资源描述
一次函数
一、明确课标要求
1．初步理解一次函数及其图象的性质；初步体会方程与函数的关系．
2．能根据信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．
3．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，发展抽象思维能力．
4．经历一次函数图象及其性质的探索和应用，发展合作意识、应用能力．
二、重点、难点回顾
1．一次函数：若两变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地，当b=0时，y=kx (k≠0)，叫正比例函数
2．一次函数的图象
是一条直线，作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线即可，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b
3．正比例函数y=kx的图象
是经过原点（0，0）的一条直线
4．一次函数y=kx+b的图象性质
①当k＞0时，y随x增大而增大，并且b＞0时，函数的图象在第一、二、四象限；
当b＜0时，函数的图象在第二、三、四象限；当b=0时，函数的图象在第一、三象限和原点．
②当k＜0时，y随x增大而减小，并且b＞0时，函数的图象在第一、二、四象限；
当b＜0时，函数的图象在第二、三、四象限；当b=0时，函数的图象在第二、四象限和原点．
5．确定一次函数表达式的条件
确定一次函数的解析式一般需要要独立的两个条件，确定出k、b的值即可．
6．一次函数图象的应用
根据已知的一次函数图象，获取信息，发展形象思维，解决简单的实际问题，发展数学应用能力，并初步体会方程与函数的关系
7．一次函数与一次不等式、一次方程（组）的关系：
（1）二元一次方程的每一组解就是对应一次函数图象上的点的坐标．
（2）二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标．
（3）对于一次函数y=2x+4，当y=0，对应的x值即为一元一次方程2x+4=0的解；
当y＞0时，对应的x的取值范围即为一元一次不等式2x+4＞0的解集．
三、易混、易错点提示
1．一次函数概念不明确，分不清谁是自变量，谁是谁的函数问题；
2．搞不清正比例函数与一次函数的关系，容易忽略k≠0这个条件；
3．搞不清一次函数y随x的变化情况；
4．一次函数的应用问题有障碍。
四、学习方法与建议
本章的重点是一次函数的概念、图象和性质，难点是对函数的意义和函数的表示方法。所以，在学习中，要加强新旧知识的联系，要主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，要注意与现实生活联系起来，同时要注意发展自己的形象思维能力和抽象思维能力．
五、热点、考点解密
考点1：一次函数图象的理解与运用
例5．永州市内货摩(运货的摩托)的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是( )
图4
解析：本题重点考查对一次函数图象的理解，可以根据2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元的规定，结合函数与自变量的变化关系来确定，答案为B．
点评：（1）出租车问题是我们生活中常遇到的问题，也是中考热点问题，解答此类问题的方法一般是函数知识去解答；（2）注意：8元是起步价；（3）由此启示我们，要多观察社会、生活，逐步积累解决数学问题的生活经验．
例6．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件（个）与生产时间（小时）的函数关系如图5所示．
（1）根据图象填空：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t（时）
4
10
25
40
y（个）
甲
乙
图5
①甲、乙中，_______先完成一天的生产任务；
在生产过程中，_______因机器故障停止生产_______小时．
②当_______时，甲、乙两产的零件个数相等．
（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，
他每小时生产零件的个数．
分析：本题重点考查对函数概念的理解程度，只要根据题意，结合函数图象，问题便易于解决
解：（1）①甲，甲，；
②，；
（2）甲在时的生产速度最快，，他在这段时间内每小时生产零件个．
评注：本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力．
考点2：一次函数的综合应用
例7．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称
饮料名称
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克
分析:本题是一次函数的综合运用，它首先结合贴近生活的实际问题------新型饮料配料问题而设计的，它要求根据实际情况，首先利用不等式组解决方案问题，最后利用一次函数性质进行决策从而解决问题，
解：⑴ 设生产A种饮料x瓶，根据题意得：
≤
≤
解这个不等式组，得20≤x≤40．
因为其中正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种．
⑵ 根据题意，得 y＝2.6x＋2.8(100－x)．整理，得 y＝－0.2x＋280．
∵k＝－0.2＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝40时成本总额最低．
评注：本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题
考点3：用函数的观点看方程（组）与不等式
图6
例8．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图6所示，则关于的不等式的解为（ ）
A．；B．；C．；D．无法确定
分析：本题就是利用一次函数的图象来看方程（组）与不等式
的典型问题
解：先由图象看出，两图象的交点坐标为（-1，-2），再由不等式，说明函数的图象在函数的图象的上方，所以应有，故选B
评注：一次函数是最基本的函数，它不仅与一次方程（组）、一次不等式（组）有密切联系，而且在实际生活中有更广泛的应用．
例9．小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量 (度)=功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价].
(1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式；
(2)你认为选择哪种照明灯合算？
(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？
分析：本题关键求出照明时间x（时）与费用y（元）之间的函数关系.
解：(1)根据题意，得，即；
，即.
(2)由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450；
由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450；
由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450.
∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算.
(3)由(2)知当x＞1450小时时，使用节能灯省钱.
当x=2000时，y1=0.018×2000+1.5=37.5(元)；
当x=6000时，y2=0.0036×6000+22.38=43.98(元)，
∴3×37.5-43.98=68.52(元).∴按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元.
评注：本题主要是用函数的观点来看待方程（组）和不等式，问题的关键是必须熟悉一次函数的图象及性质，把实际意义与图象紧密结合，利用一次函数的性质灵活解决实际问题．
本题采用的解题策略是“列式、计算（化简）比较（用方程或不等式）、决策”，本题也可以在画出函数图象，再利用函数图象来解决，感兴趣的同学不妨试一试！
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