电动力学电动力学二五(格林函数).ppt

第五节第五节 格林函数格林函数1如何借助于有关点电荷的较如何借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂简单的边值问题解决较复杂的边值问题。的边值问题。为此，我们先说明点电荷密度的数学表示，为此，我们先说明点电荷密度的数学表示，然后利用格林公式把一般边值问题和有关点然后利用格林公式把一般边值问题和有关点电荷的相应问题联系起来。电荷的相应问题联系起来。本节研究的问题：本节研究的问题：2给定给定V内电荷分布内电荷分布和和V的边界的边界S上各点的电势上各点的电势|s 给定给定V内电荷分布内电荷分布和电场法向分和电场法向分量量/n|s 第一类边值问题第一类边值问题：第二类边值问题第二类边值问题：3一、点电荷密度的一、点电荷密度的 函数表示函数表示 函数函数定义定义处于处于x点上的单位点上的单位点电荷的密度用函点电荷的密度用函数数(xx)表示表示则有则有4 函数有如下重要性质：函数有如下重要性质：同样，若同样，若V包括包括x点在内，而点在内，而f(x)在在x=x点点附近连续，由附近连续，由 函数定义可推出函数定义可推出若若f(x)为在原点为在原点附近的连续函数，附近的连续函数，V包括原点在内，包括原点在内，有有5二、格林函数二、格林函数一个处于一个处于x点上的单位点电荷所激发点上的单位点电荷所激发的电势满泊松方程及边界条件的电势满泊松方程及边界条件 泊松方程的解第一类边值问题的格林函数泊松方程的解第一类边值问题的格林函数6一个处于一个处于x点上的单位点电荷所激发点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程的电势满足泊松方程 第二类边值问题的格林函数第二类边值问题的格林函数7格林函数所满足的微分方程格林函数所满足的微分方程上节中我们实际上已求出一些上节中我们实际上已求出一些区域的格林函数。现列举几种区域的格林函数。现列举几种区域的格林函数为例。区域的格林函数为例。8（1）无界空间的格林函数。）无界空间的格林函数。在在x点上一个单位点电荷在无界空间中点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为激发的电势为因此，无界空间的格林函数为因此，无界空间的格林函数为9（2）上半空间的格林函数。）上半空间的格林函数。当当Q1时，由上节例时，由上节例1可得上半空间第一可得上半空间第一类边值问题的格林函数。类边值问题的格林函数。以导体平面上任一点为坐标原点，设点电以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在点的坐标为荷所在点的坐标为(x,y,z,)，场点场点坐标为坐标为(x,y,z)，上半空间格林函数为上半空间格林函数为 10（3）球外空间的格林函数。）球外空间的格林函数。当当Q1时，由上节例时，由上节例2可可得球外空间的格林函数。得球外空间的格林函数。11以球心以球心O为坐标原点。为坐标原点。设电荷所在点设电荷所在点P的坐标的坐标为为R，场点场点P的坐标为的坐标为P上节例上节例2中中a对应于对应于R，b对应于对应于R02/R，镜象电荷镜象电荷所在点的坐标为所在点的坐标为12作一定代换后，作一定代换后，球外空间格林函球外空间格林函数为数为13三、格林公式和边值问题的解三、格林公式和边值问题的解先考虑第一类边值问题先考虑第一类边值问题，设，设V内有电荷分内有电荷分布布，边界边界S上给定电势上给定电势|s，求，求V内的电势内的电势(x)。设区域内有两个函数设区域内有两个函数(x)和和 (x)，有格林公式有格林公式 14取取(x)满足泊松方程满足泊松方程 取取(x)为格林函数为格林函数G(x,x)，将，将x与与x互换，互换，则有则有 15在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件所以第一类边值问题的解为所以第一类边值问题的解为由这公式，只要知道格林函数由这公式，只要知道格林函数G(x,x)，在给定边界在给定边界上的上的|s值情形下就可算出区域内的值情形下就可算出区域内的(x)，因而第一因而第一类边值问题完全解决。类边值问题完全解决。16对第二类边值问题，由于对第二类边值问题，由于G(x,x)是点上单位点电荷是点上单位点电荷所产生的电势，其电场通所产生的电势，其电场通量在边界面量在边界面S上应等于上应等于1/0，即，即 满足上式的最简单的满足上式的最简单的边界条件是边界条件是第二类边值问题的解第二类边值问题的解其中其中s是电势在界面是电势在界面S上的平均值。上的平均值。17例例 在无穷大导体平面上有半径为在无穷大导体平面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内电势为环绝缘。设圆内电势为V0，导体板导体板其余部分电势为其余部分电势为0，求上半空间的电，求上半空间的电势。势。18以圆心为柱坐标系原点，以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板轴与平板垂直，垂直，R为空间点到为空间点到z轴的距离。上轴的距离。上半空间的格林函数用柱坐标表出为半空间的格林函数用柱坐标表出为 解解19因为在上半空间因为在上半空间0，因此这问题是因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。拉普拉斯方程第一类边值问题。上半空间的电势为上半空间的电势为 先计算格林函数的法向导数先计算格林函数的法向导数 20由于由于S上只有圆内部分电势不为零，所上只有圆内部分电势不为零，所以只需对以只需对r a积分积分 当当R2+z2a2时，可以把被积函数展开，得时，可以把被积函数展开，得21