高数综合练习题一.doc

高等数学综合练习题(一)
1、（总习题八）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格中。
（1）函数在点可微是函数在点连续且可导的充分条件。函数在点连续是函数在点可微的必要条件。
（2）在点的偏导数存在是在该点可微分的必要条件。
（3）的偏导数在点存在且连续是在该点可微分的充分条件。
（4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充分条件。
2、设函数在点处存在对的偏导数，则（B）
(A)
(B)
(C)
(D)
3、曲线上相应于的点处的切线方程是 [ A ]
(A) (B)
(C) (D)
4、求曲线在对应于处的切线方程.
解：当时，对应曲线上的点是
，
， 所以切线方程为：

5、求曲面在点处的切平面和法线方程.
解：
，，

所以切平面方程是：即：
法线方程为
6、求曲线，在点处的切线方程。
解：时

则切线方程为
7、曲线在点（0，1，1）处的一个切向量与轴正向夹角为锐角，则此向量与轴正向的夹角是
8、求下列函数的全微分
（1）.;
解：
（2）.;
解：
（3）.（）.
解：
两端分别对求导
所以
（4）
解：
（5）
解:
（6）
解：
9、设，而，；求.
解：
10、设，而，；求.
解：

11、设，求。
解：
对两端对分别求导得 -----------①
-----------②
对两端对分别求导得-------------③
------------④
①②联立求得
③④联立求得
带入

12、求下列函数的一阶偏导数
（1） ;
解：
（2） ;
解：
（3）
解：
（4）
解：
13、设 ，求，。
设 ，, 则 。

根据对称性
14、设具有连续的二阶偏导数，求.
解：

15、方程组确定隐函数，求
解：由方程组解得

16、函数是由方程确定，求
解：

17、求函数 的极值。
解： ，
令解得驻点 ，。
计算
（1）判定驻点 是否为极值点。

因为，所以不是驻点
同理判定为驻点
又因为 ，所以 是极大点。
其极值为
18、在曲面上求一点，使它到平面的距离最短
解：设曲面上点到平面距离为d，
则且
即
利用拉格朗日乘数法令

得唯一解
由实际问题知最小值存在，即为点
19、要造一个容积为的长方体有盖箱子，问选择怎样的尺寸才能使所用材料最少？（是常数）
解一（化为无条件极值）设箱子的长、宽、高分别为 ，则
表面积为 （1）
容量为 （2）
从（2）中解出代回（1）中
转化为求函数的极值
解二（用拉格朗日乘数法解）：设箱子的长、宽、高分别为 ，则
表面积为
容量为
设拉格朗日函数为

解得
代入式（4）中，得 。
20、积分区域，则二重积分化成先对后对的二次积分是
21、交换下列二次积分的次序：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
22、计算其中 是由，， 围成。
解：
23、利用极坐标求解
解：
24、计算，其中是圆环区域：（）；
解：令

25、计算，其中是由圆周、及直线、所围成的在第一象限的闭区域；
解：

26、计算，其中是由所围成的闭区域。
解：
27、（书例题）计算，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域。
解:在极坐标中，闭区域可以表示为

88、设，则 =
解：
29、计算
解：

30、计算下列三重积分：
（1），其中：；

（2），其中由不等式、所确定.
解：

（3），其中由曲面、围成的闭区域
解：

31、用二重积分求由曲线所围成的平面图形的面积。
解：
32、计算由曲面 ，，，， 所围成的立体的体积。
解一：根据二重积分的几何意义所求体积为

其中为在 坐标平面上，由 所围成。

解二：利用三重积分