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指数对数概念及运算公式.doc

上传人:pc****0 文档编号:8538524 上传时间:2025-02-17 格式:DOC 页数:12 大小:847KB
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指数函数及对数函数重难点 根式的概念: ①定义:若一个数的次方等于,则这个数称的次方根.即,若 ,则称的次方根, 1)当为奇数时,次方根记作; 2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作 . ②性质:1); 2)当为奇数时,; 3)当为偶数时, 幂的有关概念: ①规定:1)N*, 2), n个 3)Q,4)、N* 且 ②性质:1)、Q), 2)、 Q), 3) Q) (注)上述性质对r、R均适用. 例 求值 (1) (2) (3) (4) 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例.化简求值 (1) (2) (3) (4) = (5) 指数函数的定义: ①定义:函数称指数函数, 1)函数的定义域为R, 2)函数的值域为, 3)当时函数为减函数,当时函数为增函数. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (>1,且) 例:比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73 ( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例:已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求 思考:已知按大小顺序排列. O 例 如图为指数函数,则与1的大小关系为 (A) (B) (C) (D) 1、函数是( ) A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 2、函数的值域是( ) A、 B、 C、 D、 3、已知,则函数的图像必定不经过( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 例.求函数的值域和单调区间 例 若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______. .f(x)=,则f(x)值域为______. 考查分段函数值域. 【解析】 x∈(-∞,1]时,x-1≤0,0<3x-1≤1, ∴-2<f(x)≤-1 x∈(1,+∞)时,1-x<0,0<31-x<1,∴-2<f(x)<-1 ∴f(x)值域为(-2,-1] 【答案】 (-2,-1] 例、已知,则函数的值域是_____________ 例 点(2,1)与(1,2)在函数的图象上,求的解析式 例.设函数,求使的取值范围. 例 已知定义域为的函数是奇函数。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围; 对数的概念: ①定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数. 1)以10为底的对数称常用对数,记作, 2)以无理数为底的对数称自然对数,记作 ②基本性质: 1)真数N为正数(负数和零无对数), 2), 3), 4)对数恒等式: 例 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)54=645 (2) (3) (4) (5) (6) 例:求下列各式中x的值 (1) (2) (3) (4) 分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x. 练习:将下列指数式与对数式互化,有的求出的值 . (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例 利用对数恒等式,求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) ③运算性质:如果则 1); 2); 3)R). ④换底公式: 1) , 2) 对数函数的运算规律 例.用,,表示下列各式: (2) . (1); (2). 解:(1) ; 例.求下列各式的值: (1); (2) . 解:(1)原式==; (2)原式= 例.计算:(1)lg1421g; (2);  (3)    (4)lg2·lg50+(lg5)2 (5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解:(1) ; (2); 例.计算:(1) ; (2). 解:(1)原式 = ; (2) 原式 = . 例.求值:(1); (2) ; (3) (3). 例.求值   (1) log89·log2732   (2)   (3)   (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 对数函数性质典型例题 例.比较下列各组数中两个值的大小: (1),; (2),; 解:(1)对数函数在上是增函数, 于是; (2)对数函数在上是减函数, 于是; 2、比较大小 (1)_________ (2)________ 3若,则的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) 4 已知,则的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D) 例 比较下列各组数中的两个值大小:   (1)log23.4,log28.5   (2)log0.31.8,log0.32.7   (3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1) 例 如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系? 提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0<c<d<1<a<b 例 求下列函数的定义域.   (1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a≠1,k∈R). 例.求函数的单调区间 解:设,,由得,知定义域为 又,则当时,是减函数;当时,是增函数,而在上是减函数 的单调增区间为,单调减区间为 例 函数的单调减区间是________。 例 已知y=log4(2x+3-x2). (1)求定义域; (2)求f(x)的单调区间; (3)求y的最大值,并求取最大值时x值. 考点 考查对数函数、二次函数的单调性、最值. 【解】 (1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3 ∴f(x)定义域为{x|-1<x<3} (2)令u=2x+3-x2,则u>0,y=log4u 由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4 再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1),减区间是[1, 又y=log4u为(0,+∞)增函数, 故该函数单调递增区间为(-1,1],减区间为[1,3) (3)∵u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4 ∴y=log4u≤log44=1 故当x=1时,u取最大值4时,y取最大值1. 例 求函数的最小值. 变式.求函数的定义域及值域. 例 已知函数y=f(2x)定义域为[1,2],则y=f(log2x)的定义域为( ) A.[1,2] B.[4,16] C.[0,1] D.(-∞,0] 考查函数定义域的理解. 【解析】 由1≤x≤22≤2x≤4, ∴y=f(x)定义域为[2,4] 由2≤log2x≤4,得4≤x≤16 【答案】 B 例 作出下列函数的图像,并指出其单调区间. (1)y=lg(-x), (2)y=log2|x+1| 例 已知函数f (t) =log2t,. (1)求f (t)的值域G; (2)若对于G内的所有实数x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立,求实数m的取值范围. 例 已知函数f(x)=, 其中为常数,若当x∈(-∞, 1]时, f(x)有意义,求实数a的取值范围. 分析:参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于的不等式(组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把分离出来,重新认识与其它变元(x)的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”. 解:>0, 且a2-a+1=(a-)2+>0, ∴ 1+2x+4x·a>0, a>, 当x∈(-∞, 1]时, y=与y=都是减函数, ∴ y=在(-∞, 1]上是增函数,max=-, ∴ a>-, 故a的取值范围是(-, +∞). 例 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x - ) (1)求f(x); (2)判断f(x)的奇偶性与单调性; (3)对于f(x) ,当x ∈(-1 , 1)时 , 有f( 1-m ) +f (1- m2 ) < 0 ,求m的集合M . 解:(1)令t=logax(t∈R),则 f(x)在R上都是增函数. 例 已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 例、已知函数. (Ⅰ)求函数的定义域;(Ⅱ)若函数在[10,+∞)上单调递增,求k的取值范围. 1.函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 2..已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞]时,f(x)≥0恒成立,则 ( ) A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1 3.函数 y=的单调递减区间为 (  ) A.(-∞,-3) B.(-∞,-1) C.[1,+∞] D.[-3,-1] 4.设f(x)是定义在A上的减函数,且f(x)>0,则下列函数:y=3-2f(x),y=1+,y=f2(x),y=1-,其中增函数的个数为 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 5、.若集合M={y|y=2—x}, P={y|y=}, M∩P= ( ) A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0 } D.{y|y≥0} 6、设,则 ( ) A、 B、 C、 D、 7、在中,实数的取值范围是 ( ) A、 B、 C、 D、 8、已知函数,其中,则的值为( ) 2 4 6 7 9、 函数的图象的大致形状是 ( ) 10.当a>0且a≠1,x>0,y>0,n∈N*,下列各式不恒等的是 ( ) A.loganx=logax B.logax=nloga C.=x D.logaxn+logayn=n(logax+logay) 11 的值是( ) A. B.1 C. D.2 12 函数f(x)=lnx-零点所在的大致区间是 A(1,2) B(2,3) C (e,+∞) D 13.若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 14.函数的递减区间为 A.(1,+) B.(-,] C.(,+) D.(-,] 15.如果是定义在R上的偶函数,它在上是减函数,那么下述式子中正确的是 A. B. C. D.以上关系均不确定 16.函数、均为偶函数,且当x∈[0,2]时,是减函数,设,,则a、b、c的大小是 A. B. C. D. 17、如果方程的两根是,则的值是( ) A、 B、 C、35 D、 18、已知,那么等于( ) A、 B、 C、 D、 19.三个数的大小顺序是 ( ) (A)(B) (C)(D) 20、函数的值域是( ) A、 B、 C、 D、
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