指数对数概念及运算公式.doc

指数函数及对数函数重难点
根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根.即，若
，则称的次方根，
1）当为奇数时，次方根记作；
2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作
.
②性质：1）； 2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，
幂的有关概念：
①规定：1）N*， 2），
n个
3）Q，4）、N* 且
②性质：1）、Q），
2）、 Q），
3） Q）
（注）上述性质对r、R均适用.

例 求值
（1） （2） （3） （4）

例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) （２） （３）
（４） （５） （6）
例.化简求值
（1）
（2）
（3）
（4） =
（5）

指数函数的定义：
①定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R，
2）函数的值域为，
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （＞1，且）
例：比较下列各题中的个值的大小
（1）172.5 与 1.73
( 2 )与
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
例：已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

思考：已知按大小顺序排列.

O

例 如图为指数函数，则与1的大小关系为

（A） （B）
（C） （D）

1、函数是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
2、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知,则函数的图像必定不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

例．求函数的值域和单调区间
例 若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.
.f(x)=，则f(x)值域为______.
考查分段函数值域.
【解析】 x∈(－∞,1］时,x－1≤0,0<3x－1≤1,
∴－2 (－2,－1］
例、已知，则函数的值域是_____________
例 点（2，1）与（1，2）在函数的图象上，求的解析式
例.设函数，求使的取值范围．

例 已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

对数的概念：
①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数.
1）以10为底的对数称常用对数，记作，
2）以无理数为底的对数称自然对数，记作
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数），
2），
3），
4）对数恒等式：

例 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2） （3）
（4） （5） （6）
例：求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

练习：将下列指数式与对数式互化，有的求出的值 .
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）

例 利用对数恒等式，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4)

③运算性质：如果则
1）；
2）；
3）R）.
④换底公式：
1） ， 2）

对数函数的运算规律
例．用，，表示下列各式：
（2）

．
（1）； （2）．
解：（1）

；

例．求下列各式的值：
（1）； （2） ．
解：（1）原式==；
（2）原式=
例．计算：（1）lg1421g； （2）；
　(3) 　　 (4)lg2·lg50+(lg5)2
(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

解：（1）
；
（2）；
例．计算：（1） ； （2）．
解：（1）原式 = ；
（2） 原式 = ．
例．求值：(1)；
(2) ；
(3) (3).
例．求值
　　(1) log89·log2732
　　(2)
　　(3)

(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

对数函数性质典型例题

例．比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），；
解：（1）对数函数在上是增函数，
于是；
（2）对数函数在上是减函数，
于是；
2、比较大小
（1）_________ (2)________
3若，则的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4 已知，则的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
例 比较下列各组数中的两个值大小：
　　(1)log23.4，log28.5
　　(2)log0.31.8，log0.32.7
　　(3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1)
例 如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？

提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0＜c＜d＜1＜a＜b
例 求下列函数的定义域.
　　(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).

例．求函数的单调区间
解：设，，由得，知定义域为
又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数
的单调增区间为，单调减区间为
例 函数的单调减区间是________。

例 已知y=log4(2x+3－x2).
（1）求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.
考点 考查对数函数、二次函数的单调性、最值.
【解】 （1）由2x+3－x2>0,解得－10,y=log4u
由于u=2x+3－x2=－(x－1)2+4
再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1）减区间是［1,
又y=log4u为(0,+∞)增函数，
故该函数单调递增区间为（－1，1］，减区间为［1，3）
（3）∵u=2x+3－x2=－(x－1)2+4≤4
∴y=log4u≤log44=1
故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.

例 求函数的最小值．
变式．求函数的定义域及值域．

例 已知函数y=f(2x)定义域为［1，2］,则y=f(log2x)的定义域为（ ）
A.［1，2］ B.［4，16］ C.［０，1］ D.（－∞,0］
考查函数定义域的理解.
【解析】 由1≤x≤22≤2x≤4,
∴y=f(x)定义域为［2，4］
由2≤log2x≤4,得4≤x≤16
【答案】 B

例 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．
(1)y=lg(－x)， (2)y=log2|x＋1|

例 已知函数f (t) =log2t，.
（1）求f (t)的值域G；
（2）若对于G内的所有实数x，不等式－x2+2mx－m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.
例 已知函数f(x)=, 其中为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围.
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把分离出来，重新认识与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.
解：>0, 且a2－a+1=(a－)2+>0,
∴ 1+2x+4x·a>0, a>,
当x∈(－∞, 1]时, y=与y=都是减函数，
∴ y=在(－∞, 1]上是增函数，max=－,
∴ a>－, 故a的取值范围是(－, +∞).

例 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = (x － )
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M
解：(1)令t=logax(t∈R)，则

f(x)在R上都是增函数.

例 已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．
例、已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若函数在[10，+∞)上单调递增，求k的取值范围.

1．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
2．．已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞］时，f（x）≥0恒成立，则
（ ）
A．b≤1 B．b＜1 C．b≥1 D．b=1
3．函数 y=的单调递减区间为 （　　）

A．（－∞，－3） B．（－∞，－1） C．［1，+∞］ D．［－3，－1］
4．设f（x）是定义在A上的减函数，且f（x）＞0，则下列函数：y=3－2f（x）,y=1+,y=f2（x）,y=1－，其中增函数的个数为 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、.若集合M={y|y=2—x}, P={y|y=}, M∩P= （ ）
A．{y|y>1} B．{y|y≥1} C．{y|y>0 } D．{y|y≥0}
6、设，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、在中，实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、

8、已知函数，其中，则的值为（ ）
2 4 6 7
9、 函数的图象的大致形状是 （ ）

10．当a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*，下列各式不恒等的是 （ ）
A．loganx＝logax B．logax＝nloga
C．＝x D．logaxn＋logayn＝n（logax＋logay）
11 的值是( )
A． B．1 C． D．2
12 函数f(x)=lnx－零点所在的大致区间是
A（1，2） B（2，3） C （e，+∞） D
13．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．

14．函数的递减区间为
A.（1，+） B.（－，］ C.（，+） D.（－，］
15．如果是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，那么下述式子中正确的是
A． B．
C． D．以上关系均不确定
16．函数、均为偶函数，且当x∈[0，2]时，是减函数，设，,则a、b、c的大小是
A． B． C． D．
17、如果方程的两根是，则的值是（ ）
A、 B、 C、35 D、
18、已知，那么等于（ ）
A、 B、 C、 D、
19．三个数的大小顺序是 （ ）
（A）（B）
（C）（D）
20、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、