一麦克劳林Maclaurin公式市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,二、直接展开法,三、间接展开法,第五节 函数幂级数展开,第六模块 无穷级数,第1页,第1页,泰勒,(,Taylor,),公式,假如函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,有直到,(,n,+1),阶导数,，,则在这个领域内有下列公式:,一、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,第2页,第2页,其中,称为拉格朗日型余项.,式,称为,泰勒公式,.,就得到,第3页,第3页,式称为,麦克劳林公式,.,幂级数,我们称之为,麦克劳林级数,.,那么它是否以函数,f,(,x,)为和函数呢?,第4页,第4页,即,那么，级数 收敛于函数,f,(,x,)条件为,若令麦克劳林级数 前,n,+1 项和为,第5页,第5页,注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数,关系，,可知,于是，当,时，有,反之，若,必有,第6页,第6页,这表明，麦克劳林级数 以,f,(,x,)为和函数充要条件，,这样，我们就得到了函数,f,(,x,)幂级数展开式：,第7页,第7页,也表示了函数,幂级数展开式是唯一 .,它就是函数,f,(,x,)幂级数表示式.,幂级数:,称为,泰勒级数,.,第8页,第8页,利用麦克劳林公式将函数,f,(,x,),展开成幂级数,办法，称为直接展开法.,解,例,1,试将函数,f,(,x,)=e,x,展开成,x,幂级数.,能够,得到,二、直接展开法,第9页,第9页,因此我们能够得到幂级数,显然，这个幂级数收敛区间为(,+).,由于,第10页,第10页,注意到，对任一拟定,x,值，,而级数 是绝对收敛，,因此其普通项当,n,时，,因此，当,n,时,第11页,第11页,由此可知,因此有,e,),(,x,x,f,=,确实收敛于,这表明级数,第12页,第12页,解,于是能够得到幂级数,例,2,试将,第13页,第13页,且它收敛区间为,由于所给函数麦克劳林公式余项为,因此能够推知,第14页,第14页,因此得到,第15页,第15页,解,而,因此依据幂级数可逐项求导法则，,可得,例,3,试求函数,三、间接展开法,第16页,第16页,解,注意到,而函数,展开式由本章第四节例 1 可知,例,4,将函数,展开成,x,幂级数.,将上式两边同时积分,第17页,第17页,由于幂级数逐项积分后收敛半径不变，,因此，上式,右端级数收敛半径仍为,R,=1;,故收敛域为,1,x,1.,当,x,=1 时，该级数收敛.,而当,x,=,1 时该级,数发散，,第18页,第18页,解,由于,例,6,试将函数,x,幂级数.,展开成,第19页,第19页,因此,且,第20页,第20页,依据幂级数和运算法则，其收敛半径应取较小一个，,故,R,=1，,因此所得幂级数收敛区间为,1,x,0 时，,当,1,m,0 时，,收敛区间为(,1,1.,第27页,第27页,