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概率论与数理统计 公式〔全〕

2011-1-1

第 1 章 随机事件及其概率

1

〔1〕
排 列 组 合 公式

〔2〕
加 法 和 乘 法原理

〔3〕
一 些 常 见 排列
〔4〕
随 机 试 验 和 随 机 事 件

〔5〕
基本领件、 样 本 空 间 和事件

〔6〕
事 件 的 关 系与运算

m!
m (m n)!
P n = 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

m!
m n!(m n)!
C n = 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

加法原理〔两种方法均能完成此事〕： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理〔两个步骤分别不能完成这件事〕： m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列〔有序〕
对立事件〔至少有一个〕
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本领件，用 来表示。
基本领件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点〔基本领件 〕组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件〔Ø〕 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件〔Ω〕的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， 〔A 发生必有事件 B 发生〕： A 仁 B
如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。
A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B，也可
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、 B 同时发生： AnB，或者 AB。 A n B=Φ，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。

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〔7〕
概 率 的 公 理化定 义

〔8〕
古典概型

〔9〕
几何概型

〔10〕
加法公式

〔11〕
减法公式

〔12〕
条件概率

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率： (AB) ∪C=(A∪C)∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC)∪ (BC)
nw A = Uw A
i i
德摩根率： i=1 i=1 A U B = A n B， A n B = A U B
设业 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，假设 满足以下三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1， A2 ，…有
P(||(Ai))|| = P(Ai )
常称为可列〔完全〕可加性。
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° 业 = {o ,o …o }，
1 2 n
2° P(o ) = P(o ) = … P(o ) = 1 。
1 2 n n
设任一事件A ，它是由o ,o …o 组成的，则有
P(A)= P {(o ) U (o ) U …( 1)U 2(o )}m= P(o ) + P(o ) + … + P(o )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数
假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本 空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几 何概型。对任一事件 A，
P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量〔长度、面积、体积〕 。
L(业)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时， P(B )=1- P(B)
P(AB)
P(A)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 为事件 A 发生条件下，事
件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) = 。
P(AB)
P(A)

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〔13〕
乘法公式

〔14〕
独立性

〔15〕
全 概 率 公 式

〔16〕
贝 叶 斯 公 式
〔 用 于 求 后验概率〕

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如： P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A /B)
更一般地，对事件 A， A ，…A ，假设 P(A A …A )>0，则有
P(A A12 … A )n = P(A )1 P(A | A )21 P(A | A A )312 …… P(An | A1A2 … An 1)。
①两个事件的独立性
1 2 n 1 2 n- 1

设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)， 则称事件A、 B 是相互独立的。 假设事件A、 B 相互独立，且P(A) > 0 ，则有
P(B | A) = P(AB) = P(A)P(B) = P(B)
P(A) P(A)
假设事件A， B 相互独立， 则可得到A 与B， A 与B， A 与B 也都相互 独立。
必然事件 和不可能事件Φ与任何事件都相互独立。
Φ与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性

设 A， B， C 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2 , … , Bn 满足
1°B1, B2 , … , Bn 两两互不相容， P(Bi ) > 0(i = 1,2, … , n)，
A 仁Un B
i
2° i=1 ，
则有
P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + … + P(Bn )P(A | Bn )。
设事件B1， B2 ，…， Bn 及A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1， 2，…， n，

A 仁Un B
2° i=1 i ，且 P(A) > 0，
则
P(B / A) = P(Bi )P(A/ Bi ) ， i=1， 2，…n。
i n P(B )P(A/ B )
j j
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(B )，〔 i = 1， 2， …， n〕， 通常叫先验概率。 P(B / A)，〔i = 1， 2， …， n〕，i 通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”i 的概率规律，并作出了
“由果溯因”的推断。

n
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我们作了n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；
令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p = q ，用Pn(k) 表
示n 重伯努利试验中A 出现k (0 k n) 次的概率，

Pn (k ) = C k p k q nk k = 0,1,2, … , n
， 。
〔17〕

伯 努 利 概
型

〔1〕 离 散 型 随 机 变 量 的 分布律

〔2〕 连 续 型 随 机 变 量 的 分布密度

第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2, …)且取各个值的概率，即事
k
件(X=X )的概率为
k
P(X=x )=p， k=1,2, …，
k k
则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
X | x1, x2 , … , xk , …
P(X = xk ) p1, p2 , … , pk , … 。
显然分布律应满足以下条件：

pk = 1
k = 1,2, …
〔2〕 k =1 。
，
〔1〕 pk > 0，
设 F (x)是随机变量X 的分布函数，假设存在非负函数f (x) ，对任意实数x，
有
F(x) = jx f (x)dx
，
则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1°
2°
f (x) > 0
,
j+ f (x)dx = 1
,
3°P(x < X x ) = xj2f (x)dx ,
1 2
x
1
4°若f (x)在点x处连续，则有F'(x) = f (x) 。

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P(X x) P(x X x dx) f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X xk ) pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F (x) P(X x)

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F (b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a, b] 的概率。分布

函数 F(x) 表示随机变量落入区间〔 – ∞， x]的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；

2° F (x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F (x1) F (x2)；

3° F () lim F (x) 0， F () lim F (x) 1；
x x
4° F (x 0) F (x) ，即F(x) 是右连续的；

5° P(X x) F (x) F(x 0)。
F (x) p ；
k
xk x
x
对于连续型随机变量，

0- 1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
即 B(1,p)
〔3〕 离 散 与 连 续 型 随 机 变 量 的 关 系

〔4〕
分布函数
F (x) f (x)dx 。
对于离散型随机变量，

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在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为p 。事件 A 发生

的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为0,1,2, … , n 。

P(X = k) = Pn (k) = C n(k) p k q nk ， 其 中
q = 1 p,0 p 1, k = 0,1,2, … , n，

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n， p 的 二 项 分 布 。 记 为

X ~ B(n, p) 。

当n = 1 时， P(X = k) = pk q1k， k = 0. 1 ，这就是 0- 1 分布，
所以 0- 1 分布是二项分布的特例。
设随机变量 X 的分布律为
P(X = k) = 入 k e 入， 入 > 0， k = 0,1,2…，
k!
则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X ~ 几 (入) 或
者 P(入 )。
泊松分布是二项分布的极限分布〔np=λ， n → ∞〕。
P(X = k) =
C n l = min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
P(X = k) = qk 1p, k = 1,2,3, … ，其中 p≥0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
二项分布 即 B(n,p)

泊松分布 即 P(入 )

超几何分布

几何分布
〔5〕
八大分布

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设随机变量X 的值只落在[a， b]内， 其密度函数f (x) 在[a， b]
1
上为常数 ，即
b - a

1
( 1
f (x) =〈b - a
| ,
|l0,

a≤x≤b
其他，

均匀分布
则称随机变量X 在[a， b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。 分布函数为
0，
x<a，
x - a
,
a≤x≤b
x>b。
b - a
F(x) = j x f (x)dx =
- 的
1，

当 a≤x <x ≤b 时， X 落在区间〔x1 , x2 〕内的概率为
1 2
P(x < X < x ) = x2 - x1 。
1 2 b - a
x > 0
x < 0
入 e-入x ,
,
f (x) =
,
0,
其中 入 > 0 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。
X 的分布函数为
指数分布

1 - e-入x ,
F (x) =
0,
记住积分公式：
+的
j xn e-x dx = n!
0

x > 0
,

x<0。

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设随机变量X 的密度函数为
x ，
f (x)
1 e
2
其中 、 0 为常数，则称随机变量X 服从参数为 、 的 正态分布或高斯〔Gauss〕分布，记为 X ~ N( , 2 )。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于x 对称的；
2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
2
假设 X ~ N( , 2 )，则 X 的分布函数为
F(x) x e 2 2 dt
1 (t )2
2
正态分布
参数 0、 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为 X ~ N (0,1) ，其密度函数记为
(x) 1 e x22
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1 e t2(2) dt。
2
(x) 是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x) ＝1- Φ(x) 且 Φ(0)＝ 1/2

如果 X ~ N( , 2 )，则 X ~ N (0,1)。

1 2
P(x X x ) x2 x1 。

〔6〕
分位数
下分位表： P(X )＝ ；

上分位表： P(X )＝ 。

已知 X 的分布列为
X x1, x2, … , xn , …
〔7〕
函数分布
离散型
P(X xi ) p1, p2, … , pn , …，
Y g(X ) 的分布列〔 y g(x ) 互不相等〕如下：
i i
Y g(x1), g(x2), … , g(xn), …
P(Y yi ) p1, p2, … , pn , … ，
假设有某些 g(xi ) 相等，则应将对应的 p i 相加作为 g(xi ) 的概
率。

1
如果二维随机向量 =〔X， Y〕的所有可能取值为至多可列

个有序对〔x,y〕，则称 为离散型随机向量。

设 =〔X， Y〕的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, …)，
i j
且事件{ = (xi , yj ) }的概率为 pij,,称
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2, …)
i j ij

为 =〔X， Y〕的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分
p
p
p
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1
连续型

先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) ＝P(g(X) ≤
X Y
y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。
Y

第三章 二维随机变量及其分布

布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
…
2
…
12
…
21
：

i1

：
这里 p 具有下面两个性质：
ij
〔1〕 p ≥0 〔i,j=1,2,…〕；
ij
〔2〕 p = 1.
ij
i j
y
j
p
1j

2j
：

p ij
：
…
…
…
：
…

：
〔1〕
联合分布
22
：
离散型
2
：
…
：
：
X
p
p
p
x
x
x
y
y
11
i
1
1

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对 于 二 维 随 机 向 量 飞 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数

f (x, y)(-w < x < +w,-w < y < +w)， 使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a<x<b,c<y<d} 有
P{(X , Y) = D} = jj f (x, y)dxdy,
连续型
D
则称飞 为连续型随机向量； 并称 f(x,y)为飞 =〔X， Y〕的分布
密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
(1) f(x,y) ≥0;
〔2〕 j+wj+w f (x, y)dxdy = 1.
-w -w
〔2〕
二 维 随 机 变 量 的 本 质
飞 (X = x , Y = y) = 飞 (X = x Y = y)

设〔X， Y〕为二维随机向量，对于任意实数 x,y,二元函数
F (x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}
称为二维随机向量〔X， Y〕的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函 数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{(O , O ) | -w < X (O ) 共 x,-w < Y(O ) 共 y} 的概率为函数值的一个实值函
1 2 1 2
数。联合分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
〔3〕
联 合 分 布 函数
〔1〕 0 共 F(x, y) 共 1;
〔2〕 F〔x,y〕分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F〔x ,y〕≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
2 1 2 1 2 1 2 1
〔3〕 F〔x,y〕分别对 x 和 y 是右连续的，即
F (x, y) = F (x + 0, y), F (x, y) = F (x, y + 0);

〔4〕 F (-w,-w) = F (-w, y) = F (x,-w) = 0, F (+w,+w) = 1.

〔5〕对于 x < x， y < y ，
1 2 1 2
F (x， y ) - F (x， y ) - F (x， y ) + F (x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1

1
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〔4〕 离 散 型 与 连 续 型 的 关系

〔5〕
边 缘 分 布 密度

〔6〕
条件分布

〔7〕
独立性


P(X = x， Y = y) P(x < X x + dx， y < Y y + dy) f (x， y)dxdy

离散型

连续型

离散型

连续型

一般型

离散型
X 的边缘分布为
P = P(X = x ) =
i• i
j
Y 的边缘分布为
P = P(Y = y ) =
• j j
i
X 的边缘分布密度为
p (i, j = 1,2, …)；
ij

p (i, j = 1,2, …)。
ij
f (x) = j+ f (x, y)dy；
X
Y 的边缘分布密度为
f (y) = j+ f (x, y)dx.
Y
在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为
i
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为
j
P(X = x | Y = y ) = ij ,
p
i j p • j
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f (x | y) = f (x, y) ；
f ( y)
Y
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为

f (y | x) =
f (x, y)
f (x)
X
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
= pi•p • j

p
ij
有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
X Y
直接判断，充要条件：
①联合概率密度函数可别离变量。
②正概率密度区间为矩形。

连续型

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二维正 态分布

随机变量 的函数

f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p (x1 )装(2y - 山2 ) + (||( y装(-)2(山)2 ))||2 ,
2爪装 装 1 - p 2
1 2
其中 山 , 山 装 > 0, 装 > 0, | p |< 1是 5 个参数
1 2, 1 2
假设 X ,X , …X ,X , …X 相互独立， h,g 为连续函数，则：
1 2 m m+1 n
h 〔X， X , …X 〕和 g 〔X , …X 〕相互独立。
1 2 m m+1 n
特例： 假设 X 与Y 独立，则： h 〔X〕和 g 〔Y〕独立。
例如：假设 X 与Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。

设随机向量〔X， Y〕的分布密度函数为
l
S1D f (x, y) =〈|0,



(x, y) = D

其他

其中 S 为区域 D 的面积，则称〔X， Y〕 服从 D 上的均匀分布，记为〔X， Y〕~
D
U 〔D〕。
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1

O

D
1
1


x

〔 8 〕二维 均匀分布


y
1

O

y
d

c
O a


D
2
2 x
1

D
3

b x

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1

〔9 〕二维 正态分布

〔10〕 关 于 随 机 变 量 的 函 数的分布

设随机向量〔X， Y〕的分布密度函数为
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 求(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( x1 )求(2y - 山2 ) + (||( y 求(-)2(山)2 ))||2 ,
2爪求 求 1 - p 2
1 2
其中 山 , 山 求 > 0, 求 > 0, | p |<1是 5 个参数，则称〔X， Y〕服从二维正态分
1 2, 1 2
布，
记为〔X， Y〕~N 〔 山 , 山 求 2 ,求 2 , p).
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式，可以推出 二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，
即 X~N 〔 山 ,求 2 ), Y ~ N(山 求 2 ).
1 1 2, 2
但是， 假设 X~N 〔 山 ,求 2 ), Y ~ N(山 求 2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2
根据定义计算： F (z) = P(Z 三 z) = P(X + Y 三 z)
Z

对于连续型， fZ(z) ＝ j f (x, z - x)dx
+w

Z=X+Y -w
两个独立的正态分布的和仍为正态分布〔 山 + 山 ,求 2 + 求 2 〕。
1 2 1 2
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
山 = x C 山 ， 求 2 = x C 2 求 2
i i i i
i i
假 设 X , X … X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
1 2 n
Z=max,min(
X1,X2, …Xn)
Fx1 (x)， Fx2 (x) … Fxn (x) ，则 Z=max, min(X 1,X2, …Xn)的分布
函数为：
F (x) = F (x) ·F (x) … F (x)
max x1 x2 xn
F (x) = 1 - [1 - F (x)] · [1 - F (x)] …[1 - F (x)]
min x1 x2 xn

X
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设