高考二轮专题复习——函数与导数.doc

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2025-2-10
高考二轮专题复习——函数与导数㈠
一、重点知识回顾
1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．
2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
二、典例精析
热点考向一：函数的性质
1、（2011江西改）若f (x)＝，则f (x)的定义域为（ ）
解：由，解得，故－＜x＜0，答案为（－，0）．
说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质．
2、（08福建）函数，若,则的值为 （ ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
解：为奇函数，又
故即.
3．(2011全国新课标理)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A B C D
4、(2011江苏)函数的单调增区间是__________
5．(09山东)已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
6、（2011全国)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=( )[来源:学.科.
A.- B. C. D.
7、（2010江苏）设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)（x∈R）是偶函数，则实数a＝_______．
解：由g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，得g(0)＝0，解得a=－1；也可以由奇函数的定义解得．
说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f(0)＝0是定义域包含0的函数f(x)是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法．
8、若函数f(x)＝（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值是_______．答案：±1．
9、（2011全国）函数y＝2(x≥0)的反函数为(　　)
A．y＝(x∈R) B．y＝(x≥0) C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)
解：由y＝2得x＝，∵x≥0，∴y≥0，则函数的反函数为y＝(x≥0)．故选B.
10.（2011湖北）已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若
g(2)＝a，则f(2)＝(　　)
A．2 B. C. D．a2
11、设 ，又记则 （ ）
A．； B．； C．； D．；
解：本题考查周期函数的运算。，
，据此，，，因为型，故选.
点评：本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、
归纳，要有从特殊到一般的思想。
12、（08广东）设，函数，，，试讨论函数的单调性．
解：
对于，当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
点评：在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。
13、[2011安徽课标理] 设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
【解析】 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力．
解： 对f(x)求导得f′(x)＝ex.①
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知

x

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0＜a≤1.
14、 [2011北京课标理卷] 已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间； (2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x2－k2)e. 令f′(x)＝0，得x＝±k.
当k＞0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

4k2e－1

0

所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k＜0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)

0

4k2e－1

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e＞，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.
所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤，等价于f(－k)＝≤.
解得－≤k＜0. 故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是

基本策略：
1．基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，因此应该对一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等）的图象与性质非常熟悉．掌握一些最基本的复合函数理论及图象变换的相关知识，能将比较复杂的函数化归为一些基本初等函数进行性质的研究．
2．应熟练掌握函数常见性质的判别和证明的基本方法和步骤．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用，证明函数具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可．要了解函数的奇偶性与单调性的联系．
3．对函数性质的考查，主要有两类问题，一类是判断函数是否具有某种性质，一类是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等．
对于第二类问题，函数性质常常有两种呈现方式：（1）直接呈现；（2）隐含在具体函数之中．有些时候，直接呈现函数性质时，可能有不同的表述形式．下面两个问题中两种不同的表述都是在呈现单调性．
有时还可能用类似于“f(x)＋x f'(x)＜0”的条件，给出了函数y＝x f(x)的单调性．
4．研究函数性质时，必需学会从“数”和“形”两个角度加以考虑，特别是“形”，掌握函数图象是学好函数性质的关键．
热点考向二：函数的图象及其变换
1. [2011陕西] 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是(　　)

解：由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.
2、函数的图象是

3. [2011四川] 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的反函数的图象大致是(　　)

解：当x>0时，由y＝x＋1可得其反函数为y＝log(x－1)(1<x<2)，根据图象可判断选择答案A，另外对于本题可采用特殊点排除法．
4. [2011·安徽卷] 函数f(x)＝axn(1－x)2在区间[0,1]上的图像如图所示，
则n可能是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由函数图像可知a>0.当n＝1时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，
f′(x)＝a(3x－1)(x－1)，所以函数的极大值点为x＝<0.5，故A可能；
当n＝2时，函数f(x)＝ax2(1－x)2＝a(x2－2x3＋x4)，f′(x)＝a(2x－6x2＋4x3)＝ 2ax(2x－1)(x－1)，函数的极大值点为x＝，故B错误；
当n＝3时，f(x)＝ax3(1－x)2＝a(x5－2x4＋x3)，f′(x)＝ax2(5x2－8x＋3)＝ax2(5x－3)(x－1)，函数的极大值点为x＝>0.5，故C错误；
当n＝4时，f(x)＝ax4(1－x)2＝a(x6－2x5＋x4)，f′(x)＝a(6x5－10x4＋4x3)＝2ax3(3x－2)(x－1)，函数的极大值点为x＝>0.5，故D错误．
5. [2011·山东] 函数y＝－2sinx的图象大致是(　　)

解：由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)为奇函数，所以排除A；又f′(x)＝－2cosx，当x在x轴右侧，趋向0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝－2cos2π＝－＜0，所以x＝2π应在函数的减区间上，所以选C.

6．已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
解：因为定义在R上的奇函数，满足
，所以，
所以, 由为奇函数，所以函数图象关于
直线对称且，由
知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以．
点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.

7、设a(0＜a＜1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f()＝0，f(logat)＞0，则t的取值范围是________．
解：因为f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在区间(－∞，0)上也是增函数．
画出函数f(x)的草图．
由图得－＜logat＜0或logat＞，解得tÎ(0，) ∪(1，)．

说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体
性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查．
2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现．
8、（2010年江苏卷）已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是 ．
解：画出函数f(x)的图象，根据单调性，得，解得 x∈(－1，－1)．
说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f(1－x2)＞f(2x)具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用．
三、能力提升
1. [2011·天津] 对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，
若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪
C. ∪ D. ∪
f(x)＝
则f的图象如图
∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，
由图象知c≤－2，或－1<c<－.
2、奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上f(x)的函数解析式是(　　)
A．f(x)＝－x(1－x)　　　B．f(x)＝x(1＋x) C．f(x)＝－x(1＋x)　　　D．f(x)＝x(x－1)
3、 [2011·辽宁卷] 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解： 当x≤1时，f(x)≤2化为21－x≤2，解得0≤x≤1；
当x>1时，f(x)＝1－log2x<1<2恒成立，故x的取值范围是[0，＋∞)，故选D.

4、（2010山东）函数的图像大致是( )

5、已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图1所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)

6、设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为___________________．
答案：f(a＋1)＞f(b＋2)．

7、已知f(x)＝ax＋b，对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，则实数a的取值范围为___________________．
8、 [2011·浙江] 设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.
(1)求f(x)的单调区间； (2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x＞0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要

红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 电话：[phone]
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