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神奇的摩擦角
浙江省绍兴市第一中学312000 何海明

1、来自生活的摩擦自锁现象
仔细观察身边的事物，我们会发现摩擦自锁现象无处不在。第一类摩擦自锁现象和摩擦角有关，如沙场上的沙堆，无论沙量多少，沙堆高低，它们的形状总是呈相似的圆锥形。家具榫头松动了，木匠师傅会在榫头上凿一条缝，然后打入木楔紧固榫头联接。第二类摩擦自锁现象和摩擦的积累有关，如把二本物理课本的书页交错叠插在一起，然后抓着书脊试图拉开二本书本，会感到非常困难。更为神奇的是把一根筷子插入装有大米的敞口瓶子，缓缓提筷子，瓶子会被一同提起，而米粒并不散落出来，这个现象出乎了我们的想象。生活中，人们使用的编织物、纺织品以及缝纫制品都依赖于摩擦自锁现象，他们才不致松散开来。
2、摩擦角与自锁现象
先从斜面情景看摩擦角。如图（1）所示，找一块橡皮，放在矩形文具盒盖上，缓缓抬起盒子的一端，使得橡皮块刚好匀速下滑。 根据平衡条件有 　得：，我们把此时文具盒与水平桌面的夹角θ叫做摩擦角。如果斜面倾角小于摩擦角物体在斜面上静止，物体静止时那怕再叠加重物还是施加竖直压力，物体仍然静止不会滑动。将斜面沿圆柱体卷绕后就成为螺旋，螺旋千斤顶的工作原理就是利用了斜面的自锁现象。
摩擦角落还有另一种意义。我们都有这样的经验，用拖把擦地板，并不是任何角度施力都能推动拖把，如果把杆太陡，拖把也会锁定不动。对拖把受斩分析，受重力、推力、支持力和摩擦力的作用。来自地面的支持力和滑动摩擦力的合力也叫约束反力，设约束反力与竖直方向间的夹角为θ。当拖把滑动时，滑动摩擦力 ，得到。结果表明拖把滑动时地面对拖把的约束反力与竖直方向间的夹角θ是恒定不变的，θ即为摩擦角。如果推力与竖直方向夹角小于摩擦角，无论施力多大，拖把都不会移动，处于锁定状态。
从上面二种情景我们得知摩擦角θ是指约束反力与约束平面法线间的夹角，用摩擦因数表示，。摩擦角是自锁现象的临界条件。
3、摩擦积累与自锁现象
筷子提米瓶子依靠大量米粒与筷子间的静摩擦积累，才克服瓶子重力而被提起。神奇的“四两抵千斤”也与摩擦积累有关。
为防止牲口走失，聪明的主人拴牲口时只需把牵绳在桩上缠绕数圈即可，就不必担心牲口走失了。船舶泊岸，船只将缆绳往岸上的定船柱上绕上数圈，船也不会漂走了，见图（3）。这便是所谓的“四两抵千斤”。那么，四两是如何抵得千斤的？ ，将缆绳往船柱上绕上数圈，船就不会漂移了。
如图（4）所示，取绕在圆柱上绳子的微元，微元长为，对应圆心角，微元二端张力分别为F和F+，对这一小段绳子进行受力分析并列出平衡方程
径向平衡条件 (1)
切向平衡条件 （2）
在临界滑动条件下有
(3)
当足够小时，略去二阶小量，从(1)、（2）、（3）得到
（4）
把（4）改为微分式 （5）
分离变量积分得： （6）
计算结果表明，绳上的张力和绳子盘绕角度呈指数规律递减，这就是“四两抵千斤”的原理。找一把琴，观察弦线的锁定装置，可以加深对结果（6）式的理解。
4、巧用摩擦角解题
例1、放在水平地面上的木箱，与地面的摩擦因素为μ。问要移动木箱怎样施力最省力？
分析与解：箱子移动时，箱子受到重力、外加主动力、支持力、滑动摩擦力四个力的作用。地面对箱子的支持力和滑动摩擦力合力方向是不变的，用约束反力代替地面对箱子的支持力和摩擦力，移动箱子可以简化为三力平衡问题，只要箱子的重力、地面的约束反力、作用在箱子上的主动力，三个力矢量构成一个封闭三角形即可。由矢量图（5）可以看出，外力施力方向和约束反力垂直斜向上时，移动箱子最省力。如果箱子重量为G，容易求出最小拉力为：
（7）
例2、如图所示，斜面体A静止在粗糙的水平地面上，物体B恰能在斜面上匀速下滑，此时地面对斜面的摩擦力为零。若在B下滑的过程中对B施加一个任意方向的力，地面对斜面的摩擦力为 （　　 　 ）
A、如果B加速下滑，地面对斜面摩擦力方向水平向左
B、如果B减速下滑，地面对斜面摩擦力方向水平向右
C、只要B在斜面上滑动，地面对A的摩擦力为零，与施力方式无关
D、因为施力方向未知，所以摩擦力的方向也不确定。
分析与解：因为B在斜面上匀速滑下，斜面对B的约束反力竖直向上，恰好与重力平衡。约束反力的方向由摩擦角决定，与运动状态无关。所以，B对A的反作用方向也始终竖直向下，斜面A无滑动趋势，地面对斜面的摩擦力为零。故选项C正确。
例3、破冰船一方面要把海洋上的冰层压碎，同时又要把碎冰块推到水下去，开出航道。所以破冰船沿龙骨方向的纵向横截面做成上大下小的倒梯形状。梯形的倾角多大才符合排开碎冰的要求?
分析与解：如图（7）所示，设船体侧面钢板与竖直方向夹角为θ，冰块受钢板侧向挤压力FN，冰块沿钢板下滑，摩擦力Ff沿钢板向上，临界情况时，船侧钢板对冰块的约束反力恰好沿水平方向，θ角恰好等于摩擦角，即。要把碎冰压入水中，船体侧面倾角满足 即可。
例4、图（8）所示的轧钢机的轧辊转动时,不需外力的帮助即能将轧件带入轧辊之间。若轧辊直径d，加工后板材厚度a，轧辊与被扎材料间的摩擦因数μ＝0.3，求被扎工件的最大厚度h应满足怎样的条件（忽略轧件自重）。
分析与解：考察轧辊与钢板的咬合点Q，轧辊对钢板的约束力方向与法向弹力夹角等于摩擦角θ， （8）
又由轧辊与工件的几何关系得到， （9）
在临界条件下，，要使轧辊带动工件，必须满足 （10）
根据（8）、（9）、（10）可得到加工工件厚度h应满足条件：
例5、图（10）所示，滑雪运动员准备沿山坡自由滑下，发现预设滑行路径的正前远方恰好有一棵树，运动员根据与雪地的摩擦角在出发点做了简单的目测，知道不会碰到大树。问运动员是如何测知的？
分析与解：设运动员所用的雪撬与雪的摩擦因数为μ，斜坡长s1，运动员在水平地面上滑行的距离为s2，运动员在山坡起始位置高度为h。因为运动员在山坡上加速的末速度等于平地上减速的初速度，根据公式　有：
（11）
简化（11）式得 （12）
令，s为运动员位移的水平投影。（12）式变为，引入摩擦角θ，得到。这是摩擦角的动力学意义，知道了摩擦因数μ，滑行的终点是确定的。运动员可以在下滑前进行目测估计，视线与水平方向夹θ角向下，目光所及即为滑行的终点。如果树在终点的外侧，运动员下滑就不会碰着树，是安全的。

浙江省绍兴市第一中学 312000 何海明
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