高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布.pdf

推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料二项分布与正态分布【考点梳理】1条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0 P(B|A)1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A).3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1，2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cknpk(1 p)nk(k0，1，2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率.4正态分布(1)正态分布的定义如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)ab，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2).其中，(x)22212xe(0).(2)正态曲线的性质曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料曲线是单峰的，它关于直线x 对称；曲线在x 处达到峰值12；当 一定时，曲线的形状由 确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.【考点突破】考点一、条件概率【例 1】(1)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A110 B15 C25 D12 答案 (1)14 (2)C 解析 (1)由题意可得，事件A发生的概率P(A)S正方形 EFGHS圆O22122.事件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB)SEOHS圆O12121212.故P(B|A)PABPA12214.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料题意可得P(A)12，P(AB)15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)P（AB）P（A）151225.故选 C.【类题通法】1.利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)P（AB）P（A），这是求条件概率的通法.2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)n（AB）n（A）.【对点训练】1从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件A“取到的2 个数之和为偶数”，事件B“取到的2 个数均为偶数”，则P(B|A)()A18 B14 C25 D12 答案 B 解析 法一P(A)C23C22C2541025，P(AB)C22C25110.由条件概率计算公式，得P(B|A)P（AB）P（A）1102514.法二事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共 4 个.事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A)n（AB）n（A）14.2某盒中装有10 只乒乓球，其中6 只新球、4 只旧球，不放回地依次摸出2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为()A35 B59 C110 D25 答案 B 解析 第一次摸出新球记为事件A，则P(A)35，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料C26C21013，P(B|A)P（AB）P（A）133559.考点二、相互独立事件同时发生的概率【例 2】从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率 解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)11211311414，P(X1)12 113 114 11213 114 112 113141124，P(X2)112131412 113141213 11414，P(X3)121314124.所以随机变量X的分布列为：X 0123 P 14112414124 (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y 1)P(Z 0)1411241124141148.所以这 2 辆车共遇到1 个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120 万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列.解析 记E甲组研发新产品成功，F 乙组研发新产品成功，由题设知P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立.(1)记H 至少有一种新产品研发成功，则HE F，于是P(H)P(E)P(F)1325215，故所求的概率为P(H)1P(H)12151315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X0)P(E F)13 25215，P(X100)P(EF)133531515，P(X120)P(EF)2325415，P(X220)P(EF)233561525.故所求的分布列为X 0100120220 P 2151541525考点三、独立重复试验与二项分布【例 3】空气质量指数(AirQuality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050 为优；51100 为良；101 150 为轻度污染；151200为中度污染；201300 为重度污染；300 以上为严重污染.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料一环保人士记录去年某地六月10 天的 AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI 100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3 天，记三天中空气质量为优良的天数为，求 的分布列.解析 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，该样本中空气质量为优良的频率为61035，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为303518.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，的所有可能取值为0，1，2，3，且 B3，35.P(0)2538125，P(1)C133525236125，P(2)C233522554125，P(3)35327125，的分布列为0123 P 8125361255412527125推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(Xk)Cknpk(1 p)n k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65)，65，75)，75，85 内的频率之比为421.(1)求这些产品质量指标值落在区间75，85 内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.解析 (1)设这些产品质量指标值落在区间75，85 内的频率为x，则落在区间 55，65)，65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004 0.012 0.019 0.030)10 4x2xx1，解得x0.05.所以这些产品质量指标值落在区间75，85 内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间45，75)内的频率为0.3 0.2 0.1 0.6，将频率视为概率得p0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3 件，相当于进行了3 次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n3，p0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X0)C030.600.430.064，P(X1)C13 0.610.420.288，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料P(X2)C23 0.620.410.432，P(X3)C33 0.630.400.216，所以X的分布列为X 0123 P 0.0640.2880.4320.216 考点四、正态分布【例 4】(1)已知随机变量 服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2(2)某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩(N)近似服从正态分布N(100，102)，已知P(90 100)0.3，估计该班学生数学成绩在110 分以上的人数约为_ 答案(1)C (2)10 解析 (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P(4)1P(4)10.8 0.2，P(0 2)12P(04)121 P(4)12(1 0.2 0.2)0.3.(2)由题意，知P(110)1 2P20.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2 50 10.【类题通法】对于正态分布N(，2)，由x 是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(Xa)；(2)P(Xx0)1P(Xx0)；(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)【对点训练】1 设随机变量 服从正态分布N(1，2)，若P(2)0.8，则P(01)的值为 _ 答案 0.3 解析 P(01)P(2)P(1)0.8 0.5 0.3.2某地高三理科学生有15 000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布N(100，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2)，已知P(80 100)0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100 份试卷进行分析，则应从120 分以上的试卷中抽取()A5 份 B10 份 C15 份 D20 份 答案 C 解析 数学成绩 服从正态分布N(100，2)，P(80 100)0.35，P(80120)12(1 0.70)0.15，应抽取的份数为1000.15 15.