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与反比例函数有关的压轴题
【题1】（2014•温州第10题）如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（　　）

A．
一直增大
B．
一直减小
C．
先增大后减小
D．
先减小后增大

【考点】：
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】：
设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周长始终保持不变，则a+b为定值．根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k=AB•AD=ab，再根据a+b一定时，当a=b时，ab最大可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．
【解答】：
解：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b．
∵矩形ABCD的周长始终保持不变，
∴2（2a+2b）=4（a+b）为定值，
∴a+b为定值．
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k=AB•AD=ab，
又∵a+b为定值时，当a=b时，ab最大，
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．
故选C．
【点评】：
本题考查了矩形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，有一定难度．根据题意得出k=AB•AD=ab是解题的关键．
【题2】（2014.福州第10题）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点. 若AB=2EF，则k的值是【 】
[来
A． B．1 C． D．

【考点】：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.12999·com

【题3】(2014年重庆市第12题)如图，反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（　　）

　 A． 8 B． 10 C． 12 D． 24

【考点】： 反比例函数系数k的几何意义．
【分析】： 根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线AB的解析式，求出直线AB与x轴横坐标交点，即可得出△AOC的面积．
【解答】： 解：∵反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，
∴x=﹣1，y=6；x=﹣3，y=2，
∴A（﹣1，6），B（﹣3，2），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
，
解得：，
解得：y=2x+8，
∴y=0时，x=﹣4，
∴CO=4，
∴△AOC的面积为：×6×4=12．
故选：C．
【点评】：此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求一次函数解析式，得出直线AB的解析式是解题关键．
【题4】(2014年广东深圳第15题)如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=　　．

【考点】： 反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．
【分析】： 过A作AE⊥x轴于点E，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得S四边形AECB=S△BOD，根据△OAE∽△OBC，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得△OAE的面积，从而求得k的值．
【解答】： 解：过A作AE⊥x轴于点E．
∵S△OAE=S△OCD，
∴S四边形AECB=S△BOD=21，
∵AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，
∴==（）2=，
∴S△OAE=4，
则k=8．
故答案是：8．

【点评】： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
【题5】(2014年浙江绍兴第15题)如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线y=（x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为　 　．（n为正整数）

【考点】： 反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】： 规律型．
【分析】： 先根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点可知OA15=15，OB15=15，再根据C15B15=16C15A15表示出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值即可．
【解答】： 解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点∴OA15=15，OB15=15，
∵C15B15=16C15A15，
∴C15（15，），
∵点C15在曲线y=（x＞0）上，
∴15×=n﹣2，解得n=17．
故答案为：17．
【点评】： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上k=xy为定值是解答此题的关键．
【题6】（2014济南第21题）如图，和都是等腰直角三角形，,反比例函数在第一象限的图象经过点B，若，则的值为________.
【解析】设点B的坐标为，则,
于是，所以应填6．
D
C
A
Ｏ
x
y
B
第21题图

【题7】（2014•泸州第16题）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG=，则k=1．
其中正确的命题的序号是　 　（写出所有正确命题的序号）．

【考点】：
反比例函数综合题．菁优网版权所有
【分析】：
（1）若k=4，则计算S△OEF=≠，故命题①错误；
（2）如答图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=，求出k=1，故命题④正确．
【解答】：
解：命题①错误．理由如下：
∵k=4，
∴E（，3），F（4，1），
∴CE=4﹣=，CF=3﹣1=2．
∴S△OEF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF
=S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF
=4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2=12﹣2﹣2﹣=，
∴S△OEF≠，故命题①错误；
命题②正确．理由如下：
∵k=，
∴E（，3），F（4，），
∴CE=4﹣=，CF=3﹣=．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM=；
在线段BM上取一点N，使得EN=CE=，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN===，
∴BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣﹣=．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF===．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有
，解得，
∴y=x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=AD=OD﹣OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG﹣OM=（4m+4）﹣4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=，解得m=，
∴k=12m=1，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：②④，
故答案为：②④．
【点评】：
本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．

【题8】（2014年山东烟台）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】： （1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）存在，设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；
（2）存在，设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=5，解得：x=5，则E（5，0）．
【点评】： 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【题9】（2014•泰州第26题）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

【考点】：
反比例函数综合题．
【分析】：
（1）如图1，AB交y轴于P，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；
（2）根据分别函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、﹣，根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，则利用等腰三角形的性质得到a2+（）2=b2+（﹣）2，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；
（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为（a﹣3，），F点的坐标为（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比较FC与3的大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．
【解答】：
解：（1）如图1，AB交y轴于P，
∵AB∥x轴，
∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；

（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，
∴A、B的纵坐标分别为、﹣，
∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，
∴a2﹣b2+=0，
∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，
∵a+b≠0，a＞0，b＜0，
∴1﹣=0，
∴ab=﹣4；

（3）∵a≥4，
而AC=3，
∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，
设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，
∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，
∴C点坐标为（a﹣3，），
∴F点的坐标为（a﹣3，），
∴FC=﹣，
∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，
而a≥4，
∴3﹣FC≥0，即FC≤3，
∵CD=3，
∴点F在线段DC上，
即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．

【点评】：
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小．
　【题10】（2014济南第26题）如图1，反比例函数的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，），射线AC与轴交于点C，轴，垂足为D．
（1）求的值；
（2）求的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于N，连接CM，求面积的最大值． 第26题图1
A
B
C
D
O
x
y

【解析】（1）由反比例函数的
图象经过点A（，1），得；
（2） 由反比例函数得
点B的坐标为（1，），于是有
，，
AD=，则由可得CD=2，C点纵坐标是-1，直线AC的截距是-1，而且过点A（，1）则直线解析式为．
第26题图2
A
B
C
D
O
x
y
M
N
l
（3）设点M的坐标为，
则点N的坐标为，于是面积为

，
所以，当时，面积取得最大值．

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