三节空间曲线市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 空间曲线,3.1,空间曲线密切平面,3.2 空间曲线基本三棱形,3.3 空间曲线曲率、挠率和伏雷内公式,3.4 空间曲线在一点临近结构,3.5 空间曲线论基本定理,3.6 普通螺线,第1页,第1页,3.1 空间曲线密切平面,定义：过空间曲线上 点切线和 点邻近一点 可作一平面 ，当 点沿着曲线趋于 时，平面 极限位置 称为曲线在 点,密切平面,。,且把过 点与密切面垂直直线称为曲线在 点,副法线,。,思考：平面曲线密切面？,第2页,第2页,密切平面方程,设曲线 是 类曲线，上点 及其邻近一点 ，依据泰勒公式有：,其中 ，,由于切向量 及 都在平面 上，因此他们线性组合,也在平面 上，即 在平面 上，从而知,第3页,第3页,在所求密切面上。,当 时，就是所求密切面一个法向量，因此曲线 在 点密切面方程为,即,其中 表示 点密切平面上任一点向径。也能够用行列式表示：,第4页,第4页,假如曲线是平面曲线，那么它在每一点密切平面都是曲线所在平面。,反之，假如一条曲线密切平面固定，则曲线是平面曲线。,第5页,第5页,例：求螺线,上点 密切平面,例：求曲线,在点 密切面,第6页,第6页,命题：空间曲线 为平面曲线,充要条件是,第7页,第7页,3.2空间曲线基本三棱形,给出 类曲线 和 上一点 。设曲线 自然参数表示是,其中 是自然参数，则,是一单位向量，称为曲线 上 点,单位切向量,第8页,第8页,由于 ，由第一节命题可知,即,在 上取单位向量,称为曲线 上 点,主法向量,。,再作单位向量,称为曲线 上 点,副法向量,。,第9页,第9页,我们把两两正交单位向量 称为,曲线上 点,伏雷内标架,。,由 知伏雷内标架构成右手系。,第10页,第10页,由于 ，因此切向量和主法向量所拟定,平面就是曲线 在 点,密切平面,，又由于,和 都垂直于切向量 ，因此,和 所拟定平面是曲线上 点,法平,面,，和 所拟定平面则称为曲线,上 点,从切平面,第11页,第11页,方程分别为：,密切平面,或,法平面,或,从切平面,或,第12页,第12页,单位向量 称为曲线,基本向量,。,由三个基本向量和密切平面、法平面、从切,平面所够成图形称为曲线,基本三棱形,第13页,第13页,对于曲线 普通参数表示,有,第14页,第14页,3.3空间曲线论基本公式,定义：空间曲线 在 点,曲率,为,其中 为 点及其邻近点 间弧长，为,曲线在点 和 切向量夹角。,曲率刻画了曲线弯曲程度。,第15页,第15页,对于空间曲线，曲线不但弯曲并且还要扭转，因此有刻画曲线弯曲程度量挠率。,用副法向量（或密切平面）转动速度来刻画曲线扭转程度。,现在设曲线 上一点 自然参数为 ，另一邻近点 自然参数为 ，在 两点作曲线 副法向量 和 ，此两个副法向量夹角是,由第一节命题知（P11）,几何意义是它数值为曲线副法向量对于弧长旋转速度。,第16页,第16页,定义：曲线 在 点挠率为,挠率绝对值是曲线副法向量（或密切平面）对于弧长旋转速度。,第17页,第17页,空间曲线伏雷内公式,第18页,第18页,这组公式是空间曲线论基本公式。它特点是基本向量 关于弧长 微商能够用,线性组合来表示。系数构成反称方阵,第19页,第19页,曲率和挠率普通参数表示式,给出 类空间曲线,曲率普通参数表示式,普通参数表示挠率计算公式,第20页,第20页,空间曲线 在一点密切圆（曲率圆）是过曲线 上一点 主法线正侧取线段,使 长为 。以 为圆心，以 为半,径在密切平面上拟定一个圆，这个圆称为曲线 在 点,密切圆（曲率圆），,曲率圆中心称为,曲率中心,，曲率圆半径称为,曲率半径,。,第21页,第21页,P42 例 求圆柱螺线,曲率和挠率。,例 证实曲率恒等于零曲线是直线。,例 证实挠率恒等于零曲线是平面曲线。,第22页,第22页,练习：1.求半径为 圆曲率。,2.利用基本公式求曲线,基本向量、曲率、挠率。,3.设曲线 挠率 曲率,曲率半径为 则 在以原点为中心 球面上充要条件是,第23页,第23页,3.4空间曲线在一点邻近结构,我们研究空间曲线在一点临近形状。,在 类曲线 上取一点 ，为了研究点,临近形状，在它临近再取一点,利用泰勒公式有,其中,第24页,第24页,由于,因此,其中,而,等表示在点 值。,第25页,第25页,由上式可得,在 每一个分量中只取第一项，则有,第26页,第26页,现在取 为新坐标系，并取,为计算弧长始点，则有 ，假如,为曲线上点 临近点新坐标，则有,第27页,第27页,它能够看作在 点邻近，曲线 近似方程。由此看出，曲线在某点曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近近似形状。,第28页,第28页,下面我们通过曲线在基本三棱形三个平面上投影来观测曲线在一点邻近形状。,第29页,第29页,近似曲线在法平面 上投影是,消去参数 后有,它是半立方抛物线,第30页,第30页,曲线在从切平面 上投影是,消去参数 后，有,它是立方抛物线,第31页,第31页,曲线在密切平面 上投影是,它是抛物线,第32页,第32页,通过画出以上三个投影立体图形就能够看出空间曲线在一点邻近近似形状。,从以上分析能够看出：,1.曲线穿过法平面和密切平面，但不穿过从切平面。,2.主法向量总是指向曲线凹入方向，这就是主法向量正向真正意义。,3.当 时，曲线在 附近是右旋；当,时，曲线在 附近是左旋，这就是挠率几何意义。,第33页,第33页,3.5空间曲线论基本定理,曲线每一点都有拟定曲率和挠率，假如以弧长为参数，则有,这两个关系式只与曲线本身相关，而与曲,线刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我们把 称为空间曲线,自然方程,。,第34页,第34页,空间曲线论基本定理：,给出闭区间 上两个连续函数 ，则除了空间位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，使得参数 是曲线自然参数，并且 和 分别为曲线曲率和挠率，即曲线自然方程为,第35页,第35页,为了拟定曲线位置，设 时，曲线相应空间 点（即 ），并且在该点基本向量为给定两两正交右手系单位向量,第36页,第36页,证实,（1）,以 和 为系数建立微分方程组,（1.23）,依据微分方程组解存在定理，此方程对于初始条件 时,有唯一一组解：,第37页,第37页,这是以 为端点曲线。,下证,是两两正交右手系单位向量,第38页,第38页,（2）再作微分方程组：,第39页,第39页,利用（1.23），则上述微分方程组可成为,（1.24）,第40页,第40页,由已知条件 在 连续；时,是两两正交右手系单位向量，即,依据微分方程组解存在定理，存在唯一一组解。但是当,（1.25）,时方程组（1.24）被满足，因此它们是（1.24）一组解。,第41页,第41页,由上述（1.25）可知 是两两正交单位向量。于是有,但是混合积 是 连续函数，由于当,时它等于+1，因此对于所有 都为+1，即 成右手系。,由此得出 是两两正交构成右手系单位向量。,第42页,第42页,（3）由于已得到 ，把（1.23）中第一个式,子两端积分，利用初始条件 即得曲线,方程,（1.26）,（4）由于 因此弧长,即 若取 则得,为曲线自然参数,第43页,第43页,（5）由 可知 为曲线切向量，,再由 ，可得 为,曲线曲率。有（1.23）中第二式可知 是,所求曲线主法向量。再依据（2），是曲线,副法向量。因此 是曲线基本向量。,第44页,第44页,（6）曲线挠率为,由以上可见，由方程（1.26）所拟定曲线是以,为自然参数，为曲率，为挠率曲线。,第45页,第45页,现在证实唯一性,设 和 是两条曲线，它们在相应点 有相同曲率 和挠率 ，通过适当刚体运动，能够使曲线 和 在相应于自然数为 点连,同在这点基本三棱形相重叠。,我们设 和 为分别相应于曲线 和 基本向量。两组向量函数,和 都是方程组（1.23）解，并且这些解含有相同初始条件，依据微分方程论解存在定理，这两组解是完全相同。尤其是,即 ，积分后得,第46页,第46页,但是 ，于是有 ，因此得到,因此，曲线 与 重叠，这就是说，曲线,和 在空间只有位置差别,依据上述定理，曲线除了在空间中位置外，由,它自然方程,唯一拟定。,第47页,第47页,