上海市徐汇区2015高二上期末数学试卷解析版副本2.doc

2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为　　　　　　（结果用反三角函数值表示）
2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是　　　　　　．
3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=　　　　　　．
4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=　　　　　　．
5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是　　　　　　．
6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为　　　　　　．
7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是　　　　　　．
8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=　　　　　　．
9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=　　　　　　．
10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=　　　　　　．
11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为　　　　　　．
12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为　　　　　　．

二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
13．“”是“方程组有唯一解”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
15．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（　　）
A．在x轴上 B．在y轴上
C．当a＞b时，在x轴上 D．当a＞b时，在y轴上

三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）
（1）若||=2，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．
18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．
19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△ABC的面积．

20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．
（1）求双曲线的方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．

21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．
（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．

2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为　arctan　（结果用反三角函数值表示）
【考点】直线的倾斜角．
【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．
【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，
∴直线的斜率时，
直线的斜率是倾斜角的正切，
∴tanα=，α∈[0，π]，
∴α=arctan，
故答案为：arctan．

2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是　（，）　．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．
【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），
∴=（12，5），||==13；
∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．
故答案为：（，）．

3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=　2　．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．
【解答】解：由题意知是方程组的解，
即，
则a+b=1+1=2，
故答案为：2．

4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=　3　．
【考点】三阶矩阵．
【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．
【解答】解：由题意可知：设A=，
元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，
∴k+4=7，
∴k=3，
故答案为：3．

5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是　（x+1）2+（y﹣5）2=17　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．
【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），
∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），
圆的半径r===．
∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．
故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．

6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为　x=﹣2　．
【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程．
【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．
【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，
∴抛物线的焦点F（2，0），
∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．
故答案为：x=﹣2．

7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．
【解答】解：cosA===﹣．
∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．
故答案为．

8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．
【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），
∴渐近线的斜率为=，
∴k=．
故答案为：．

9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．
【解答】解：如图，

∵AB=3，BD=1，∠B=60°，
∴==
=．
故答案为：．

10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=　4　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．
【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，
△PF1F2的面积为16，∴mn=32
∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，
∴b2=c2﹣a2=16，
∴b=4．
故答案为：4．

11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为　2　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．
【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，
因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，
|OP|2+|PF|2的最小值为2．
故答案为：2．

12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为　y2=2x﹣1　．
【考点】轨迹方程．
【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．
【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，
设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则
∵2=+，
∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），
∴2x=a+1，2y=b，
∴a=2x﹣1，b=2y，
∵b2=4a，
∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．
故答案为：y2=2x﹣1．

二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
13．“”是“方程组有唯一解”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．
【解答】解：由
⇔a1 b2≠a2 b1，
⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，
⇔方程组有唯一解，
故选：C．

14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；
当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；
当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；
当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；
当S=2049时，不满足继续循环的条件，
故输出的k值为4，
故选：A

15．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
【考点】交集及其运算．
【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．
【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，
当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；
当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；
当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；
当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，
对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，
做出图形，如图所示，
则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，
故选：A．

16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（　　）
A．在x轴上 B．在y轴上
C．当a＞b时，在x轴上 D．当a＞b时，在y轴上
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．
【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0
∴平方a2y02＞b2x02
∴﹣＞0
∴焦点在y轴
故选：B．

三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）
（1）若||=2，且∥，求的坐标；
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．
（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．
【解答】解：（1）设，
∵||=2，且∥，
∴，…
解得或，…
故或．…
（2）∵，
∴，
即，…
∴，
整理得，…
∴，…
又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…

18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．
【考点】两直线的夹角与到角问题．
【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．
【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，
由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，
故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．
再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），
即 x=﹣2，或 x+y﹣1=0．
如图：

19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△ABC的面积．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标，S△ABC=|OA|•|yB﹣yC|，代入数值即可求得面积．
【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，
椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，
可得a=b，解得b=2，
则椭圆E的方程为，
（2）直线BC的方程为y=x，
代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，
∴S△ABC=|OA|•|yB﹣yC|=×2=6，
△ABC的面积为6．

20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．
（1）求双曲线的方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．

【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程．
【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；
（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．
【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；
则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，
即有交点为（±2，2）；
设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），
则﹣=1，且a=2，解得b=2；
所以双曲线的方程为﹣=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，
由，
解得x2=6，y2=2；
由，
解得y=±1（不满足题意，应舍去）；
所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．

21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．
（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．
【考点】曲线与方程．
【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；
（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．
【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，
∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；
∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：
由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，
其外确界为3，内确界为1；
（2）由已知得：，
整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，
∴，
∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，
∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，
则=，
∵1﹣a≤x2≤a+1，
∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，
即，
当0＜a＜1时，2﹣a，则，
∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；
当1≤a≤2时，2﹣a，则，
∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；
当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，
∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；
当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，
∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．

2016年9月6日