第01讲-函数的概念及其表示(高频精讲)(原卷版).docx

第01讲 函数的概念及其表示(精讲）
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：函数的概念 4
高频考点二：函数定义域 5
角度1：具体函数的定义域 5
角度2：抽象函数定义域 6
角度3：已知定义域求参数 6
高频考点三：函数解析式 7
角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 7
角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 8
角度3：待定系数法 8
角度4：方程组消去法 9
高频考点四：分段函数 10
角度1：分段函数求值 10
角度2：已知分段函数的值求参数 11
角度3：分段函数求值域（最值） 11
高频考点五：函数的值域 13
角度1：二次函数求值域 13
角度2：分式型函数求值域 13
角度3：根式型函数求值域 14
角度4：根据值域求参数 15
角度5：根据函数值域求定义域 15
第四部分：高考新题型 17
①开放性试题 17
②探究性试题 17
第五部分：数学思想方法 18
①函数与方程的思想 18
②数形结合思想 18

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第一部分：知识点必背
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.
就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.
就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
2．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（    ）
A． B．
C． D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（    ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2023·高一课时练习）下列对应中是函数的是（    ）.
A．，其中，，
B．，其中，，
C．，其中y为不大于x的最大整数，，
D．，其中，，
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）函数的定义域（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数的定义域为__________.

练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）函数的定义域为_____________．
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）函数的定义域为，则的定义域为（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．

练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．

角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知函数的定义域为，则实数的值是______．
例题3．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是_______.
例题4．（2023·高一课时练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是______．

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则（    ）
A．3 B．3 C．1 D．1
2．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．
3．（2023·上海·高一专题练习）已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为R，则实数k的取值范围为______.

高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）已知函数满足，则解析式是（　　　）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知，则（    ）．
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）若函数，且，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
例题4．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知，则_________．
例题5．（2023·高一课时练习）如果，则当且时，_____．

角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，则（　　）
A．1 B．7 C．8 D．16
例题2．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为________.
例题3．（2023·高一课时练习）若二次函数满足，，求.

例题4．（2023·高一课时练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2） 若二次函数满足，，且图象过原点，求的解析式．

角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，则（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知，则______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的解析式___________.
例题4．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，且，则________．

练透核心考点
1．（2023春·高一校考开学考试）已知一次函数满足，则（    ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2023·高一课时练习）若函数，且，则实数的值为（    ）
A． B．或 C． D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
4．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末）设定义在上的函数满足，则___________.
5．（2023·高一课时练习）（1）已知函数，求函数的解析式
（2）已知为一次函数，若，求的解析式.
6．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；

高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）已知函数，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．e
例题2．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，若，则的值是（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，则的值为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
例题4．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）若，则____________.

角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知函数，若，则实数的值等于（    ）
A． B． C．1 D．3
例题2．（2023秋·广东云浮·高一统考期末）若函数且，则_____________．
例题3．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）设函数，若，则__________．
例题4．（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数______．

角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（    ）
A． B．1 C．2 D．3
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·高一课时练习）若函数,则函数的值域为______．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．

练透核心考点
1．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（    ）
A． B．0 C．1 D．4
2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知函数，则（    ）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值
D．的最大值为，最小值为
3．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）已知函数，则__________.
4．（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）设函数，则______．
5．（2023·高一课时练习）设函数，若则实数=__________
6．（2023·高一课时练习）已知函数且，则实数a的值为________．
7．（2023·高一课时练习）已知函数，若，则_______.

高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（    ）
A．17 B．18 C．19 D．20
例题2．（2023·高三课时练习）函数的值域为______.
例题3．（2023·高一课时练习）函数的值域为_______．
例题4．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数满足，
(1)求的解析式；
(2)当，求的值域．

角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）关于“函数，的最大、最小值与函数，的最大、最小值”，下列说法中正确的是（    ）．
A．有最大、最小值，有最大、最小值
B．有最大、最小值，无最大、最小值
C．无最大、最小值，有最大、最小值
D．无最大、最小值，无最大、最小值

例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（     ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·高一课时练习）函数 的值域

例题4．（2023·高一课时练习）求函数的值域.

例题5．（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域.

角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）的最大值是（    ）
A． B．2 C． D．4
例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知，则的最大值是（    ）
A．8 B．2 C．1 D．0
例题3．（2023·高一课时练习）求函数的值域______．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．
例题5．（2023·高一课时练习）函数的值域为__________．
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
例题4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值可能是（    ）
A．0 B． C． D．1
例题5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．

角度5：根据函数值域求定义域
典型例题
例题1．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ）
A．当时，的值不唯一 B．当时，的值不唯一
C．的最大值为3 D．的最小值为3

例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
例题4．（2023·高一课时练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．

练透核心考点
1．（2023秋·河南洛阳·高一统考期末）若函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）的最大值是（    ）
A． B．2 C． D．4
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
6．（2023·高一课时练习）求函数的值域______．
7．（2023·高一课时练习）函数在上的值域为________．
8．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数值域为，求a的取值范围.
9．（2023·高三课时练习）已知函数，当时，值域为______；当时，值域为______.

第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）写出一个与的定义域和值域均相同，但是解析式不同的函数：____________．
2．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________.
3．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）除函数y＝x，外，再写出一个定义域和值域均为的函数______.

②探究性试题
1．（2020秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若，则函数（    ）
A．有最大值10 B．有最小值10
C．有最大值6 D．有最小值6
2．（2022秋·安徽六安·高一校考期中）若用表示三个数中的最小值,如.则函数的最大值是________．
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数，均有，求___________
3．（2023·高一单元测试）已知函数，存在实数，使得，则实数的取值范围是______．

②数形结合思想
1．（2023·高一单元测试）若函数的定义域是，则其值域为（    ）.
A． B．
C． D．
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（    ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1

3．（2023·高一课时练习）画出函数的图象，并根据图象回答下列问题.

(1)比较，，的大小；
(2)若，比较与的大小；
(3)求函数的值域.