2-2-3-直线的一般式方程(导学案)-(原卷版).docx

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2.2.3直线的一般式方程
导学案
地 位：
本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
学习目标：
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，培养数学抽象的核心素养．
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化，提升数学运算的核心素养.
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题，培养逻辑推理的核心素养.
学习重难点：
重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式
难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化

自主预习：
1. 本节所处教材的第 页.
2. 复习——
①　 直线的点斜式、斜截式方程：
②　 直线的两点式、截距式方程：
3. 预习——
一般式方程：

平行与垂直关系：

新课导学

学习探究
（一）新知导入
由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为
(1) y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y-69-6=x+12+1;(4)y=x+7.
如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.

（二）直线的一般式方程
知识点1 一般式方程
【探究1】观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式＝，截距式＋＝1，你能发现它们都是什么样的方程？
◆直线的一般式方程
把关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
【点睛】直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．

②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
【思考1】平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？

【思考2】任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？为什么？

【做一做】(教材P66练习1改编)过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【做一做2】设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
(2)直线l的斜率为1.
【做一做3】(教材P65例5改编)过点A(－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为__________．

（三）典型例题
1.直线的一般式方程
例1.写出满足下列条件的直线的方程:
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，且与x轴垂直；

（3）斜率是，在y轴上的截距是7；
（4）经过，两点；
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；
（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．

【类题通法】直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.

【巩固练习1】已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.

2.直线的平行与垂直
例2.　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？

【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
【巩固练习2】已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2?
(2)l1⊥l2?

【例3】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.

【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
【巩固练习3】过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
（四）操作演练 素养提升
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为

2.已知，则直线通过(　　) 象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
3.直线的一般式方程为　　　　　. 
4.若直线的倾斜角是，则实数是_______________.

课堂小结
1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业

完成教材：第66页 练习 第1，2，3题
第67 页 习题2.2 第1,8,12,13题