高中数学解三角形应用举例课.pptx

解三角形的知识本身是从人类长期的生产和解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在数学发展历史生活实践中产生和发展起来的，在数学发展历史上，受到天文测量，航海测量和地理测量等方面上，受到天文测量，航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被应用于解决许多测量问题并被应用于解决许多测量问题.今天我们就来研究今天我们就来研究如何测量不可到达的两点之间的距离。如何测量不可到达的两点之间的距离。要解三角形必须要学习解三角形的预备知识：要解三角形必须要学习解三角形的预备知识：正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：余弦定理：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦值的积的两倍，即：这两边与它们的夹角的余弦值的积的两倍，即：正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理。我们先来回顾一下这两个知识点：我们先来回顾一下这两个知识点：例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC60o，ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为.米。米。例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile/h的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m）（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CABD练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m）最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m，夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。CAB例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法例例4 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上处测得地面上一点一点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角501。已。已知铁塔知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求，求出山高出山高CD(精确到精确到1m)分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：在ABC中，中，BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高，求此山的高度度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以长。根据已知条件，可以计算出计算出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高，求此山的高度度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15,C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCtan DBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后后到达海岛到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该沿怎此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确距离精确到到0.01n mile）?解：在解：在ABC中，中，ABC1807532137，根据，根据余弦定理，余弦定理，所以，所以，CAB=19.0,75CAB=56.0.答：此船应该沿北偏东答：此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15n mile.练习：海中有岛练习：海中有岛A，已知，已知A岛周围岛周围8海里内有暗礁，今有一货海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见轮由西向东航行，望见A岛在北岛在北偏东偏东75，航行，航行 海里后，海里后，见此岛在见此岛在北偏东北偏东30，如货轮不改变航向继续前进，问有无触，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。礁危险。ABCM北北北北解：解：在在ABC中中ACB=120BAC=45由正弦定理得：由正弦定理得：由由BC=20 ,可求可求AB 得得AM=8.978无触礁危险无触礁危险ABCM北北北北75 30 1、分析题意，弄清已知和所求；、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；、根据提意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；已知所求；4、正确运用正、余弦定理。、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤：实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明