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指数函数及对数函数重难点
根式的概念:
①定义:若一个数的次方等于,则这个数称的次方根.即,若
,则称的次方根,
1)当为奇数时,次方根记作;
2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作
.
②性质:1); 2)当为奇数时,;
3)当为偶数时,
幂的有关概念:
①规定:1)N*, 2),
n个
3)Q,4)、N* 且
②性质:1)、Q),
2)、 Q),
3) Q)
(注)上述性质对r、R均适用.
例 求值
(1) (2) (3) (4)
例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
例.化简求值
(1)
(2)
(3)
(4) =
(5)
指数函数的定义:
①定义:函数称指数函数,
1)函数的定义域为R,
2)函数的值域为,
3)当时函数为减函数,当时函数为增函数.
提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (>1,且)
例:比较下列各题中的个值的大小
(1)1.72.5 与 1.73
( 2 )与
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
例:已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求
思考:已知按大小顺序排列.
O
例 如图为指数函数,则与1的大小关系为
(A) (B)
(C) (D)
1、函数是( )
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
2、函数的值域是( )
A、 B、 C、 D、
3、已知,则函数的图像必定不经过( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
例.求函数的值域和单调区间
例 若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.
.f(x)=,则f(x)值域为______.
考查分段函数值域.
【解析】 x∈(-∞,1]时,x-1≤0,0<3x-1≤1,
∴-2<f(x)≤-1
x∈(1,+∞)时,1-x<0,0<31-x<1,∴-2<f(x)<-1
∴f(x)值域为(-2,-1]
【答案】 (-2,-1]
例、已知,则函数的值域是_____________
例 点(2,1)与(1,2)在函数的图象上,求的解析式
例.设函数,求使的取值范围.
例 已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;
对数的概念:
①定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数.
1)以10为底的对数称常用对数,记作,
2)以无理数为底的对数称自然对数,记作
②基本性质:
1)真数N为正数(负数和零无对数),
2),
3),
4)对数恒等式:
例 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1)54=645 (2) (3)
(4) (5) (6)
例:求下列各式中x的值
(1) (2) (3) (4)
分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
练习:将下列指数式与对数式互化,有的求出的值 .
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
例 利用对数恒等式,求下列各式的值:
(1)
(2)
(3)
(4)
③运算性质:如果则
1);
2);
3)R).
④换底公式:
1) , 2)
对数函数的运算规律
例.用,,表示下列各式:
(2)
.
(1); (2).
解:(1)
;
例.求下列各式的值:
(1); (2) .
解:(1)原式==;
(2)原式=
例.计算:(1)lg1421g; (2);
(3) (4)lg2·lg50+(lg5)2
(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解:(1)
;
(2);
例.计算:(1) ; (2).
解:(1)原式 = ;
(2) 原式 = .
例.求值:(1);
(2) ;
(3) (3).
例.求值
(1) log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
对数函数性质典型例题
例.比较下列各组数中两个值的大小:
(1),; (2),;
解:(1)对数函数在上是增函数,
于是;
(2)对数函数在上是减函数,
于是;
2、比较大小
(1)_________ (2)________
3若,则的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D)
4 已知,则的大小关系是( )
(A) (B) (C) (D)
例 比较下列各组数中的两个值大小:
(1)log23.4,log28.5
(2)log0.31.8,log0.32.7
(3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1)
例 如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系?
提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0<c<d<1<a<b
例 求下列函数的定义域.
(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a≠1,k∈R).
例.求函数的单调区间
解:设,,由得,知定义域为
又,则当时,是减函数;当时,是增函数,而在上是减函数
的单调增区间为,单调减区间为
例 函数的单调减区间是________。
例 已知y=log4(2x+3-x2).
(1)求定义域;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求y的最大值,并求取最大值时x值.
考点 考查对数函数、二次函数的单调性、最值.
【解】 (1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3
∴f(x)定义域为{x|-1<x<3}
(2)令u=2x+3-x2,则u>0,y=log4u
由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4
再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1),减区间是[1,
又y=log4u为(0,+∞)增函数,
故该函数单调递增区间为(-1,1],减区间为[1,3)
(3)∵u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4
∴y=log4u≤log44=1
故当x=1时,u取最大值4时,y取最大值1.
例 求函数的最小值.
变式.求函数的定义域及值域.
例 已知函数y=f(2x)定义域为[1,2],则y=f(log2x)的定义域为( )
A.[1,2] B.[4,16] C.[0,1] D.(-∞,0]
考查函数定义域的理解.
【解析】 由1≤x≤22≤2x≤4,
∴y=f(x)定义域为[2,4]
由2≤log2x≤4,得4≤x≤16
【答案】 B
例 作出下列函数的图像,并指出其单调区间.
(1)y=lg(-x), (2)y=log2|x+1|
例 已知函数f (t) =log2t,.
(1)求f (t)的值域G;
(2)若对于G内的所有实数x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立,求实数m的取值范围.
例 已知函数f(x)=, 其中为常数,若当x∈(-∞, 1]时, f(x)有意义,求实数a的取值范围.
分析:参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于的不等式(组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把分离出来,重新认识与其它变元(x)的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”.
解:>0, 且a2-a+1=(a-)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(-∞, 1]时, y=与y=都是减函数,
∴ y=在(-∞, 1]上是增函数,max=-,
∴ a>-, 故a的取值范围是(-, +∞).
例 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x - )
(1)求f(x);
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性;
(3)对于f(x) ,当x ∈(-1 , 1)时 , 有f( 1-m ) +f (1- m2 ) < 0 ,求m的集合M .
解:(1)令t=logax(t∈R),则
f(x)在R上都是增函数.
例 已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
例、已知函数.
(Ⅰ)求函数的定义域;(Ⅱ)若函数在[10,+∞)上单调递增,求k的取值范围.
1.函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
2..已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞]时,f(x)≥0恒成立,则
( )
A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1
3.函数 y=的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,-3) B.(-∞,-1) C.[1,+∞] D.[-3,-1]
4.设f(x)是定义在A上的减函数,且f(x)>0,则下列函数:y=3-2f(x),y=1+,y=f2(x),y=1-,其中增函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5、.若集合M={y|y=2—x}, P={y|y=}, M∩P= ( )
A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0 } D.{y|y≥0}
6、设,则 ( )
A、 B、 C、 D、
7、在中,实数的取值范围是 ( )
A、 B、 C、 D、
8、已知函数,其中,则的值为( )
2 4 6 7
9、 函数的图象的大致形状是 ( )
10.当a>0且a≠1,x>0,y>0,n∈N*,下列各式不恒等的是 ( )
A.loganx=logax B.logax=nloga
C.=x D.logaxn+logayn=n(logax+logay)
11 的值是( )
A. B.1 C. D.2
12 函数f(x)=lnx-零点所在的大致区间是
A(1,2) B(2,3) C (e,+∞) D
13.若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
14.函数的递减区间为
A.(1,+) B.(-,] C.(,+) D.(-,]
15.如果是定义在R上的偶函数,它在上是减函数,那么下述式子中正确的是
A. B.
C. D.以上关系均不确定
16.函数、均为偶函数,且当x∈[0,2]时,是减函数,设,,则a、b、c的大小是
A. B. C. D.
17、如果方程的两根是,则的值是( )
A、 B、 C、35 D、
18、已知,那么等于( )
A、 B、 C、 D、
19.三个数的大小顺序是 ( )
(A)(B)
(C)(D)
20、函数的值域是( )
A、 B、 C、 D、
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