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专题 竖直面内的圆周运动
一、 轻绳模型
1．（2022·全国·高一专题练习）如图，轻绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度是0
B．小球过最高点时，绳子拉力可以为零
C．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时的最小速度是
【答案】B
【详解】AB．因为绳子只能提供拉力，所以当小球到最高点时，至少有重力提供此时的向心力，此时绳子拉力为零，因此最小速度不可能为零，A错误，B正确；
CD．若将轻绳换成轻杆，小球过最高点时，轻杆可对小球产生竖直向上的弹力，若此时小球速度为零，所需向心力为零，由力的平衡可知此时轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反，此时向心力为零，得最小速度为零，CD错误。
故选B。
2．（2022·高一课时练习）（多选）如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当小球第一次通过最低点，悬线碰到钉子瞬间（ ）
A．小球的瞬时速度突然变大
B．小球的角速度突然变大
C．小球的向心加速度突然变小
D．线所受的拉力突然变大
【答案】BD
【详解】A．碰到钉子前后，圆周运动半径变小，但在最低点小球水平方向没有受到力的作用，小球的瞬时速度不会发生改变，A错误；
B．根据
可知，线速度不变，半径变小，角速度变大，B正确；
C．根据
可知，由于线速度不变，半径变小，加速度变大，C错误；
D．根据
可知，加速度变大，绳上的拉力变大，D正确；
故选BD。
3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中阶段练习）王老师在课堂上给同学们做如下实验：一细线与桶相连，桶中装有小球，桶与细线一起在竖直平面内做圆周运动，最高点时小球竟然不从桶口漏出，如图所示，小球的质量m=0.2kg，球到转轴的距离。求
（1）整个装置在最高点时，球不滚出来，求桶的最小速率；
（2）如果通过最低点的速度为9m/s，求此处球对桶底的压力大小。
【答案】（1）3m/s；（2）20N
【详解】（1）桶运动到最高点时，设速度为vm时恰好球不滚出来，球受到的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得
解得
（2）根据牛顿第二定律，有
解得
根据牛顿第三定律，球对桶底的压力大小。
4．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：
（1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度；
（2）绳断时球的速度大小；
（3）绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时，当
得
小球过最高点B时的最小速度。
（2）绳断时
绳断时球的速度大小
（3）绳断后，小球做平抛运动，竖直方向
得
小球落地点与抛出点A的水平距离
5．（2022秋·江西赣州·高一期末）《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上。碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m。绳子长度为2L，重力加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径，杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
（1）如图甲所示，两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力大小等于mg，求碗通过最高点时的线速度大小；
（2）如图甲所示，若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两的线速度大小始终相等，当正上方碗内的水恰好不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力大小；
（3）如图乙所示，若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动。已如绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水转动的角速度大小。
【答案】（1）；（2）2mg，方向竖直向下；（3）
【详解】（1）由题意可知
解得
（2）重力提供向心力，速度为v0，则
设最低点碗对水的支持力为F2，则
解得
由牛顿第三定律可知，水对碗的压力为2mg，方向竖直向下；
（3）设碗的质量为M，绳子的拉力为F，竖直方向有
水平方向上
联立解得
6．（2022春·陕西西安·高一陕西师大附中期中）图1是某游乐场中水上过山车的实物图片，图2是其原理示意图。在原理图中半径为R=8m的圆形轨道固定在离水面高h=3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点）高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s=12m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。
（1）若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
（2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
【答案】（1）；（2）15m/s
【详解】（1）过山车恰好过最高点时，只受重力，有
则
（2）离开C点后做平抛运动，由，解得运动时间为
故最大速度为
二、 轻杆模型
7．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为，小球的直径略小于与管道的直径，重力加速度为，则小球（ ）
A．可能做匀速圆周运动
B．通过最高点时的最小速度为
C．在最低点受到的合力一定大于在最高点受到的合力
D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力
【答案】C
【详解】A．竖直放置的光滑圆形管道，所以小球在运动中，合力不可能一直指向圆心，所以不可能做匀速圆周运动，故A错误；
B．因为在最高点圆管内壁能提供支持力，所以通过最高点时的最小速度为0，故B错误；
C．因为从最高点到最低点，重力做正功，动能增大，所以最低点速度大，合力
所以在最低点受到的合力一定大于在最高点受到的合力，故C正确；
D．在下半圆运动时，只受到外侧管壁弹力，故D错误。
故选C。
8．（2022春·广西南宁·高一期中）长为0.5m的轻杆绕O点在竖直平面内做圆周运动，另一端连着一个质量为1kg的小球。某时刻经过最高点时，杆的角速度，则（ ）
A．小球受到拉力为5N B．杆受到拉力为5N
C．小球受到压力为5N D．杆受到压力为5N
【答案】D
【详解】小球在最高点时，对小球受力分析，受重力mg和杆的弹力FN作用，假定弹力竖直向下，由向心力公式得
且
联立解得
负号表示竖直向上，故小球受到向上5N的支持力，杆受到向下5N的压力。
故选D。
9．（2021春·河北唐山·高一开滦第二中学校考阶段练习）如图，一质量为M的光滑大圆环，半径为R，用一细轻杆固定在竖直平面内，套在大圆环上的质量为m的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由无初速度滑下，重力加速度为g，当小圆环滑到大圆环的最低点时，速度为v，大圆环对轻杆拉力的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当小圆环滑到大圆环的最低点时，对小圆环，根据牛顿第二定律
解得大圆环对小圆环向上的支持力
根据牛顿第三定律小圆环对大圆环向下的拉力
对大圆环，根据平衡条件
解得轻杆对大圆环的拉力
根据牛顿第三定律大圆环对轻杆拉力的大小为
故选C。
10．（2022·全国·高一专题练习）（多选）如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径远小于管道半径R，下列说法中正确的是（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．运动到a点时小球一定挤压外侧管壁
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，某时刻内、外侧管壁对小球作用力可能均为零
【答案】BD
【详解】A．小球通过最高时受重力和内壁向上的支持力，若二者大小相等，小球的最小速度为零，故A错误；
B．小球运动到a点时，外壁对小球指向圆心的支持力提供小球做圆周运动的向心力，所以小球一定挤压外侧管壁，故B正确；
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，因为重力沿半径方向的分力指向外，所以必须是管道外壁对小球有沿半径指向圆心的作用力，才能使得径向的合力指向圆心，小球才能做圆周运动，故C错误；
D．当小球在水平线ab以上管道中运动时，重力可以提供向心力，所以内、外侧壁对小球作用力可能均为零，故D正确。
故选BD。
11．（2022春·广西玉林·高一期末）（多选）竖直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如下实验来探究其相关规律：如图，质量为m的均质小球固定在力传感器测量的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速度让其绕O点做圆周运动，小球球心到O点距离为L。已知当力传感器受到球对其的压力时读数为负，受到拉分时读数为正，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．只有当小球通过圆周最高点的速度大于时才能完成完整的圆周运动
B．若小球通过圆周最高点时速度大小为，则力传感器读数为
C．小球在与圆心等高的B点下方运动的过程中，力传感器读数总是为负值
D．若小球通过圆周最低点时速度大小为，则力传感器读数为
【答案】BD
【详解】A．轻杆模型中小球过最高点时的速度大于0，选项A错误；
B．在最高点受力分析有
将速度代入，解得
即小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律可知传感器受到向下的压力，故选项B正确；
C．小球在与圆心等高的B点下方运动的过程中，小球都受到拉力，力传感器读数总是为正值，故选项C错误；
D．在最低点受力分析有
将速度代入，解得
故选项D正确；
故选BD。
12．（2022春·江苏扬州·高一阶段练习）由两个半圆形和组成的细圆管轨道固定在竖直平面内（圆半径比细管内径小得多）。已知部分的半径为R，BC部分的半径为2R。将一质量为m的小球（可视为质点），现将小球从A点静止释放，到达B点时，速度为，最后通过C点时，管对小球的作用力为5.5mg，重力加速度为g，求：
（1）刚释放时，小球对管的作用力；
（2）小球经过C点时的速度大小；
（3）经过B点前后的管对球的作用力之比。
【答案】（1）mg，方向竖直向下；（2）；（3）
【详解】（1）刚释放时，小球速度为零，所需向心力为零，则对管的作用力大小为
方向竖直向下。
（2）小球经过C点时，根据牛顿第二定律有
解得
（3）经过B点前瞬间，设管对小球的作用力大小为F1，根据牛顿第二定律有
解得
经过B点后瞬间，设管对小球的作用力大小为F2，根据牛顿第二定律有
解得
经过B点前后的管对球的作用力之比为
13．（2021春·云南昭通·高一阶段练习）建筑工地上有一种小型打夯机，其结构原理如图所示，一个质量为M的支架（含电动机）上有一根长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的铁块（视为质点），另一端固定在电动机的转轴上。电动机带动铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，当转动的角速度达到一定数值时，支架抬起然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。若重力加速度为g，空气阻力不计，则（ ）
A．铁块做圆周运动的速度始终不变
B．铁块转动到最低点时处于失重状态
C．若使支架离开地面，则电动机的角速度
D．若使支架离开地面，则电动机的角速度
【答案】D
【详解】A．铁块做匀速圆周运动时，速度大小不变，方向沿圆的切线，因此速度不断变化，选项A错误；
B．铁块转动到最低点时，有竖直向上的加速度，故杆对铁块的拉力大于其所受的重力，铁块处于超重状态，选项B错误；
CD．铁块转动到最高点时对支架有向上的拉力使其离开地面，支架刚离开地面时，对铁块的拉力有
T=Mg
其转动到最高点时，由牛顿第二定律可得
解得
选项D正确。
故选D。
14．（2022春·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校期末）如图所示，一长为的轻杆绕O点在竖直平面内转动，光滑水平转轴穿过杆上的O点。已知杆两端固定有质量分别为、m的球A和球B，距离为L。球B运动到最高点时，杆对球B有向下的拉力，大小为。忽略空气阻力，重力加速度为g，则当球B在最高点时（ ）
A．球B的速度大小为 B．球A的速度大小为
C．轻杆对A的作用力大小为 D．水平转轴对杆的作用力大小为
【答案】D
【详解】AB．球B运动到最高点时，杆对球B有向下的拉力，大小为，有
解得
则球A的速度大小为
故AB错误；
C．对根据牛顿第二定律得
解得轻杆对A的作用力大小为
故C错误；
D．对轻杆，由平衡条件可得
解得水平转轴对杆的作用力大小
故D正确。
故选D。
15．（2022春·浙江·高一阶段练习）如图甲所示，是某一游戏的情景图，可以简化为图乙所示的装置，由水平轨道AB、竖直圆轨道BDC（最低处B略错开，影响不计）、水平轨道BE及圆形飞镖靶组成。已知圆轨道半径，飞镖靶靶心为，直径，与水平面的夹角，靶最低点F与轨道BE末端E的水平距离，飞镖的质量，在运动过程中可看成质点，不计空气阻力，。
（1）要确保飞镖能沿圆轨道BDC通过最高点C，则C处的速度应满足什么条件？
（2）若飞镖第一次经过圆轨道最低的B点时速度大小为9m/s，经过C点时速度为6m/s，求此时飞镖在B点和C点对轨道的压力差；
（3）若水平轨道ABE与F所在水平面的高度差，求飞镖要击中靶上F所在的直径上的位置，飞镖在E处的速度范围。（结果可用根式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）飞镖能沿圆轨道通过BDC最高点C，应有
解得
（2）在B点，根据牛顿第二定律
在C点，根据牛顿第二定律
根据牛顿第三定律可得
飞镖在B点和C点对轨道的压力差
代入数据联立解得
（3）为使飞镖击中靶上F所在的直径上的位置应满足，最小速度时
解得
最大速度时
得
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