费波那契数列.doc

1、   费波那契数列
费波那契（Leonarde Fibonacci）出生于1175年,是意大利的数学家.他在一本书中提出了一个很有名的“兔子生兔子的数学问题”,即有一个人把一对小兔子放在四面都围着的地方,他想知道一年以后总共会有多少对兔子？在这里我们假定一对小兔子一个月后就能长成大兔子,而一对大兔子一个月后就能生出一对小兔子,并且这些兔子都不会有死亡现象发生.显然,这是一个算术问题,但是却不容易使用普通的算术公式进行计算.
下面让我们先观察一下,看看有什么规律没有,为此我们用空心点表示一对小兔子,实心点表示一对大兔子,则可以使用下面的图形来表示在6个月之中饲养的兔子的繁殖情况：

用表示在第个月时,此人总共拥有的兔子数,表示在第个月时,此人总共拥有的大兔子数,表示在第个月时,此人总共拥有的小兔子数.
我们把上面图形中的点的个数计算成下面的表格,并且观察一下规律：

1
2
3
4
5
6

0
1
1
2
3
5

1
0
1
1
2
3

1
1
2
3
5
8
当时,由, , 的定义有
,=,,
所以当时,我们得到递推关系式：

其中.
经过计算我们知道=233,=267914296,即如果你有一对小兔子,则一年后你有233对兔子,三年半后你会有两亿多对兔子.当然我们知道兔子不会以这样的速率生育,所以这只不过是一个假设的问题.
设,而当时,令,则我们为纪念费波那契（Leonarde Fibonacci）,把此数列{}={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, 377,…}称为费波那契数列.另外,法国数学家E.Lucas在研究数论问题时，发现素数的分布问题与费波那契数列有密切的关系,他发现的数列为,当时

其中,.
Lucas数列与Fibonacci数列有一个共同的性质,即从第二项以后的项由前面两项的和组成.
Fibonacci数列在组合数学问题的研究中是经常出现的.把Fibonacci数列表示为二项式系数之和是一种很有意思的表示法.在此我们仅给出结果.
定理2.1 当时,第个Fibonacci数
,
其中.