不变调和函数梯度范数的一个估计.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(10),2916-2922 Published Online October 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.1310298 文章引用文章引用:姚雨欣.不变调和函数梯度范数的一个估计J.理论数学,2023,13(10):2916-2922.DOI:10.12677/pm.2023.1310298 不变调和函数梯度范数的一个估计不变调和函数梯度范数的一个估计 姚雨欣姚雨欣 天津职业技术师范大学理学院，天津 收稿日期：2023年9月10日；录用日期：2023年10月12日；发布日期：2023年10月23日 摘摘 要要 本文讨论不变调和函数的梯度范数估计的最优系数本文讨论不变调和函数的梯度范数估计的最优系数(),C x l。根据不变根据不变Poisson核核()=1221,naP aa 及及Mbius变换变换，计算出常数计算出常数(),C x l的具体表达式的具体表达式。关键词关键词 不变不变Poisson核核，Mbius变换变换，梯度范数梯度范数 An Estimate of the Gradient Norm of the Invariant Harmonic Function Yuxin Yao School of Science,Tianjin University of Technology and Education,Tianjin Received:Sep.10th,2023;accepted:Oct.12th,2023;published:Oct.23rd,2023 Abstract In this paper,we discuss the optimal coefficient(),C x l for the estimation of the gradient norm of the invariant harmonic function.According to the invariant Poisson kernel()=1221,naP aa and Mbius transforms,the specific expression of the constant(),C x l is calculated.姚雨欣 DOI:10.12677/pm.2023.1310298 2917 理论数学 Keywords Invariant Poisson Nucleus,Mbius Transform,Gradient Norm Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 不变调和函数是拉普拉斯贝尔特拉米方程0u=的解，调和函数应用广泛，在数学、物理学以及随机过程理论中起重要作用。从 1992 年 Kresin 和 Mazya 对 Khavinson 猜想的提出开始，Dmitriy Khavinson得到了单位球33:1Bxx=时，估计()()221111dnnrsf rsns=中的积分，得到与 x 无关的正常数1C和2C使得对于所有的,0 xB x，有()()()1122122211nnnnxxCfxCxx (3)定义定义 2.1 令()2fCB，可表示如下1：()()()()()()221122f xxxf xnRf x=+,(4)Open AccessOpen Access姚雨欣 DOI:10.12677/pm.2023.1310298 2918 理论数学 这里是 Laplace 算子且()()1njjifRf xxxx=。注：注：(4)也可以改写为()()()()()()222122 1,f xxf xnxxf x=+(5)定义定义 2.2 令()2fCB。如果()()0f xxB=，f 就被称为 B 上的 M-不变调和函数(简称为不变调和函数或双曲调和函数)。本性有界不变调和函数空间记为h。文献2给出 B 上的不变泊松核()1221,nxP x yyx=(6)经过基本但繁琐的计算可以证明，固定tS，函数(),xP x t在 B 上是 M-不变调和的2。反之，一般拉普拉斯算子在BS上的 Poisson 核由()()21,nxx tx tBSxt=(7)给出。而nC中 hermitian 双曲球 B 上的不变拉普拉斯算子的 Poisson 核由()()()221,1,nnzz tz tBSz t=(8)给出。定义定义 2.3 Mbius 变换与反演密切相关。一个形如()azbf zczd+=+的 Mbius 变换可以分解成四个变换：1)()1dfzzc=+(按dc做平移变换)2)()21fzz=(关于单位圆做反演变换，然后关于实数轴做镜面反射)3)()()32adbcfzzc=(做关于原点的位似变换，然后做旋转)4)()4afzzc=+(按ac做平移变换)这四个变换的复合就是 Mbius 变换。3.C(x,l)的表示公式的表示公式 令3n。若uh，我们用()C x表示在nxB处满足()()()supny Bu xC xu y (9)的最小常数(不依赖于 u)。对于每个1nlS及nxB，用(),C x l表示在 x 处沿 l 方向满足()()(),supny Bu xlC x lu y (10)的最优常数(不依赖于 u)。因为 姚雨欣 DOI:10.12677/pm.2023.1310298 2919 理论数学 ()()1sup,nl Su xu xl=(11)我们有()()1sup,nl SC xC x l=。我们猜想一个类似于有界调和函数的结果3 4 5。当 0nxB时，有()(),xC x nC x=(12)这里xn 是方向xx。类似于5，易证下面引理：引理引理 3.1 任给nlB和nxB，则有()();C Ax AlC x l=，其中 A 是nR的正交变换。下面给出();C x l的积分表达式。定理定理 3.2 任给nlB和nxB，有()()222;,d1nBnC x llx=(13)d表示单位球nB的归一化面积测度。证明证明：设()U x为单位球nB上的有界 M-不变调和函数，则几乎处处存在径向边界值：()()*1lim,nrUU rB=(14)而且可以用()*U的泊松公式表示()U x：()()()()()*,dnBU xP UlP lU=.(15)注意到的泊松核为()11222211,12nnyyP yyyy=+(16)经过 Mbius 变换计算得()()()()()()21222221 121 1,nnnx nxxnxxP xx=(17)因此任给nlB和nxB，我们有()()()()()*,dnlBU xlP xl UU=,(18)上面方程左边的l表示*U的泛函。考虑()nLB和()nLB上所有有界调和函数的空间之间通过泊松延拓等距同构，l也可以看作()nLB上的有界线性泛函，且有()()();,dnlBC x lP xl=(19)设()xTy是 B 上的 Mbius 变换2：()()()2221,xxyxyx xTyy x=,(20)姚雨欣 DOI:10.12677/pm.2023.1310298 2920 理论数学 其中*,y xy yx=，*2yyy=。映射()xTy将单位球变换为它本身，当限制在单位球面上时，有如下形式：()()()()()()()222222221,11xxxx xTxxxx xxxxxx=下面做变量替换：()xT=。首先，将()221xxxx=，21xxx=代入到(),P x中去，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21222222212222222222222222222221 121 1,121 121 1112212211221221nnnnnnnnnnnnnnnx nxxnxxP xxxxx nxnxxxxxxn xxnxxxxnxxxxnxx=+=+=由于()()()12221ddnnxx =(21)我们有()()()()()12,d221,dP xlnxl =(22)因此，姚雨欣 DOI:10.12677/pm.2023.1310298 2921 理论数学 ()()()()()()12;,d221,dnnBBC x lP xlnxl =定理定理 3.3 任给nlB和nxB，有()211,22Ce lCn=(23)证明证明：nlB，存在一个正交变换 A，使得 1112,cossin,0,2Ale Aeee=+(24)则有：()()()()211111,d22,ddnnnBBBCe lAlne =利用球坐标：cos sinsin sin,0,0,2cosxryrzr=(25)得到，()2100200ddcos sindsin dcosd0nBrr =()2200200ddsin sindsin dsind8nBrrr =()2300200ddcosdcosdd4nBrrr=则()()2111,d22nBCe lAlCn=(26)4.结论结论 根据以上探究，总结得到：()()22;,d1nBnC x llx=+姚雨欣 DOI:10.12677/pm.2023.1310298 2922 理论数学 且()()2111,d22nBCe lAlCn=即不变调和函数的 Khavinson 猜想的最优值为常数。为之后研究 Khavinson 猜想的结论、性质做铺垫。参考文献参考文献 1 史济怀,刘华.关于 Rn中实单位球上 M-调和 BMO 函数的 Carleson 测度特征J.数学年刊 A 辑(中文版),2003,24(5):593-602.2 Protter,M.H.and Weinberger,H.F.(1984)Maximum Principles in Differential Equations.Springer-Verlag,New York.https:/doi.org/10.1007/978-1-4612-5282-5 3 Khavinson,D.(1992)An Extremal Problem for Harmonic Functions in the Ball.Canadian Mathematical Bulletin,35,218-220.https:/doi.org/10.4153/CMB-1992-031-8 4 Kresin,G.and Mazya,V.(2012)Maximum Principles and Sharp Constants for Solutions of Elliptic and Parabolic Systems.In:Mathematical Surveys and Monographs,Vol.183.American Mathematical Society,Providence.https:/doi.org/10.1090/surv/183 5 Kresin,G.and Mazya,V.(2010)Optimal Estimates for the Gradient of Harmonic Functions in the Multidimensional Half-Space.Discrete and Continuous Dynamical Systems,28,425-440.https:/doi.org/10.3934/dcds.2010.28.425