第14讲-导数的概念及其意义、导数的运算(精讲)(新高考通用)原卷版.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）
题型目录一览
①导数的定义
②导数的运算
③导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程
④导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程
⑤导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)
一、知识点梳理

一、导数的概念和几何性质
1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
注：增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
二、导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）

2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【常用结论】
1.在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2.过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
二、题型分类精讲

题型一 导数的定义
策略方法 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.

【典例1】已知函数在处的导数，则（    ）．
A． B．1 C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）
A．2 B．-1 C．1 D．
2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数的导函数是，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、填空题
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，则______．

题型二 导数的运算
策略方法 对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.

【典例1】求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)（为常数）；
(6).
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
3．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．

题型三 导数中的切线问题Ⅰ-求在曲线上一点的切线方程
策略方法 已知切点A(x0，f (x0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x0)，再根据y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)求解．

【典例1】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（    ）
A． B．2 C．±2 D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数____________．
6．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________．
三、解答题
8．（2023·北京东城·高三专题练习）已知函数，其中.若曲线在处的切线过点，求的值；

题型四 导数中的切线问题Ⅱ-求过一点的切线方程
策略方法
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值

【典例1】过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ）
A．e B． C． D．
2．（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线有（    ）条
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
6．（2023秋·广东梅州·高三平远县平远中学校考期末）已知直线与曲线相切，则_________.
7．（2023春·山东滨州·高三校考阶段练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
8．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______.

题型五 导数中的切线问题Ⅲ-求参数的值(范围)
策略方法 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．

【典例1】已知函数在点处的切线为，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（    ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与的图象在处有相同的切线，则（    ）
A．0 B． C．1 D．或1
3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若点P是函数任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．
7．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为____________．