．对单摆振动回复力的分析和与单摆振动周期有关的因素的理解。
2．理解单摆这一理想化模型，并利用单摆模型分析问题。
知识点一、单摆
1．单摆：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的质量相对于球的质量以及球的直径相对于线长可以忽略，这样就形成单摆。单摆是一个理想化的模型。
摆长：摆长指的是从悬点到摆球重心的距离。
2．实际摆能看成单摆的条件：（1）摆线远长于摆球直径，即摆球为质点；
（2）摆球的质量远大于摆线的质量，即摆线的质量为零；
（3）摆长远大于摆动中摆线的伸长量，即摆线不能伸缩，无弹性。
（4）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略不计。
实际做成的单摆，悬线的伸缩越小，质量越轻，小球的质量越大，直径与线长相比可忽略，则越接近理想化的单摆。
3．单摆的平衡位置：当摆球静止在平衡位置O点时，细线竖直下垂，摆球所受重力G和悬线的拉力F平衡，O点就是摆球的平衡位置。
【题1】（多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是
A．摆线质量不计 B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．只要是单摆的运动就是简谐运动
知识点二、单摆的回复力
1．单摆运动特点
（1）摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都有向心力。
（2）摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力。
2．单摆的回复力—单摆受到的回复力F回=mg sinθ
（1）摆球的受力
①任意位置：如图所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。
②平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符。
【题2】（多选）下列关于单摆的说法，正确的是
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A（A为振幅），再运动到平衡位置时的位移为零
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
（3）单摆回复力来源：摆球的重力沿切线方向的分力F＝mgsinθ提供的。
（4）单摆回复力特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。
如图，虽然随着单摆位移x增大，sinθ也增大，但是回复力F的大小并不是和位移成正比，单摆的振动不是简谐运动。但是，在θ值较小的情况下（一般取θ≤10°），在误差允许的范围内可以近似的认为 sinθ=，近似的有F= mgsinθ== k x（k=），又回复力的方向始终指向O点，与位移方向相反，满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。所以，当θ≤10°时，在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力跟位移大小成正比，方向始终指向平衡位置（即与位移方向相反），因此单摆做简谐运动。
3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动（摆角一般不超过5°），其振动图象遵循正弦函数规律。
【特别提醒】（1）单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力。
（2）单摆摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度（摆角小于5°）摆动时才认为是简谐运动。
【题3】关于单摆，下列说法中正确的是
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力 C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
【题4】关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
知识点三、单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
（1）探究方法：控制变量法法。
（2）实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关。
②振幅较小时周期与振幅无关。
③摆长越长，周期大；摆长越短，周期小。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
（1）周期测量：用停表测出单摆N（30～50）次全振动的时间t，利用T＝计算它的周期。
（2）摆长测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆长。
（3）数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T－l，T－l2或T－图象，得出结论。
3．周期公式
（1）公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
（2）公式：T＝2π，即T与摆长l的二次方根成_正比，与重力加速度g的二次方根成反比。
（3）应用——测重力加速度：由T＝2π得g＝，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。
4．对单摆周期公式的理解：单摆的振动周期与振幅和质量无关，只决定于摆长与该处的重力加速度g，T＝2π。摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。
（1）等效摆长：①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径。
②图a中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sina，这就是等效摆长，其周期T＝2π。
图b中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
（2）等效重力加速度g
①g由单摆所在的空间位置决定。由g＝知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。
②g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速升降机中，设加速度为a，则重力加速度等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。
（3）思路：①找平衡位置（相对静止位置）；
②受力分析，求相对静止时细线的拉力F；
③求等效重力加速度；
④周期：。
【题5】一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P，如图，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
【题6】如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为T丁，那么
A．T甲>T乙>T丁>T丙 B．T乙>T甲＝T丙>T丁
C．T丙>T甲>T丁>T乙 D．T丁>T甲＝T丙>T乙
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