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2.7 本章复习提升
课后培优练级练
1．如图所示，甲质点在x1轴上做简谐运动，O1为其平衡位置，A1、B1为其所能达到的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知A1O1=A2O2，甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等，设甲质点从A1运动到O1的时间为t1，乙质点从A2运动到O2的时间为t2，则（ ）
A．t1=t2 B．t1>t2
C．t1<t2 D．无法比较t1、t2
【答案】C
【详解】已知A1O1=A2O2，甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等，结合题意，作出甲质点从A1到O1与乙质点从A2到O2过程的v-t图像，如图所示容易得出t1<t2故选C。
2．如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm。则质点的振动周期和振幅分别为（ ）
A．3s，6cm B．4s，9cm
C．4s，6cm D．2s，8cm
【答案】C
【详解】做简谐运动的质点，先后以相同的速度通过M、N两点，可判定M、N两点关于平衡位置O对称，所以质点由M到O所用的时间与由O到N所用的时间相等，则质点由平衡位置O到N点所用的时间t1=0.5s；因通过N点后再经过t=1s质点以方向相反、大小相等的速度再次通过N点，则知质点从N点到最大位移处所用的时间t2=0.5s，因此，质点振动的周期是题中2s内质点通过的总路程为振幅的2倍，所以振幅故选C。
3．有一摆长为L的单摆，其悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆长为L时单摆摆动的周期为摆长为'时单摆摆动的周期为所以T1∶T2=2∶1又因为故可得所以小钉与悬点间的距离为故选C。
4．如图所示，物体A放置在物体B上，B与一轻弹簧相连，它们一起在光滑水平面上以O点为平衡位置做简谐运动，所能到达相对于O点的最大位移处分别为P点和Q点，运动过程中A、B之间无相对运动。已知弹簧的劲度系数为k，系统的振动周期为T，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法中不正确的是（ ）
A．物体B从P向O运动的过程中，弹簧的弹性势能逐渐变小
B．物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，物体B一定运动到OQ之间
C．物体B的速度为v时开始计时，每经过T时间，物体B的速度仍为v
D．当物体B相对平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于kx
【答案】D
【详解】A．物体B从P向O运动的过程中，弹簧的压缩量逐渐减小，所以弹性势能逐渐变小，故A正确；
B．物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，由运动的对称性可知，物体B一定运动到OQ之间，故B正确；C．物体B和A整体做简谐运动，根据对称性，当物体B的速度为v时开始计时，每经过T时间，物体B的速度仍为v，故C正确；D．整体的加速度大小a=，A、B间摩擦力的大小Ff=ma=kx
故D错误。本题选错误的，故选D。
5．如图所示为一质点做简谐运动的振动图像，在0~0.8s时间内，下列说法正确的是（ ）
A．质点在0和0.8s时刻具有正向最大速度
B．质点在0.2s时刻具有负向最大加速度
C．0至0.4s时间内，质点加速度始终指向-x方向不变
D．在0.2~0.4s时间内，加速度方向和速度方向相同
【答案】D
【详解】A．质点在0和0.8s时刻具有负向最大速度，故A错误；B．0.2s时刻质点具有正向最大加速度，故B错误；C．0至0.4s时间内，质点加速度始终指向+x方向不变，故C错误；D．0.2~0.4s时间内，质点做加速运动，加速度方向和速度方向相同，故D正确。故选D。
6．（多选）如图是单摆做阻尼振动的位移-时间图像，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼振动是一种受迫振动
B．摆球在P与N时刻的势能相等
C．摆球在P与N时刻的动能相等
D．摆球在P与N时刻的机械能不相等
【答案】BD
【详解】A．阻尼振动不是一种受迫振动，故A错误；B．摆球在P与N时刻位移大小相等即摆球所处高度相同，则重力势能相同，故B正确；CD．由于阻力影响，单摆要克服阻力做功，在运动过程中机械能一直减小，故摆球在N时刻的机械能小于在P时刻的机械能，而重力势能相等，则摆球在N时刻的动能小于在P时刻的动能，故C错误，D正确。故选BD。
7．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面范围足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于重力和浮力的合力
B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒
C．振动频率与按压的深度有关
D．在t1~t2时间内，位移减小，加速度减小，速度增大
【答案】AD
【详解】A．装有一定量液体的玻璃管只受到重力和浮力，所以它做简谐运动的回复力等于重力和浮力的合力，故A正确；B．在玻璃管振动过程中，浮力对玻璃管做功，所以它的机械能不守恒，故B错误；C．由于玻璃管做简谐运动，与弹簧振子的振动相似，结合简谐运动的特点可知，其振动周期与振幅无关，故C错误；D．由题图乙可知，在t1~t2时间内，位移减小，加速度减小，玻璃管向着平衡位置加速运动，所以速度增大，故D正确。故选AD。
8．（多选）如图所示的装置可用于研究弹簧振子的受迫振动，砝码和轻弹簧构成弹簧振子。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子一驱动力，使振子做受迫振动，把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图象如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅。则（ ）
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，y很小
D．当T在8 s附近时，y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，y很小
【答案】AC
【详解】AB．若保持把手不动，砝码以一定的初速度做简谐振动，这时为自由振动，题中图甲为砝码的自由振动图象，由图读出固有周期为T0＝4sB错误，A正确；CD．当把手以某一速度匀速转动时，砝码做受迫振动，此时砝码振动的周期T等于驱动力的周期，题中图乙为砝码做受迫振动的图象，由图读出驱动力周期为T＝8s当驱动力的周期越靠近砝码的固有周期时，砝码的振动越强烈，振幅越大；当驱动力的周期越远离砝码的固有周期时，砝码的振动越弱，振幅越小，D错误，C正确。故选AC。
9．（多选）如图所示，将一只轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接物体A，A下面再用棉线挂一物体B，A、B质量相等，g为当地重力加速度，不计空气阻力。烧断棉线，下列说法中正确的是（ ）
A．烧断棉线瞬间，A的加速度大小为g
B．烧断棉线之后，A向上始终加速
C．烧断棉线之后，A在运动中机械能守恒
D．当弹簧恢复原长时，A的速度恰好减到零
【答案】AD
【详解】A．棉线烧断前，将AB看做一个整体，弹簧的弹力为烧断瞬间弹簧来不及恢复形变，弹力仍为2mg，方向向上；物体A还受竖直向下的重力mg，则A的加速度为方向向上，A正确；
B．烧断棉线后，物体A在弹力和重力的作用下向上运动，弹力先大于重力，后小于重力，所以物体A向上先加速后减速，B错误；C．烧断棉线后，A还受弹簧弹力作用，故A的机械能不守恒，不过A和弹簧组成的系统机械能守恒，C错误；D．烧断棉线后，A在重力和弹力的作用下做简谐运动，在最低点回复力方向向上；根据对称性可知，在最高点回复力应为方向向下即
解得则在最高点，速度为零时，弹簧弹力为零，即弹簧恢复原长，D正确。故选AD。
10．（多选）如图所示是一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．该质点振动的周期为0.8 s
B．t=0.2 s时，质点的加速度最大
C．质点在一个周期内通过的路程为16 cm
D．在t=0和t=0.4 s时，质点所受的回复力相同
【答案】AC
【详解】A．从图中可知T=0.8 s，故A正确；B．t=0.2 s时质点在平衡位置，回复力为零，加速度为零，故B错误；C．质点在一个周期内的路程为s=4A=4×4 cm=16 cm故C正确；D．t=0时刻质点在正向最大位移处，回复力指向x轴负方向，而在t=0.4 s时刻，质点在负向最大位移处，回复力指向x轴正方向，两力大小相等，但方向相反，故D错误。故选AC。
11．（多选）如图所示，弹簧上端固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则在小球振动过程中（重力加速度大小为g）（ ）
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时受到的弹力等于2mg
【答案】CD
【详解】A．小球在平衡位置时，有在平衡位置时动能最大，有mgA=Ek＋Ep故A错误；
B．因为运动过程中弹簧与小球组成的系统机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，故B错误；CD．从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能Epm=2mgA最低点加速度大小等于最高点加速度大小，据牛顿第二定律可知F-mg=mg得F=2mg故CD正确。故选CD。
12．（多选）一质点沿y轴做简谐运动的振动图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为0.4 s
B．0.4 s时，该质点沿y轴负方向运动
C．在一个周期内，该质点的位移为0.4 m
D．在0.3~0.5 s内，该质点的速度先增大后减小
【答案】AD
【详解】A．质点完成一次全振动的时间叫周期，由题图知该质点的振动周期为0.4 s，故A正确；B．0.4 s后，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，所以0.4 s时，该质点沿y轴正方向运动，故B错误；C．经过一个周期，质点回到原位置，则在一个周期内，该质点的位移为0，故C错误；D．在0.3~0.5 s内，该质点先靠近平衡位置，后远离平衡位置，则质点的速度先增大后减小，故D正确。故选AD。
13．某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度，实验步骤如下：
A．按装置图安装好实验装置；
B．用游标卡尺测量小球的直径d；
C．用米尺测量悬线的长度L；
D．让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t；
E．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；
F．计算出每个悬线长度对应的t2；
G．以t2为纵坐标、L为横坐标，作出t2－L图线。
结合上述实验，完成下列问题：
（1）用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图所示，读出小球直径d为________cm。
（2）该同学根据实验数据，利用计算机作出t2－L图线如图所示．根据图线拟合得到方程t2=404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g=________m/s2。（取π2=9.86，结果保留3位有效数字）
（3）从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是_______。
A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时
B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数
C．不应作t2－L图线，而应作t－L图线
D．不应作t2－L图线，而应作t2－（L＋d）图线
【答案】 1.52 9.76 D
【详解】（1）[1]游标卡尺主尺的示数是1.5cm=15mm游标尺示数是2×0.1mm=0.2mm故小球的直径为d=15mm＋0.2mm=15.2mm=1.52cm（2）[2]根据单摆周期公式T=2π得=2π又l=L＋则t2=400π2=400π2＋故t2－L图像的斜率表示的大小，由题意知斜率k=404.0则=404.0代入π2=9.86得g≈9.76m/s2（3）[3]A．应该在小球运动到过最低点开始计时，这样可减小由于计时位置不准确而带来的误差，故A错误；B．记录小球经过最低点的次数，每两次为一个振动周期，不影响实验结果，故B错误；
C．根据单振的振动周期公式，就应作出t2–L图线，故C错误；D．线长不等于摆长，摆长应是线长与半径相加，即忽略了半径，斜率不变，不影响计算加速度，但图象不过坐标原点，故D正确。故选D。
14．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移时间关系如图所示。求：
（1）写出该简谐运动的表达式；
（2）t=0.25×10-2 s时的位移；
（3）从t=0到t=8.5×10-2 s的时间内，质点的路程、位移各为多大？
【答案】（1）；（2）-1.414 cm；（3）34 cm，2 cm
【详解】（1）由图像知
A=2 cm，T=2×10-2 s，φ=
则
=100π rad/s
则表达式为
（2）把t=0.25×10-2 s代入表达式得
（3）时间为
所以通过的路程为
把t=8.5×10-2 s代入表达式得
即此时质点在平衡位置，这段时间内的位移大小为
15．如图是一个弹簧振子的振动图像，试完成以下问题。
(1)写出该小球位移随时间变化的关系式。
(2)在第末到第末这段时间内，小球的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该小球在第时的位移是多少？路程是多少？
【答案】(1)x=Asinωt=5sin0.5πt cm。
(2)在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的速度减小，动能减小，弹性势能增大，加速度逐渐增大；
(3)该振子在第100s时的位移是零，路程为5m。
【详解】(1)由振动图象可得：振幅A=5cm，周期T=4s，初相φ=0，则圆频率
故该振子做简谐运动的表达式为
(2)由图可知，在t=2s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t=3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为5×4cm=20 cm，前100s时刚好经过了25个周期，所以第100 s振子位移x=0，振子路程s=20×25cm=500 cm=5 m。
16．一轻质弹簧直立在水平地面上，其劲度系数为k=400N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA=mB=1kg，g取10m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5cm，后由静止释放A，A和B一起沿竖直方向做简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：
（1）盒子A的振幅；
（2）物体B的最大速率；
（3）当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
【答案】（1）10cm；（2）；（3）10N，30N
【详解】（1）A、B在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则
解得
开始释放时A处在最大位移处，故振幅
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰好等于A、B在平衡位置时弹簧的压缩量，故两时刻弹簧的弹性势能相等，设B的最大速率为v，物体B从开始运动至到达平衡位置时，由动能定理得
可得
（3）在最高点，A、B受到的重力和弹力方向相同，由牛顿第二定律得
解得
a1=20m/s2，方向向下
A对B的作用力方向向下，且
得
在最低点，由简谐运动的对称性得
a2=20m/s2，方向向上
A对B的作用力方向向上，且
得
17．16.如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放，且物块在以后的简谐运动中，弹簧始终在弹性限度内，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)求弹簧的最大伸长量；
(3)为使斜面体始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件。（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】(1)设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为ΔL，有
解得
此时弹簧的长度为
(2)物块做简谐运动的振幅为
则弹簧的最大伸长量为
(3)规定沿斜面向上为正方向，斜面体受力情况如图所示，其中F为弹簧对斜面体的拉力，f为地面对斜面体的静摩擦力，FN1为物块对斜面体的压力，FN2为地面对斜面体的支持力。
根据平衡条件，在水平方向上有
在竖直方向上有
又
F=k(x+ΔL)
联立可得
为使斜面体始终处于静止状态，根据牛顿第三定律，应有
|f|≤μFN2
所以
当x=-A时，上式右端达到最大值，于是有
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