上海市徐汇区2015高二上期末数学试卷解析版副本2.doc

2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1直线3x4y5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2若=（5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是3若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=4行列式中中元素3的代数余子式的值为7，则k=5以点P（3，4）和点Q（5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是6若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y24x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为7在ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是8已知双曲线kx2y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，1），则k=9在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=10已知F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且，若PF1F2的面积为16，则b=11若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为12在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13“”是“方程组有唯一解”的（）A充分不必要条件B必要不充分条C充要条件D既不充分又不必要条件14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D715已知集合P=（x，y）|x|+2|y|=5，Q=（x，y）|x2+y2=5，则集合PQ中元素的个数是（）A0B2C4D816已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=x（a0，b0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|a|y0|，则该双曲线的焦点（）A在x轴上B在y轴上C当ab时，在x轴上D当ab时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐标；（2）若|=，且+2与2垂直，求与的夹角18已知直线l经过点P（2，），并且与直线l0：xy+2=0的夹角为，求直线l的方程19如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（ab0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形（1）求椭圆E的方程；（2）求ABC的面积20如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y24y4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得F1PF2是直角21对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m|OP|M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界（1）曲线y2=4x与曲线（x1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a0），求曲线C的外确界与内确界2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1直线3x4y5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角【分析】根据所给的直线3x4y5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tan=，0，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果【解答】解：直线3x4y5=0，直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，tan=，0，=arctan，故答案为：arctan2若=（5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）【考点】平行向量与共线向量【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可【解答】解：=（5，4），=（7，9），=（12，5），|=13；与同向的单位向量的坐标为=（，）故答案为：（，）3若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：24行列式中中元素3的代数余子式的值为7，则k=3【考点】三阶矩阵【分析】由题意可知求得A12=k+4，代入即可求得k的值【解答】解：由题意可知：设A=，元素3的代数余子式A12=k+4，k+4=7，k=3，故答案为：35以点P（3，4）和点Q（5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y5）2=17【考点】圆的标准方程【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程【解答】解：点P（3，4）和点Q（5，6），以点P（3，4）和点Q（5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（1，5），圆的半径r=圆的方程为：（x+1）2+（y5）2=17故答案为：（x+1）2+（y5）2=176若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y24x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=2【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程【解答】解：顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y24x=0的圆心重合，抛物线的焦点F（2，0），该抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=27在ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为A【解答】解：cosA=在方向上的投影是|cos（A）=3=故答案为8已知双曲线kx2y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，1），则k=【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k【解答】解：双曲线kx2y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，1），渐近线的斜率为=，k=故答案为：9在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案【解答】解：如图，AB=3，BD=1，B=60，=故答案为：10已知F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且，若PF1F2的面积为16，则b=4【考点】双曲线的简单性质【分析】RtPF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，PF1F2面积为16，即可求出b【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，得F1PF2=90，m2+n2=4c2，PF1F2的面积为16，mn=324a2=（mn）2=4c264，b2=c2a2=16，b=4故答案为：411若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2【考点】椭圆的简单性质【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，F（1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=1，|OP|2+|PF|2的最小值为2故答案为：212在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x1【考点】轨迹方程【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则2=+，2（xm，yn）=（am，bn）+（1m，n），2x=a+1，2y=b，a=2x1，b=2y，b2=4a，（2y）2=4（2x1），即y2=2x1故答案为：y2=2x1二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13“”是“方程组有唯一解”的（）A充分不必要条件B必要不充分条C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案【解答】解：由a1 b2a2 b1，直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，方程组有唯一解，故选：C14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A15已知集合P=（x，y）|x|+2|y|=5，Q=（x，y）|x2+y2=5，则集合PQ中元素的个数是（）A0B2C4D8【考点】交集及其运算【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x0，y0时，化简得：x+2y=5；当x0，y0时，化简得：x2y=5；当x0，y0时，化简得：x+2y=5；当x0，y0时，化简得：x2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合PQ=，即PQ中元素的个数是0个，故选：A16已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=x（a0，b0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|a|y0|，则该双曲线的焦点（）A在x轴上B在y轴上C当ab时，在x轴上D当ab时，在y轴上【考点】双曲线的简单性质【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得0，即可判断出焦点的位置【解答】解：a|y0|b|x0|0平方a2y02b2x020焦点在y轴故选：B三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知：、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若|=2，且，求的坐标；（2）若|=，且+2与2垂直，求与的夹角【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角【分析】（1）设，由|=2，且，知，由此能求出的坐标（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角【解答】解：（1）设，|=2，且，解得或，故或（2）， 即，整理得，又0，=18已知直线l经过点P（2，），并且与直线l0：xy+2=0的夹角为，求直线l的方程【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程【解答】解：由于直线l0：xy+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：xy+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为再根据直线l经过点P（2，），可得直线l的方程为x=2，或y=（x+2），即 x=2，或 x+y1=0如图：19如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（ab0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形（1）求椭圆E的方程；（2）求ABC的面积【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标，SABC=|OA|yByC|，代入数值即可求得面积【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=，SABC=|OA|yByC|=2=6，ABC的面积为620如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y24y4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得F1PF2是直角【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P的坐标，根据F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y24y4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=2，即有交点为（2，2）；设双曲线的方程为=1（a0，b0），则=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（2，0），F2（2，0），若F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（，）和（，）21对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m|OP|M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界（1）曲线y2=4x与曲线（x1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a0），求曲线C的外确界与内确界【考点】曲线与方程【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，曲线y2=4x不是“有界曲线”；曲线（x1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）24x2=a2，y20，（x2+1）24x2+a2，（x21）2a2，1ax2a+1，则=，1ax2a+1，（a2）24x2+a2（a+2）2，即，当0a1时，2a，则，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1a2时，2a，则，0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2a3时，a2，则a31a+1，0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a3时，a2，则a31a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为，2016年9月6日