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概率论与数理统计 公式全2011-1-1第 1 章 随机事件及其概率11排 列 组 合 公式2加 法 和 乘 法原理3一 些 常 见 排列4随 机 试 验 和 随 机 事 件5基本领件、 样 本 空 间 和事件6事 件 的 关 系与运算m!m (m n)!P n = 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。m!m n!(m n)!C n = 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。加法原理两种方法均能完成此事： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理两个步骤分别不能完成这件事： mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。重复排列和非重复排列有序对立事件至少有一个顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本领件，用 来表示。基本领件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点基本领件 组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， 表示事件，它们是 的子集。 为必然事件， 为不可能事件。不可能事件 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， A 发生必有事件 B 发生： A 仁 B如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生： AnB，或者 AB。 A n B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。概率论与数理统计 公式全2011-1-17概 率 的 公 理化定 义8古典概型9几何概型10加法公式11减法公式12条件概率-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率： (AB) C=(AC) (BC) (AB) C=(AC) (BC)nw A = Uw Ai i德摩根率： i=1 i=1 A U B = A n B， A n B = A U B设业 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，假设 满足以下三个条件：1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件A1， A2 ，有P(|(Ai)| = P(Ai )常称为可列完全可加性。则称 P(A)为事件A 的概率。1 业 = o ,o o ，1 2 n2 P(o ) = P(o ) = P(o ) = 1 。1 2 n n设任一事件A ，它是由o ,o o 组成的，则有P(A)= P (o ) U (o ) U ( 1)U 2(o )m= P(o ) + P(o ) + + P(o )1 2 m 1 2 mm A所包含的基本事件数= =n 基本事件总数假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本 空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几 何概型。对任一事件 A，P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量长度、面积、体积 。L(业)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时， P(B )=1- P(B)P(AB)P(A)定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) = 。P(AB)P(A)概率论与数理统计 公式全2011-1-113乘法公式14独立性15全 概 率 公 式16贝 叶 斯 公 式 用 于 求 后验概率条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如： P(/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A /B)更一般地，对事件 A， A ，A ，假设 P(A A A )0，则有P(A A12 A )n = P(A )1 P(A | A )21 P(A | A A )312 P(An | A1A2 An 1)。两个事件的独立性1 2 n 1 2 n- 1设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)， 则称事件A、 B 是相互独立的。 假设事件A、 B 相互独立，且P(A) 0 ，则有P(B | A) = P(AB) = P(A)P(B) = P(B)P(A) P(A)假设事件A， B 相互独立， 则可得到A 与B， A 与B， A 与B 也都相互 独立。必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 A， B， C 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件 B1, B2 , , Bn 满足1B1, B2 , , Bn 两两互不相容， P(Bi ) 0(i = 1,2, , n)，A 仁Un Bi2 i=1 ，则有P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + + P(Bn )P(A | Bn )。设事件B1， B2 ， Bn 及A 满足1 B1， B2 ， Bn 两两互不相容， P(Bi) 0， i = 1， 2， n，A 仁Un B2 i=1 i ，且 P(A) 0，则P(B / A) = P(Bi )P(A/ Bi ) ， i=1， 2，n。i n P(B )P(A/ B )j jj =1此公式即为贝叶斯公式。P(B )， i = 1， 2， ， n， 通常叫先验概率。 P(B / A)，i = 1， 2， ， n，i 通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”i 的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。n概率论与数理统计 公式全2011-1-1我们作了n 次试验，且满足令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p = q ，用Pn(k) 表示n 重伯努利试验中A 出现k (0 k n) 次的概率，Pn (k ) = C k p k q nk k = 0,1,2, , n， 。17伯 努 利 概型1 离 散 型 随 机 变 量 的 分布律2 连 续 型 随 机 变 量 的 分布密度第二章 随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2, )且取各个值的概率，即事k件(X=X )的概率为kP(X=x )=p， k=1,2, ，k k则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：X | x1, x2 , , xk , P(X = xk ) p1, p2 , , pk , 。显然分布律应满足以下条件： pk = 1k = 1,2, 2 k =1 。，1 pk 0，设 F (x)是随机变量X 的分布函数，假设存在非负函数f (x) ，对任意实数x，有F(x) = jx f (x)dx ，则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：12f (x) 0,j+ f (x)dx = 1 ,3P(x 0， k = 0,1,2，k!则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X 几 (入) 或者 P(入 )。泊松分布是二项分布的极限分布np=， n 。P(X = k) = C n l = min(M , n)N随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。P(X = k) = qk 1p, k = 1,2,3, ，其中 p0， q=1-p。随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。二项分布 即 B(n,p)泊松分布 即 P(入 )超几何分布几何分布5八大分布概率论与数理统计 公式全2011-1-1设随机变量X 的值只落在a， b内， 其密度函数f (x) 在a， b1上为常数 ，即b - a1( 1f (x) =b - a| ,|l0,axb其他，均匀分布则称随机变量X 在a， b上服从均匀分布，记为 XU(a， b)。 分布函数为0，xb。b - aF(x) = j x f (x)dx =- 的1，当 ax x b 时， X 落在区间x1 , x2 内的概率为1 2P(x X 0x 0 ，则称随机变量 X 服从参数为入 的指数分布。X 的分布函数为指数分布1 - e-入x ,F (x) =0,记住积分公式：+的j xn e-x dx = n!0x 0,x0。概率论与数理统计 公式全2011-1-1设随机变量X 的密度函数为 x ，f (x) 1 e 2其中 、 0 为常数，则称随机变量X 服从参数为 、 的 正态分布或高斯Gauss分布，记为 X N( , 2 )。f (x) 具有如下性质：1 f (x) 的图形是关于x 对称的；2 当 x 时， f () 1 为最大值；2假设 X N( , 2 )，则 X 的分布函数为F(x) x e 2 2 dt1 (t )22 正态分布参数 0、 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为 X N (0,1) ，其密度函数记为(x) 1 e x222 ， x ，分布函数为(x) 1 e t2(2) dt。2(x) 是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1- (x) 且 (0) 1/2如果 X N( , 2 )，则 X N (0,1)。1 2 P(x X x ) x2 x1 。6分位数下分位表： P(X ) ；上分位表： P(X ) 。已知 X 的分布列为X x1, x2, , xn , 7函数分布离散型P(X xi ) p1, p2, , pn , ，Y g(X ) 的分布列 y g(x ) 互不相等如下：i iY g(x1), g(x2), , g(xn), P(Y yi ) p1, p2, , pn , ，假设有某些 g(xi ) 相等，则应将对应的 p i 相加作为 g(xi ) 的概率。1如果二维随机向量 =X， Y的所有可能取值为至多可列个有序对x,y，则称 为离散型随机向量。设 =X， Y的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, )，i j且事件 = (xi , yj ) 的概率为 pij,称P(X , Y) = (x , y ) = p (i, j = 1,2, )i j ij为 =X， Y的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分ppp概率论与数理统计 公式全2011-1-11连续型先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) P(g(X) X Yy)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。Y第三章 二维随机变量及其分布布有时也用下面的概率分布表来表示：Y21221：i1：这里 p 具有下面两个性质：ij1 p 0 i,j=1,2,；ij2 p = 1.iji jyjp1j2j：p ij：1联合分布22：离散型2：Xpppxxxyy11i11概率论与数理统计 公式全2011-1-1对 于 二 维 随 机 向 量 飞 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数f (x, y)(-w x +w,-w y +w)， 使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y) |axb,cyd 有P(X , Y) = D = jj f (x, y)dxdy,连续型D则称飞 为连续型随机向量； 并称 f(x,y)为飞 =X， Y的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y) 0;2 j+wj+w f (x, y)dxdy = 1.-w -w2二 维 随 机 变 量 的 本 质飞 (X = x , Y = y) = 飞 (X = x Y = y)设X， Y为二维随机向量，对于任意实数 x,y,二元函数F (x, y) = PX 共 x, Y 共 y称为二维随机向量X， Y的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函 数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件(O , O ) | -w X (O ) 共 x,-w x 时，有 Fx ,yF(x ,y);当 y y 时，有 F(x,y ) F(x,y );2 1 2 1 2 1 2 13 Fx,y分别对 x 和 y 是右连续的，即F (x, y) = F (x + 0, y), F (x, y) = F (x, y + 0);4 F (-w,-w) = F (-w, y) = F (x,-w) = 0, F (+w,+w) = 1.5对于 x x， y 0 .2 2 2 1 1 2 1 11概率论与数理统计 公式全2011-1-14 离 散 型 与 连 续 型 的 关系5边 缘 分 布 密度6条件分布7独立性P(X = x， Y = y) P(x X x + dx， y 0, 装 0, | p | 0, 求 0, | p |1是 5 个参数，则称X， Y服从二维正态分1 2, 1 2布，记为X， YN 山 , 山 求 2 ,求 2 , p).1 2, 1 2由边缘密度的计算公式，可以推出 二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，即 XN 山 ,求 2 ), Y N(山 求 2 ).1 1 2, 2但是， 假设 XN 山 ,求 2 ), Y N(山 求 2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。1 1 2, 2根据定义计算： F (z) = P(Z 三 z) = P(X + Y 三 z)Z对于连续型， fZ(z) j f (x, z - x)dx+wZ=X+Y -w两个独立的正态分布的和仍为正态分布 山 + 山 ,求 2 + 求 2 。1 2 1 2n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。山 = x C 山 ， 求 2 = x C 2 求 2i i i ii i假 设 X , X X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为1 2 nZ=max,min(X1,X2, Xn)Fx1 (x)， Fx2 (x) Fxn (x) ，则 Z=max, min(X 1,X2, Xn)的分布函数为：F (x) = F (x) F (x) F (x)max x1 x2 xnF (x) = 1 - 1 - F (x) 1 - F (x) 1 - F (x)min x1 x2 xnX概率论与数理统计 公式全2011-1-1设