第05讲-平面向量之极化恒等式(高阶拓展)(教师版).docx

第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）

在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

知识讲解
极化恒等式

恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,

则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:

极化恒等式的适用条件
(1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

考点一、极化恒等式求值

1．（全国·高考真题）设向量满足，，则
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法
【详解】试题分析：因为，所以………………①，
又，所以…………②，
①- ②得，所以
②- 考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．

方法二：极化恒等式
由极化恒等式可得：
故选A．

2．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.

方法四：极化恒等式
设CD中点为O点，由极化恒等式可得：
故选：B.

1．（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .           

【答案】
方法一
【详解】因为，
，
因此，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．

方法二：极化恒等式

因为是上的两个三等分点,所以
联立解得:
所以
2. 如图,在中,已知,点分別在边上,
且,若为的中点,则的值为________

解：取的中点,连接,则,
在中,,

考点二、极化恒等式求范围

1． （2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
方法一
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以

，其中，，
因为，所以，即；

方法二：极化恒等式
记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：

即
故选：D

2． 如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________

答案: 2
解:如图,

取的中点,的中点,连接,则

（当且仅当三点共线时等号成立.)由极化恒等式得

3． （全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
方法一
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，

方法二：极化恒等式
解：取的中点,连接,取的中点,连接,

由是边长为2的等边三角形,为中线的中点,
则：

所以.
故选：．

1. 如图,在平面四边形中,,则的最大值为____

解：取的中点,连接,
由,
由四点共圆,且直径为.
则.
所以.

2. 设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______
解：如图所示,取的中点为点到的距离,
由极化恒等式,,
,
则

3. 已知的斜边,设是以为圆心,1为半径的圆上任意一点,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：如图所示,
在Rt上,不妨取的中点,则.
设圆的半径为,而
,则,
,则,
因此的取值范围是.
故选：C

【基础过关】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（    ）

A．1 B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】判断形状可得，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）在矩形中，.若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算计算数量积，由三角函数的有界性即可求解.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则
,设 ，
故
所以 其中，
由于，所以，
故选：B

3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】，
，
.
故选：C.
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用，两个向量表示，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】  
，
，
因，所以，
又，
所以，
故选：B
5．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【分析】由于直线：与轴、轴分别交于、两点，分别令，求得点坐标，再将圆：化成标准方程，由参数方程表示点的坐标，再代入中，由三角函数的最值即可求得的最小值.
【详解】令则，即，
令，则，即，
圆：，则设点，

当时取得最小值.
故选：C.
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为基底，求，利用函数性质求最小值.
【详解】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，
，，
，
由于，所以当时，有最小值.
故选：B
7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示直角坐标系：

则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
8．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．

故选：C.

二、填空题
9．（2023·河北·校联考一模）已知O为的外心，若，且，则 .
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故答案为：

三、双空题
10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则 ；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 .

【答案】 /5.25
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出.
【详解】因为，，所以为等边三角形，
因为，，所以在和中，，，
则，得，，
因为在中，，则，得，又，所以，
以为原点，以 所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，，，
则；
设，，，
则，
因为，所以时，的最小值为.
故答案为：；.

【能力提升】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由题设易知且，，进而求即可得答案.
【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，

所以，，
则

，
仅当时等号成立.
故选：A
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，用数量积的坐标运算.，转化为直线与圆有公共点求参数最值问题.
【详解】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：

则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有公共点，
所以，得，
所以的最小值为.   
故选：A
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（　  ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可得出，点G为的重心，所以，，再由向量的数量及定义求解即可.
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A

4．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则，设，则，
所以，
因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立
则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.
故选：A.
5．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在中，，点在线段上，，点是外接圆上任意一点，则最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据余弦定理求出线段的长度，再根据正弦定理求出外接圆的半径，最后将写成后再求，当与同向时，取得最大值.
【详解】在中，，，
在中，由余弦定理得，
，
又因为，所以，解得，
从而，.
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
故.
所以，
当与同向时，取得最大值为.
故选：A.
【点睛】
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（    ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】  
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，
由题意，，于是，即.
又，
∴．
故选：C
7．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．3 C． D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以
，
又，所以当时取得最小值为.

故选：A
8．（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（    ）
A．2 B．
C． D．4
【答案】B
【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，如图所示

因为菱形ABCD的边长为2，，
所以,，
设，则
，
因为，所以,
,

,
当时，的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出，结合向量数量积定义和运算即可.

二、填空题
9．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，计算可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】设点关于点的对称点为，则点在圆上，

所以，
，
因为
，
所以，，
因为，
当且仅当、同向且、反向时，，
当时，则，所以，，
所以，，所以，，
因为，则，
故当且四边形为菱形时，，
因此，.
故答案为：.
10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，

∴，
故答案为：.

【真题感知】
1．（天津·高考真题）已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴，故选B.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
2．（广东·高考真题）在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
3．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.    
4．（天津·高考真题）如图，在中，，，，则

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴，
又∵，∴，
∴，
故选．
5．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（   ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．

考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．

6．（山东·高考真题）已知菱形的边长为，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
考点：向量的数量积的运算.
7．（天津·高考真题）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
8．（天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为

A． B．
C． D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
9．（天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设

=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
10．（四川·高考真题）设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
【答案】C
【分析】根据图形得出,,
,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,
根据图形可得:,
,
,
,
,
,
，
，
故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
11．（福建·高考真题）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
12．（重庆·高考真题）如图，在四边形中，，，，则的值为

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意首先求得和的值，然后结合数量积的运算法则可得的值.
【详解】由题意可得：，解得：，
且：.
由可知，
故.
故选C.
【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的数量积的计算，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，
则：

，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：

，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
14．（重庆·高考真题）如图，在四边形ABCD中，
，则的值为

A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】：