经济数学基础复习讲义.doc

让你快乐学数学 答疑邮箱：gaoshu20080808@

经济数学基础
复习讲义

马 东

快乐数学工作室
二〇一〇年十二月

14
快乐数学工作室
经济数学基础复习讲义
例1　求的定义域
例2 求的定义域
例3 求的定义域
例4 求的定义域
练习：（1） （2） （3）
解：（1）∵表达式为整式，∴定义域为.
（2）∵，∴定义域为.
（3）∵≥0，∴定义域为.
例5　求．
解：
．
例6　求．
解：．
例7　求曲线在点的切线方程．
解：由导数的几何意义知：
所求切线方程为：，即；
例8　求在处的切线方程.
解：因为，且当时，，
因此，在处的切线方程为,
整理得
例9 求在处的切线方程.
解：因为，且当时，，因此 在处的切线方程为，整理得.
练习：求函数在处的切线方程.
，，．
例10 函数的复合过程是
例11 指出下列函数的复合过程.
（1） （2）
解：(1)由复合而成.
（2）由复合而成.
练习：指出函数的复合过程.
例12 求的导数
解：
例13 求的导数
解：

例14 的导数
解：．
例15 的导数
解：
例16 的导数
解：.
例17　求下列函数的导数
（1） ；（2）；（3）；
（4） ；（5） ；（6） ．
解：（1）幂函数用幂函数求导公式有
．
（2）．
（3）．
（4）
　　　　　　　　　　　　　　　　．
（5）

．
（6）
．
例18　求的导数
解：
练习　求的导数
例19 设，求.
解：先求导数，再代入。
例20 求的二阶和三阶导数.
解：

例21 设，求.
解：因为，
而且，所以.
例22　确定的单调区间.
解：（1）的定义域为，
（2），
令，解得，，
（3）列表：

－1

2

0

0

（4）所以，函数在及内单调增加，在内单调减少.
例22　确定函数的单调区间.
解：（1）的定义域为，
（2），令，解得（舍），，
（3）列表：

0

（4）所以，函数在内单调减少，在内单调增加.
例23　求的单调区间及极值。
解：（1）函数的定义域为
（2）令，解得驻点为，，
（3）列表

1

2

0

0

极大值2

极小值1

（4）所以，函数在处取得极大值2，在处取得极小值1。
例24 求函数的极值。
解：，令，得，
因为，所以在点处取得极大值，极大值为1，
因为，所以在点处取得极小值，极小值为0。
例25 求的极值。
解：，，
令得，而，定理3失效，需用定理2重新判定，
列表如下：

0

0

极小值3

所以函数在点处取得极小值3。
例26　求函数的极值.
解：，令，得，

因为，所以在点处取得极大值，极大值为1，
因为，所以在点处取得极小值，极小值为0.
例27　求曲线的凹凸区间及拐点.
解：（1）函数定义域为，
（2），
，
令，解得，，
（3）列表：

－1

1

0

0

拐点

拐点

（4）所以曲线在与内是凹的，在内是凸的，拐点为，.
例28　求曲线的凹凸区间及拐点.
解：（1）函数定义域为，
（2），
，
令，解得，
（3）列表：

2

0

拐点

（4）所以曲线在内是凸的，在内是凹的，拐点为.
例29　求曲线的凹凸区间及拐点.
解：（1）函数定义域为，
（2），
　，
令，解得，另外时，不存在，
（3）列表：

1

2

不存在

0

拐点

拐点

（4）所以曲线在及内是凸的，在内是凹的，拐点为，.
(1)或
(2)或
例30　求
解：

在逐项积分后，不必每一个积分结果都“”，只要在总的结果加一个即可．
例31 求
解：
例32　求
解：首先将被积函数化为和式，再求积分

．
例33　求
解：

例34　求
解：
练习：.
第一换元积分法（凑微分法）
例35　求
解：　　　　　

例36　求
解：　　　　　

例37　求
解：

例38　求
解：
例39　求
解：
例40　求
解：

例41　求
解：
例42　求
解：
第二换元积分法
例43　求下列不定积分
（1）；（2） ；
解：（1）为了去掉根式，可令，即，于是

注意：在最后的结果中，必须代入，把代回换成．
（2） 令即，则代入后，得

分部积分法
即：　　
例44　求
解：设，，则，，应用分部积分公式得

例45　求
解：令，，则，．

例46　求解：令，，则，．
于是　　．
定积分

公式（１）叫做牛顿－莱布尼茨公式.
例46利用函数在对称区间上的定积分计算公式求下列定积分.
（1） （2）
解：（1）令=，在上为奇函数，所以=0.
（2）令=，该函数在上是偶函数，所以
=.
例47 计算.
解：.
例48求下列定积分
（1） （2） （3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）

例49求积分：(1)　　(2)　　(3)(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
例50计算.
解：令，则，；当时，；当时，；则

例51 计算.
解：
.
例52计算.
解：.
例53计算.
解：
.
例54计算
解：

如图5-9所示，由上下两条曲线，（≥），及所围成的图形的面积为

图5-9
例55 求由，所围成图形的面积．
解：解方程组得交点(0，0)，(1，1)．确定积分变量为，积分区间为[0，1]．如图，所求图形的面积为
==．

经济应用
例56 某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.
解：由已知
利润函数
则，令，解出唯一驻点
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
且最大利润为
（元）
例57 设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
解：(1) 因为边际成本为
边际利润 = 14 – 2x
令，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.
例58 设某种产品的固定成本为9800元，边际成本为，其中为产量．求使平均成本最低的产量．
解：因为，成本函数
由 ，得
即
又平均成本为 ==
==
令=0，即=0，得=140，= -140（舍去），
=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实有使平均成本函数最低的点．所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低的产量为140个单位．
例59 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求： (1) 生产件该种产品的总成本和平均成本；(2) 售出件该种产品的总收入；(3) 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？
解：（1）生产件该种产品的总成本为；
平均成本为： ．
（2）售出件该种产品的总收入为： ．
（3）生产件该种产品的利润为：
= =
例60 生产某种产品台时的边际成本（元/台），固定成本500元，若已知边际收入为试求：
（1）获得最大利润时的产量；
（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？
解 （1）
= =
令，求得唯一驻点．因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000时，可使利润达到最大．
（2）在利润最大的基础上再增加100台，利润的改变量为

即利润将减少2500元．
例61 厂家生产一种产品的需求函数为（单位：件），而生产件该产品时的成本函数为（单位：元），问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？
例62 生产某产品的边际成本为（单位：万元／台），固定成本为万元，又已知该产品销售的收入函数为（单位：万元），问生产多少台该产品时获得的利润最大？最大利润是多少？
例63 生产某产品的成本函数为（单位：元，其中产量的单位：件），求：⑴当产量时的平均成本；⑵当产量为多少时平均成本最小？
例64　某商品的需求弹性为

求：(1)需求弹性函数．
(2)当时的需求弹性，并说明其经济意义．
(3)当时的需求弹性并说明其经济意义．
(4)当时的需求弹性并说明其经济意义．
解：由弹性定义：
(1)
(2)由于，所以时，该商品的需求缺乏弹性，此时价格上涨，需求量下降．
(3)由于，所以时，该商品具有单位弹性，此时价格上涨需求量下降．
(4)由于，所以时，该商品的需求富有弹性，此时若价格上涨，需求量下降．