一阶常微分方程初值问题的数值方法市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一阶常微分方程初值问题数值办法,-单步法,泰山学院信息科学技术系,第1页,第1页,一阶常微分方程初值问题普通形式是:,第2页,第2页,称,f(x,y),在区域,D,上对,y,满足,Lipschitz,条件是指:,第3页,第3页,利用,Picard,迫近容易证实:,Th1,若,f(x,y),在区域,D,上连续,且对,y,满足,Lipschitz,条件,则初值问题(1)在,a,b,上存在唯一连续可微解,y.,第4页,第4页,利用,Gronwall,不等式易证解连续依赖于初值条件:,第5页,第5页,一.Euler办法,第6页,第6页,局部截断误差,第7页,第7页,Euler办法局部截断误差,第8页,第8页,二.改进Euler办法,第9页,第9页,改进,Euler,办法局部截断误差,第10页,第10页,第11页,第11页,整体截断误差,第12页,第12页,第13页,第13页,第14页,第14页,8.1.2,一阶常微分方程初值问题,Runge-Kutta,办法,考虑一阶常微分方程初值问题,第15页,第15页,将区域,a,b,进行分划：,第16页,第16页,若,则,第17页,第17页,第18页,第18页,n,级显式,Runge-Kutta,办法,第19页,第19页,n,级显式,Runge-Kutta,办法,第20页,第20页,二级,Runge-Kutta,办法,取,n=2,记,第21页,第21页,由此得,第22页,第22页,另一方面,第23页,第23页,为使局部截断误差为,应取,第24页,第24页,改进,Euler,办法,取,第25页,第25页,中点办法,取,第26页,第26页,二阶,Heun,办法,取,第27页,第27页,n,级显式,Runge-Kutta,办法,第28页,第28页,二级,Runge-Kutta,办法,取,n=2,记,第29页,第29页,由此得,第30页,第30页,另一方面,第31页,第31页,为使局部截断误差为,应取,第32页,第32页,改进,Euler,办法,取,第33页,第33页,中点办法,取,第34页,第34页,二阶,Heun,办法,取,第35页,第35页,二级,Runge-Kutta,办法不超出二阶,记,则,第36页,第36页,因此局部截断误差只能达到,第37页,第37页,三级,Runge-Kutta,办法,取,n=3,第38页,第38页,记,第39页,第39页,第40页,第40页,又由于,第41页,第41页,因此要使局部截断误差为,O(h,4,)，,必须,第42页,第42页,Kutta,办法,取,第43页,第43页,三阶,Heun,办法,取,第44页,第44页,三级,Runge-Kutta,办法不超出三阶,完全类似于二级,Runge-Kutta,办法分析,将 和 都展开到 项 易证三级,Runge-Kutta,办法局部截断误差只能达到,第45页,第45页,四级R-K办法,取,n=4,第46页,第46页,第47页,第47页,典型,R-K,办法,局部截断误差为,O(h,5,),第48页,第48页,附注,二阶,Runge-Kutta,办法局部截断误差,只能达到,三阶,Runge-Kutta,办法局部截断误差,只能达到,四阶,Runge-Kutta,办法局部截断误差,只能达到,五阶,Runge-Kutta,办法局部截断误差,只能达到,第49页,第49页,