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测 量 不 确 定 度

（基础知识讲座）

目 录
第一章 引言………………………………………………1
一、正确表述测量确定度的意义………………………1
二、“GUM”的由来……………………………………1
第二章 测量不确定度的基本概念………………………2
一、概率统计……………………………………………2
二、测量不确定度的基本概念…………………………5
三、测量不确定度的来源………………………………6
四、测量不确定度的分类………………………………8
第三章 测量不确定度与误差的区别……………………9
第四章 测量不确定度的评定方法………………………9
一、标准不确定度的评定………………………………9
二、合成标准不确定度的确定………………………11
三、扩展不确定度的确定……………………………13
第五章 报告测量结果不确定度的方法………………14
一、何时用合成标准不确定度…………………………14
二、何时用扩展不确定度………………………………14
三、结果的表达方法……………………………………14
四、注意事项……………………………………………15
五、评定测量不确定度的步骤…………………………16
第一章 引言
一、正确表述测量不确定度的意义
测量是在科学技术、工农业生产、国内外贸、工程项目以至日常生活的各个领域中不可缺少的一项工作，测量的目的是确定被测量的量值。测量的质量会直接影响到国家和企业，如果我们出口货物，由于秤重不准，多了就白送给外商，少了就要赔款，都会造成很大损失。测量的质量也时科学实验成败的重要因素。如果对卫星的重量测量偏低，就可能导致卫星发射因推力不足而失败。测量的质量也会影响人身的健康和安全，在用激光治疗时，若对剂量测量不准，剂量太小达不到治病的目的，剂量太大会造成对人体的伤害。测量结果和由测量的得出的结论还可能成为决策的重要依据。因此，当报告测量结果时，必须对测量结果的质量给出定量说明，在确定测量结果的可信程度。
测量不确定度与测量误差之间的联系，因为在任何测量中误差始终存在着。如果一切测量结果都是真值，那么就没有误差的存在，没有误差，就没有误差的分散，也就没有估计分散的标准差，当然就不会由如今的测量不确定度了。但需注意，它们是不同的两个概念，不能等同，不能混淆，两者在计量学中个有其确切的定义（后面我们将进行详细的介绍）。
测量不确定度就是对测量结果的质量的定量评定。
测量结果是否有用，在很大程度上取决于其不确定度的大小，所以测量结果必须有不确定度说明时，才是完整和有意义的。
测量不确定度表示方法的统一是国际贸易和技术交流不可缺少的，它可使各国进行的测量和得到结果进行相互比对，取得相互的承认或共识。
根据GB/T15481－2000idtISO/IEC17025：1999《检测和校准实验室能力的通用要求》或CNAL/AC01：2002《检测和校准实验室认可准则（ISO/IEC17025：1999）》中5.4.6.2.条款的规定“检测实验室应具有并应用评定测量不确定度的程序”。而且在CNAL/AC11：2002》《测量不确定度政策》5.4条款中明确规定：“检测实验室应有能力对每一项有数值要求的测量结果进行测量不确定度评定”。
二、“GUM”的由来
《测量不确定度表示导则》（Guide to Expression of uncertainty in measurement）简称“GUM”其由来已久（实际上四百年前就有人提出了测量不确定度）。
1963年，美国国家标准局（NBS）的Eisenhart建议用测量不确定度。
1977年，国际电离辐射咨询委员会（CCEMRI）讨论了表达不确定度的几种不同建议。
1978年，国际计量局（CIPM）着手统一测量不确定度的说明。
1993年，国际标准化组织（ISO）正式发布了《测量不确定度表示导则》，由七个国际组织（ISO、IEC、OIML、CIPM、IFCC、IUPAC、IUPAP）联合起草，澄清了模糊概念，统一了评定方法和表示方法。

第二章 测量不确定度基本概念
一、概念统计
1、 概率与概率分布
概率：某一随机事件在试验重出现可能性大小的一个度量。
置信水平：测量值落在△x区间内的概率。
概率分布：测量结果的值和该值出现的概率之间的结应关系。
概率密度函数P（x）：当△x→0时测量值落在（x0、x0+△x）区间的概率与△x之比的极限。

若已知某个量的概率密度函数，则测量值落在区间（x0,x0+△x）内的概率P可用下式计算
P（x0<x<x0+△x）＝x0+△x[∫P（x）dx]x0
由此可见，概率P是区间（x0、x0+△x）在概率密度曲线下包含的面积。当P＝0.9，表明测量值有90％的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布总面积的90％，所以P称为置信水平，区间（x0、x0+△x）称为置信区间。
2、期望、方差和标准偏差

数学期望：随机变量的统计平均值，简称期望。
期望是理想的被测量的值，因为不可能进行无限次测量，也不可能没有测量误差，因此不可能通过测量获得真值。
方差：无穷多次测量的测得值的误差平方的算术平均值，用б2表示。

标准偏差：简称标准差，是方差的正平方根，用σ2表示。

σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散，所有常用标准偏差来表征测量值的分散程度。
期望的最佳估计值－算术平均值：在相同条件下对被测量χ进行有限次独立重复测量得到的测量列χ1、χ2、…χ3，则算术平均值为

有限次测量时标准偏差的估计值（实验标准偏差）：用有限次测量的数据估计得到的测量值的估计标准偏差称为实验标准偏差，用S表示

式中， n……次测量的算术平均值
χi－ ……残差
n－1…… 自由度
算术平均值的标准偏差：若单次测量值的估计标准偏差为S（x），则算术平均值的估计标准偏差为

由此可见，有限次测量的算术平均值随测量次数增加而分散性减小，而测量次数的增加意味着测量时间和测量成本的增长。一般情况下，n取4～20次。
3、几种概率分布
（1）、正态分布
k=1, p＝68.27％
k=2, p=95.45％
k=2.576, p=99％
k=3, p=99.73％
（2）、均匀分布
当用a表示均匀分布的半宽度时，其标

（3）、三角分布
三角分布的标准偏差为

（4）、反正弦分布
反正弦分布的标准偏差为

（5）、t分布
4、协方差和相关系数
相关：两个随机变量，其中一个量的变化会导致另一个量的变化。
例如：使用的工具对结果产生的影响
协方差：两个随机变量X和Y，各自的误差之积的期望。
V（X、Y）＝E[（x-μx）（y-μy）]
相关系数：Q（X、Y）=
注：在计算中，分别对自变量进行求导。
相关系数的估计：r（X、Y）＝
二、测量不确定度的基本概念
1、测量不确定度的定义[JJF1001-1998 给出的不确定度的定义]
定义：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数，
注：定义描述了测量结果正确性的可疑程度和不肯定程度，测量的水平和质量用测量不确定度来评价，不确定度越小，则测量结果的可疑程度越小，可信程度越大，测量结果的质量越高，水平越高，价值更大。
说明：（1）此参数可以是标准偏差（或其倍数）或说明了置信水平的区间的半宽度。
（2）此参数一般由多个分量组成。其中一些分量可用一般测量结果的统计布评定，以实验标准偏差表征；另一些分量由基于经验或其他信息假定的概率分布评定，也可用标准偏差表征。
（3）所有的不确定度分量，包括由系统影响产生的分量，如一些修正和参数标准有关的分量，均对分散性有贡献。
（4）仪器的测量不确定度是给定测量条件下所得的测量结果密切相关，因此应指明测量条件，也可以泛指需用测量条件下所得的测量结果的不确定度。
（5）完整的测量结果应包含被测量值的估计及其分散性参数两部分。
2、描述测量结果的有关术语
（1）测量误差 [JJF1001-1998]
测量结果减去被测量的真值。
注：由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。
（2）随机误差
在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
注：a 随机误差减去系统误差，
b因为测量只能进行有限次，故可能确定的只是随机误差的估计值。
（3）系统误差system error[JJF100-1998]
在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
注：a如真值一样，系统误差及其原因不能完全获知。
b对测量仪器而言，就是“偏移”。
设：X0…真值，μ…期望，Xi…测量结果，Xs…测定标准给出值
则 测量误差 △＝Xi-X0
随机误差 △r＝Xi-μ
系统误差 △S＝μ-X0
由于X0，μ不能确定，误差是理想条件下的概念。
系统误差估计值：μ-Xs
修正值：C＝Xs-μ
已修正测量结果 ：Xc＝μ+C
Xs,C和Xc均具有不确定度。
（4）测量准确度 [JJF1001-1998]
测量结果与被测量真值之间的一致程度。
注：a 准确度是一个定性的概念。
B 不要用精密度表示准确度。
（5）测量精密度 [JJF1001-1998]
在规定条件获得的各独立测量值之间的一致程度。
注：测量精密度是定性概念的术语，定量表示时可用测量结果的重复性和复现性。
（6）测量结果的重复性 [JJF1001-1998]
在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
（7）测量结果的复现性 [JJF1001-1998]
在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。
注：测量条件的改变包括，人员、环境条件、测量方法以及所使用的工具等等。
3、测量误差与测量不确定度的区别
测量误差与测量不确定度的区别将在第三章中进行详细介绍。
三、测量不确定度的来源
测量过程中有许多可能引起不确定度的来源，包括以下方面：
1、被测量的定义不完整
例：定义被测量是一根标称值为1m长的钢棒的长度，若要求测准到微米级，则该被测量的定义就不完整，因为被测量受温度和压力的影响已比较明显。完整的定义为：标称值为1m的钢棒在25.00℃和101325Pa时的长度。
2、被测量的定义值的实现不理想，即方法。
如上例中，对完整的定义的被测量，由于测量时温度和压力实际上达不到定义的要求，使测量结果引入不确定度。
3、被测量的样本不能完全代表定义的被测量
例：取某材料的一部分样本进行测量，由于材料的均匀性使得样本不能完全代表定义的被测量，由样本引入不确定度。
4、对环境条件的影响认识不足或环境条件的不完善测量
仍以钢棒的长度为例，不光温度和压力有影响，实际上湿度和支撑方式都有影响，若认识不早点，没采措施，就引起不确定度。
5、人员对模拟式（例如指针式工具）仪器的读数偏差
6、测量仪器的分辨力或鉴别域的限制
7、测量标准和标准物质的给定值或标定值不准确
8、数据处理时所引用的常数和其他参数不准确
9、测量方法、测量系统和测量程序引起的不确定度
例：被测量表达式的近似和假设，自动测试程序的内部数据处理程度，测量系统的不完善等。
10、同一条件下，被测量的各种随机影响和变化。
11、修正系统误差的不完善
12、不明显的粗大误差
四、测量不确定度的分类
测量结果的不确定度一般包含若干个分量，根据其数值评定方法的不同分为两类：
A类：由观测列统计分析所作评定的不确定度。用实验标准偏差表征。
B类：由不同于观测列统计分析所作评定的不确定度。用经验或资料及假设的概率分布估计的标准偏差表征。
测量不确定度在使用中根据表示的方式不同有三种不同的术语：
① 标准不确定度
② 合成不确定度
③ 扩展不确定度。
标准不确定度：测量结果的不确定度用标准偏差表示。
合成不确定度：测量结果的标准不确定度是各不确定度分量的合成得到的。
扩展不确定度：为了提高置信水平，用包含因子k乘合成标准不确定度得到的一个区间来表示的测量不确定度。

第三章 测量不确定度与误差的区别

测量不确定度表征被测量的真值所处量值范围的评定。它按某一置信概率给出真值可能落入的区间。它可以是标准差或其倍数，或是说明了置信水准的区间的半宽。它不是具体的真误差，它只是以参数形式定量表示了无法修正的那部分误差范围。它来源于偶然效应和系统效应的不完善修正，是用于表征合理赋予的被测量值的分散性参数。不确定度按其获得方法分为A、B两类评定分量。A类评定分量是通过观测列统计分析作出的不确定度评定，B类评定分量是依据经验或其他信息进行估计，并假定存在近似的“标准偏差”所表征的不确定度分量。
误差多数情况下是指测量误差，它的传统定义是测量结果与被测量真值之差。通常可分为两类：系统误差和偶然误差。误差是客观存在的，它应该是一个确定的值，但由于在绝大多数情况下，真值是不知道的，所以真误差也无法准确知道。我们只是在特定的条件下寻求最佳的真值近似值，并称之为约定真值。
通过对概念的理解，我们可以看出测量不确定度与测量误差的主要有以下几方面区别：
一.评定目的的区别：
测量不确定度为的是表明被测量值的分散性；
测量误差为的是表明测量结果偏离真值的程度。
二.评定结果的区别：
测量不确定度是无符号的参数，用标准差或标准差的倍数或置信区间的半宽表示，由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，可以通过A，B两类评定方法定量确定；
测量误差为有正号或负号的量值，其值为测量结果减去被测量的真值，由于真值未知，往往不能准确得到，当用约定真值代替真值时，只可得到其估计值。
三.影响因素的区别：
测量不确定度由人们经过分析和评定得到，因而与人们对被测量、影响量及测量过程的认识有关；
测量误差是客观存在的，不受外界因素的影响，不以人的认识程度而改变；
因此，在进行不确定度分析时，应充分考虑各种影响因素，并对不确定度的评定加以验证。否则由于分析估计不足，可能在测量结果非常接近真值(即误差很小)的情况下评定得到的不确定度却较大，也可能在测量误差实际上较大的情况下，给出的不确定度却偏小。
四.按性质区分上的区别：
测量不确定度分量评定时一般不必区分其性质，若需要区分时应表述为：“由随机效应引入的不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”，（分析时要充分考虑分量的相关性，否则容易分量的叠加，使不确定度偏大）
测量误差按性质可分为随机误差和系统误差两类，按定义随机误差和系统误差都是无穷多次测量情况下的理想概念。
五.对测量结果修正的区别：
“不确定度”一词本身隐含为一种可估计的值，它不是指具体的、确切的误差值，虽可估计，但却不能用以修正量值，只可在已修正测量结果的不确定度中考虑修正不完善而引入的不确定度；
而系统误差的估计值如果已知则可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果。
一个量值经修正后，可能会更靠近真值，但其不确定度不但不减小，有时反而会更大（带来一定的风险）。这主要还是因为我们不能确切的知道真值为多少，仅能对测量结果靠近或离开真值的程度进行估计而已。
虽然测量不确定度与误差有着以上种种不同，但它们仍存在着密切的联系。不确定度的概念是误差理论的应用和拓展，而误差分析依然是测量不确定度评估的理论基础，在估计B类分量时，更是离不开误差分析。例如测量仪器的特性可以用最大允许误差、示值误差等术语描述。在技术规范、规程中规定的测量仪器允许误差的极限值，称为“最大允许误差”或“允许误差限”。它是制造厂对某种型号仪器所规定的示值误差的允许范围，而不是某一台仪器实际存在的误差。测量仪器的最大允许误差可在仪器说明书中查到，用数值表示时有正负号，通常用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。例如土0.1V，土1％等。测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，但可以作为测量不确定度评定的依据。测量结果中由测量仪器引入的不确定度可根据该仪器的最大允许误差按B类评定方法评定。又如测量仪器的示值与对应输入量的约定真值之差，为测量仪器的示值误差。对于实物量具，示值就是其标称值。通常用高一等级测量标准所提供的或复现的量值，作为约定真值(常称校准值或标准值)。在实际工作中，当测量标准给出的标准值的扩展不确定度为被检仪器最大允许误差的1／3～1／10时，且被检仪器的示值误差在规定的最大允许误差内，则可判为合格。

表1 测量误差与测量不确定度的区别
序号
测量误差
测量不确定度
1
是一个有正或负符号的量值，其值为测量结果减去被测量的量值
是一个无符号的参数值，用标准偏差或标准偏差的倍数表示该参数的值
2
误差表明测量结果偏离真值
测量不确定度表明测量值的分散性
3
误差是客观存在的，不以人的认识程度而改变
测量不确定度与人们对被测量、影响量及测量过程的认识有关
4
由于真值未知，往往不能准确得到测量误差的值，当用约定真值代替时，可以得到测量误差的估计值
测量不确定度可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以确定测量不确定度的值
5
测量误差按性质可分为随机误差和系统误差两类，按定义，随机误差和系统误差都是无穷多次测量时的理想概念
测量不确定度评定时一般不区分其性质，若需说明时表述为“由随机影响引入的不确定度分量”，“由系统影响引入的不确定度分量”。不能叫“随机不确定度”或“系统不确定度”
6
已知系统误差的估计值时，可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果
不能用测量不确定度对测量结果进行修正，已修正的测量结果的测量不确定度中考虑修正不完善引入的测量不确定度分量

第四章 测量不确定度的评定方法
在测量不确定度评定时，往往不可能将所有不确定度来源所导致的不确定度分量都考虑在内，这样会使评定复杂化，所以不确定度来源的分析尤为重要，有影响的因素应不重复但也不遗漏。重复将导致不确定度过大，遗漏将导致不确定度过小，应抓住对结果影响的不确定度来源。有些影响较小的不确定度来源可不必考虑。具体的是，如果有所有来源所确定的不确定度分量而合成得到的合成标准不确定度是uc，那么，忽略其中一个来源导致的不确定度分量后，余下的分量再进行合成所得到的合成标准不确定度为uc－1，如果（uc-uc-1）/uc≤10％则被忽略的这个来源导致的不确定度分量对此问题的不确定度评定的影响认为是较小的，可忽略。反之，如果uc-uc-1）/uc≥10％，则此来源应予考虑，建议不可忽略。
一、A类评定
1、 常用贝塞尔公式
用对一系列观测值进行统计分析的方法，得到的实验标准偏差就是A类标准不确定度。一般情况下，对同一被测量X，独立重复测量n次，用算术平均值作为测量结果时，测量结果的A类评定的标准不确定度为：uA（x）＝
式中，
其中，n-1为自由度
[例1]对某量测量9次，测得数据为：
Xi：1225、1258、1258、1253、1252、1256、1189、1240、1252（mm），求A类标准不确定度。
解： ＝＝22.72mm
=22.72/3=7.57 mm
∴测量结果为1242.6mm，uA＝7.7mm
注:本例子中只进行了其中一组数据，准确性程度不够高，如再进行若干组，再进行不确定度的不确定度，更理想。
2、 合并样本标准差
必须指出，为提高可靠性，应采用合并样本标准差Sp，既对输入量X在重复性条件下进行了n次独立测量，得到x1、x2、x3、…xn，其平均值为，试验标准差为S，自由度为γ=n-1。如果进行了m组这样的测量，则合并样本标准差为Sp可按下列公式计算
Sp==
自由度 =
式中为m组测量列中第j组测量列的自由度=n-1，所以也可以写成=m(n-1)。
对于通过试验室认可或准备通过认可的检测实验室，在重复条件下或复现条件下进行规范化测量，其测量结果为A类标准不确定度不一定每次检测时重新评定，可直接采用预先评定的高可靠性合并样本标准差Sp，这可核查标准是否处于控制状态。但注意，只有在同类型被测量较稳定，m组测量列的各个标准差Sj相差不大，即Sj的不确定度可忽略时，才能使用同一个Sp。因为测量列的标准差Sj也是一个变量，标准差Sj的标准差估（S）= 。
式中n为测量列的测量次数。
当，估（S）<Sp时才使用Sp，否则，采用Sj中的Smax来进行评定。
二、B类评定
用非统计的方法进行评定，用估计的标准偏差表征。一般，根据经验或有关信息和资料，分析判断被测量可能值的区半（a,-a），假设被测量的值落在该区间的概率分布，由要求的置信水平和选取的k因子，估计标准偏差。
B类评定的标准不确定度为：uB（x）＝a/k（其k值的大小主要取决于影响量的分布情况，见后详细说明）
获得B类标准不确定度的信息来源一般有：
（1）以前的观测数据；
（2）对有关技术资料和测量仪器的了解和经验；
（3）生产部门提供的技术说明文件；
（4）校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的级别，包括目前暂在使用的极限误差；
（5）手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；
（6）规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性R。
[例2]膨胀系数α为16.52×10-6℃-1，由手册查到此值的误差不超过±0.40×10-6℃-1。
求：膨胀系数α值不准引入的标准不确定度。
解：（1）由手册给出的信息已知α值不超过的区间，
α＝±0.40×10-6℃-1
（2）根据经验，α值在区间内设为均匀分布，
取 k＝
（3）uB＝＝0.23×10-6℃-1膨胀系数α值不准引入的标准不确定度。
如果证书给出了及置信概率P，则按相应的kp计算
u（x）= UP（X）/kp
为了方便起见，特给出了下列常用的几种B类不确定度
① 数字显示式测量仪器，分辨率为δX，则
u（x）=0.29δX
② 量值数字修约时，如果修约间隔为δX，则
u（x）=0.29δX
③ 以 “等”使用的仪器时，有相关资料获得U（Xi）和k或UP（Xi），P和γeff, 则
u（x）= U（Xi）/k或u（x）= UP（Xi）/kp或u（x）= UP（Xi）/γeff
④ 以“级”使用的仪器，有相关资料获得相应的“级别”（0.5，1，2，3等级别）知该级别的最大允许误差为±A（±0.5%，±1%等），则
u（x）= A/
⑤ B类不确定度自由度γ=，即是标准差的标准差，不确定度的不确定度，其比值为相对标准不确定度，对于来自国家法定计量部门出具的检定或校准证书给出的信息（允许误差或不确定度），一般认为△u(x)/u(x)=0.10,此时，自由度为γ==50
附表：常用量值修约间隔导致的测量不确定度数值表
δχ
urou(x)
备注
0.000001
2.9×10-7
常在精密测量、化学分析中应用
0.00001
2.9×10-6
0.0001
2.9×10-5
0.001
2.9×10-4
0.01
2.9×10-3
0.1
2.9×10-2
常在化学成分、力学性能、物理性能等量值测量中应用
0.5
2.9×10-1
1
2.9×10-1
5
1.4
10
2.9
说明：在不确定度的B类评定方法中，如何假设其概率分布。
第一、只要测量次数足够多，其算术平均值的概率分布为近似正态分布。
第二、如被测量既受随机影响又受系统影响，而对影响量缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为均匀分布。
第三、有些情况下，可采用同行的共识，如微波测量中的失配误差为反正弦分布等。
三、合成标准不确定度的确定
当被测量Y是由N个其他可测量X1、X2、…XN通过函数关系得到：
Y＝f（X1、X2、…XN）
当，全部输入量Xi是彼此独立，或不相关时，合成标准不确定度
u2c（y）===
=为传播系数或灵敏系数。
如果全部输入量Xi是不彼此独立，或相关时则合成本单位不确定度为：

式中，u（xi）为输入量xi的标准不确定度
Ci＝为偏导数值，称为灵敏系数
ui（y）=Ciu（xi） y的第一个标准不确定度分量
u（xi,xj） 为xi与xj的协方差
u（xi,xj）＝ 为xi与xj的相关系数

（1）当xi间不相关时，

（2）当xi间不相关，且y与xi呈指数关系
y=cx1P1×2P2……×NPN
则
（3）当xi间完全相关，且＝+1时

[例3]一个标准电阻，在20℃时的校准值为100.05Ω。证书给出校准不确定度为0.01Ω（k＝2）；电阻的温度数α为15×10-3/℃，其误差极限为±1×10-5/℃。现在25℃时使用，测温用的温度计的允许误差极限为±0.02℃。
问：该电阻在25℃时的电阻值及其合成标准不确定度。
解： Rt=R0[1+a（t-20）]
（1）已知R0＝100.05℃，a＝15×10-3/℃，t＝25℃
∴R25＝100.05×[1+15×10-3×（25-20）]＝107.55Ω
（2）UC2(Rt)＝[C1u(R0)]2+[C2u(a)]2+[C3u(t)]2

u(R0)=0.01/2=0.005Ω
（设为均匀分布）
（设为均匀分布）

测量结果R（25℃）＝107.55Ω，UC＝0.018Ω
四、扩展不确定度
扩展不确定度用U表示，U＝kuC(y)
包含因子k的选择
（1）根据uC(y)的有效自由度γeff和要求的置信水平p取k值
a、求γeff

b、根据γeff和p，查t分布值可得tp(γeff)值。
c、取kp＝tp(γeff)
d、Up＝kpUC(y)
（2） 实际常用情况。
取k＝2或3
k＝2，由U=2UC确定的区间具有置信水平约为95％
k＝3，由U=3UC确定的区间具有置信水平约为99％
很多国家规定，未注明k者为k＝2，凡k≠2时，必须注明为多少及如何得来。
[例4] 若Y＝f（X1,X2,X3）＝X1X2X3
X1的估计值X1X2X3值分别为n1＝10，n2=5,n3=15次独立重复观测的算术平均值，其相对标准不确定度为
U(x1)/x1=0.25％
U(x2)/x2=0.57％
U(x3)/x3=0.82％
求被测量Y的测量结果y的具有95％置信水平的扩展不确定度
解：

根据p＝0.85，γeff＝ 19，查t分布表得t＝2.09
所以U95=2.09×1.03％＝2.2％

第四章 报告测量结果不确定度的方法
一、何时用合成标准不确定度
通常，在报告以下测量结果时使用合成标准不确定度Uc：
（1）基本参数；
（2）基本计量学研究；
（3）复现国际单位的国际比对。
二、何时用扩展不确定度
除传统用合成标准不确定度Uc表示者外，其他报告一般采用扩展不确定度U表示测量不确定度。尤其对商业、工业及涉及健康和安全的法规要求均用扩展不确定度U。
三、结果的表示方法
设被测量是标称值为100g的标准砝码ms，测量结果为100.02147 g，合成不确定度Uc=0.35mg
1、合成标准不确定度的表达
（1）ms＝100.02147g, 合成标准不确定度为Uc=0.35mg；
（2）ms＝100.02147（35）g,括号中的数是Uc的数值，与所说明结果的最后位数字相对应；
（3）ms＝100.02147（0.00035）g， 括号中的数是Uc的数值，用所说明结果的单位表示。
（4）ms＝（100.02147±0.00035）g，正负号后面之值按标准差给出，它并非置信区间。
2、扩展不确定的表达
a、扩展不确定U＝kUCy的表达形式
（1）“ms＝100.02147g, U＝0. 70mg（k＝2）”；
（2）“ms＝（100.02147±0.00070）g, k＝2， 其中±号后的数是扩展不确定度U＝kUC，由UC＝0.35mg和k＝2确定。
b、扩展不确定Up＝kpUCy的表达形式,如求出γeff=9，按照P=95%，查表JJF1059-1999附录A得
kp=tp(γeff)= t95(9)=2.26，U95=2.26×0.35 mg=0.79 mg，则
（1）ms＝100.02147g, U95＝0. 79mg，γeff=9；
（2）（100.02147±0.00079）g，γeff=9，括号内第二项为U95之值（末位对齐）；
（3）100.02147（79）g，γeff=9，括号内为U95之值（末位对齐）；
（4）100.02147（0.00079）g，γeff=9，括号内为U95之值（与前面结果具有相同的计量单位。
四、注意事项
1、 最终报告不确定度时，最多有两位有效数字，两位以上是不允许的，只是指最后结果的形式，在计算过程中，为减少修约误差可保留多位（在GUM中未作出具体的规定），测量结果的末位应与不确定度的末位相对应，也就是说，有不确定度的修约间隔来测量结果进行修约。
2、UC和U单独给出时，数值前一般不加正负号。
3、给出U时若k不取2，必须说明k是如何选取的。实际应用时，为方便起见，除文件规定者外，一般取k＝2。
4、准确度是一个定性的概念，不要用数值定量表示。测量结果用“不确定度”进行说明。测量仪器用“最大允许误差”或“允许误差极限”表示。
5、如果一个被测件通过与一个已知的参数标准比较的方法进行测量，标准及比对程序引入的不确定度相对于测量要求的允许误差极限而言可忽略不计的话，则可将这种比较视为确定被测件的误差。
6、在合格评定中，通常要求标准程序及其他影响量引入的不确定度不大于被校仪器允许误差极限，则判为该仪器合格。
允许误差上限

不确定度 U

仪器示值

允许误差下限

第五章 评定测量不确定度的步骤
测量不确定度的评定过程，一般如图3所示。
概述，检测过程系统分析

建模，分析并列出不确定度来源

标准不确定度分量的评定

各类不确
定度分量

B类评定
A类评定

计算合成标准不确定度

确定扩展不确定度

报告测量结果及其不确定度

[例5]今建成一个50m的游泳池，要求确定中间游泳道的长度。
（1）建模(概述)
用高质量的钢带尺测量长度，带尺用恒定张力拉紧，作用于带尺上温度效应和弹性效应很小，可忽略不计。用带尺测量中间游泳道N＝6次，由于6次测量长度平均值X作为游泳道长度Y，而Y＝X。
（2）A类评定
设测量分散性的标准不确定度为u1，中间游泳道的6次测量值xi为50.005、49.999、50.003、49.998、50.004、50.001
算术平均值为

标准偏差为

故测量结果y＝50.0017，且U1=S1=1.15（mm），自由度V1＝n-1＝5，U1由观测列统计 分析获得，故为A类评定，记为UA=U1 。
（3）B类评定
设带尺刻度不准的标准不确定度为U2
带尺刻度不准的变化半范围的一半α＝3（mm）。这里的α，习惯上称为带尺的刻度误差，在此范围内刻度不准都有可能出现，且机会相同，故取均匀分布，故u2＝α/k＝3/ 3 ＝1.73（mm）。此为B类评定，记为uB=u2.
（4）计算合成标准不确定度Uc
测量中间游泳道长度的不确定度汇总如下表：

U与U2无关，则合成标准不确定度为

（5）确定扩展不确定U
取包含因子k＝2，则扩展不确定度U＝kuc＝4.2（mm）。
（6）测量结果及不确定度报告
测量结果y＝50.0017m，测量结果的扩展不确定度U＝4.2mm，U由合成标准不确定度Uc＝2.08mm及包含因子k＝2而得，