一阶微分方程的初等解法公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,一阶微分方程初等解法,第1页,第1页,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,第2页,第2页,一、变量分离方程求解,这样变量就“分离”开了.,第3页,第3页,定义1,形如,方程,称为,变量分离方程.,第4页,第4页,例：,分离变量:,两边积分:,第5页,第5页,注:,例1,求微分方程,所有解.,解:,积分得:,第6页,第6页,故方程所有解为:,第7页,第7页,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,例2,求微分方程,通解.,第8页,第8页,例3,求微分方程,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数定义有,第9页,第9页,即,故方程通解为,第10页,第10页,例4,解,:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题通解,因此所求特解为:,第11页,第11页,第12页,第12页,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,第13页,第13页,(I)形如,方程称为,齐次方程,求解办法:,第14页,第14页,例4,求解方程,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,第15页,第15页,两边积分得:,即,代入本来变量,得原方程通解为,第16页,第16页,例5,求下面初值问题解,解:,不妨设x0,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,第17页,第17页,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题解为,第18页,第18页,(II)形如,方程可通过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,第19页,第19页,这就是变量分离方程,第20页,第20页,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)情形,可化为变量分离方程求解.,第21页,第21页,解环节:,第22页,第22页,例6,求微分方程,通解.,解:,解方程组,第23页,第23页,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程通解为,第24页,第24页,注:上述解题办法和环节适合用于更普通方程类型.,另外,诸如,第25页,第25页,以及,例7,求微分方程,通解.,第26页,第26页,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,第27页,第27页,三、应用举例,例8、,雪球融化,设雪球在融化时体积改变率与表面积成百分比，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时半径为6cm，通过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球体积随时间改变关系。,解:,依据球体体积和表面积关系得,第28页,第28页,分离变量并积分得方程通解为,由初始条件得,代入得雪球体积随时间改变关系为,第29页,第29页,作业,P42,1(2)(4)(7)(8),1(5)(9),2(2)(3)(4)(6),第30页,第30页,