高等数学上37平面曲线曲率.pptx

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容,:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第,三,章,一、弧微分,设,在,(,a,b,),内有连续导数,其图形为,AB,弧长,则弧长微分公式为,或,几何意义,:,若曲线由参数方程表示,:,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度,越大转角越大,转角相同弧段越,短弯曲程度越大,1,、曲率的定义,),弧段弯曲程度与 有关,.,转角,、弧段长度,),y,x,o,（,设曲线,C,是光滑的，,（,定义,曲线,C,在点,M,处的曲率,2,、曲率的计算公式,注意,:,(1),直线的曲率处处为零,;,(2),圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大,.,（,课本,P170,）,),y,x,o,例,1,(P171-2),解,显然,三、曲率圆与曲率半径,定义,1.,有,共同的切线,，亦即圆与曲线在点,M,处相切,.,曲率圆与曲线在点,M,处有以下关系：,2.,有,相同的曲率,.,3.,因此,，圆和曲线在点,M,处,一阶导数相同、二阶导数同号,.,例,2,解,如图,受力分析,视飞行员在点,o,作匀速圆周运动,O,点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即,:,飞行员对座椅的压力为,641.5,千克力,.,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支,微分几何学,.,小结,1.,弧长微分,或,2.,曲率公式,3.,曲率圆,曲率半径,思考题,椭圆 上哪些点处曲率最大？,思考题解答,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,补充,:,参数方程曲率公式,作业,:,P177:2,5,8,选讲：曲率圆与曲率半径,设,M,为曲线,C,上任一点,在点,在曲线,把以,D,为中心,R,为半径的圆叫做曲线在点,M,处的,曲率圆,(,密切圆,),R,叫做,曲率半径,D,叫做,曲率中心,.,在点,M,处曲率圆与曲线有下列密切关系,:,(1),有公切线,;,(2),凹向一致,;,(3),曲率相同,.,M,处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点,D,使,设曲线方程为,且,求曲线上点,M,处的,曲率半径及曲率中心,设点,M,处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式,.,由此可得曲率中心公式,(,注意,与,异号,),当点,M,(,x,y,),沿曲线,移动时,的轨迹,G,称为曲线,C,的,渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线,C,称为曲线,G,的,渐伸线,.,屈线的参数方程,(,参数为,x,).,点击图中任意点动画开始或暂停,例,4.,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适,?,解,:,设椭圆方程为,由例,3,可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题,.,(,仍为摆线,),例,5.,求摆线,的渐屈线方程,.,解,:,代入曲率中心公式,得,摆线,半径为,a,的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点,M,的轨迹即为摆线,.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,内容小结,曲率中心,点击图片任意处播放,暂停,例,2,证,如图,（,（,在缓冲段上,实际要求,