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浅议高中数学概念的教学
丁宁
数学概念是对一类数学对象的本质属性的反映，是数学知识中最基本的内容，是数学认知结构的重要组成部分，它还是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学学科系统的精髓和灵魂，而且数学概念本身也就是一种数学观念，是一种处理问题的数学方法。理解、弄通概念是学好数学的基础,也是高考的重点。那么我们应该如何有效地开展概念教学呢?我认为教师要做好以下三方面工作。
1.教师对概念要理解
教师做好概念教学，应基于对概念的理解。这里对概念的理解指的是：概念的背景、发展；内涵和外延；与其它概念的联系；概念的课标要求,分哪几个阶段认识、理解、掌握概念等。例如函数这个概念，它是数学学科的重要概念，也是高中数学的一个核心概念。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。
从对函数的不同认识阶段看，初中以“变量说”定义函数,重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数,帮助学生形成对函数的直接体验,体会函数的意义,形成用函数解决问题的直接经验。 高中数学以“对应说”定义函数,引进数字以外的符号(y = f (x) 中,f 不代表数,与x ,y 的含义不同) 表达函数,进一步明确函数的表示法,以函数的单调性、奇偶性，周期性等典型性质为载体,给出研究函数性质的方法和过程的示范,进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用,使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”。
    从研究函数的方法上看，对于“基本初等函数”的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究,逐步加深对函数概念的理解,在“基本初等函数”的应用中,不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性,建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以,本单元的核心任务就是:建立一般意义的函数概念,了解函数的抽象符号的意义,了解函数中的问题、内容和方法,形成研究函数问题的“基本规范”。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。
另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学、生物等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，教师应给予其充分的重视。
2、教师对概念教学要精心设计
数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念，才能使学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念引入----概念形成----概括概念----明确概念-----应用概念------形成认知。
（1） 引入概念
学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义和作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性
概念的引入，通常有两种：一种是从数学概念体系的发展过程引入，一种是从解决实际问题出发的引入。
从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。如复数的概念，就是在遇到方程无实根时引入的。又如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程。乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。另外，许多新概念的研究是在与之相似的概念类比中进行的。例如，类比指数的运算法则引出对数的运算法则；类比等差数列概念引出等比数列概念等。
从实际问题出发的引入。中学数学概念与实际生活有着密切的联系，让学生了解概念的实际背景，有利于学生认识学习数学的作用，同时也能激发学生学习数学的兴趣。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数概念的引入就可以用学生熟悉的实际问题，如时间、速度、路程的关系；生产中的函数关系等。又如指数函数的引入，教师可以让学生做一个折纸游戏：将一张厚度为0.1毫米的报纸进行对折1，2，3，…,30次，你知道会有多高吗？若对折x次，得到高度为y,y与x 有怎样的关系？学生很感兴趣，动手去折，折到7-8次，就折不动了。用计算器算一算，对折30次，得到约为1087千米。并且得到这个函数。这样引入，既让学生体会到生活中的指数函数，而且还感受到了指数函数增加的速度，体会指数爆炸。
再如在椭圆定义的教学中，可改变教师画，学生看的传统做法，课前让学生做好准备工作，让学生自己动手画椭圆。这样，学生根据自己画图过程，得出椭圆的定义，加深了学生对椭圆定义的理解，特别是对定义中的2a>2c这一条件留下深刻印象。
（2）形成概念
概念的形成阶段，教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。例如，在引入偶函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉的函数的图像，学生很容易看出图像关于y轴对称。教师提出问题：你能从数的角度说明它为什么关于y轴对称吗？学生根据初中对称知识，发现自变量x的值对称着取，观察他们的函数值相等。于是，学生计算了，f(1),f(-1),f(2),f(-2),f(3),f(-3),学生猜想，x取互为相反数的两个值，他们的函数值相等。教师追问：是对所有的x都成立吗？于是，学生计算f(-x)与f(x),发现相等。最后教师给出这类函数的名称为偶函数。
（3）概括概念
概括是概念教学的核心。概括就是在思想上把从某类个别事物中抽取出来的属性，推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识。概念教学中把握好概念概括这一环节，有利于学生概括能力的培养。概括概念就是让学生通过前面的分析，比较，把这类事物的共同特征描述出来，并推广到一般，即给概念下了个定义。偶函数的例子中，学生就概括：设函数若满足，则这个函数叫偶函数。虽然不完善，但偶函数的本质已经出来了。教师接着给出问题：函数是偶函数吗？设计意图让学生关注偶函数的定义域的特征，进一步完善定义。这样进行概念教学，不仅能使学生理解概念，而且能够培养学生的思维能力。
（4）明确概念
明确概念即明确概念的内涵和外延。要注意在概念中有一些字词是切中概念的要害的，对概念起限制、定位的作用。这就是关键词。抓住了关键词，也就基本上领悟到了核心概念的真谛。如函数概念的核心词语是“非空”、“对应法则”、“每一个” 、“唯一确定”，反映了函数的特征。又如偶函数的定义是：设函数的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x且，则这个函数叫偶函数。
定义中的“任意”的含义;定义域的特征(关于原点对称)；解析式的特点等都需要学生明白无误地理解。因此，教师在教学中，可以通过举例说明，也可以让学生举例，从而发现问题。特别是举反例，可以加深学生对概念的理解。
（5）应用概念
在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用与理解同步的过程。例如《函数的奇偶性》中明确奇函数和偶函数的概念后，可以让学生判断下列函数的奇偶性：
①; 　②　　③;
④　　   ⑤
①的目的是让学生理解判断函数奇偶性的两种方法：定义和图像，并规范解题格式。②是一个奇函数。③满足ｆ（１）＝ｆ（－１），但是非奇非偶函数。④具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称⑤既奇又偶函数。
（６）形成良好的数学认知结构
学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学。例如，函数的奇偶性是函数的一种性质，它与定义域、值域、单调性一样是函数性质的一种。
3.教师要注意概念课的后继课程教学
对概念的理解与掌握是一个循序渐进的过程，需要在概念课的后继课程中不断的反复应用，不断的加深理解。例如在学习指数函数后，利用指数函数的性质比较大小：，学生能够做对，但是说不清楚为什么。学生知道利用的是指数函数的单调性，但却把这两个数当成函数，说明学生对于函数概念、函数值、用函数观点看问题等都需要再次理解。因此，教师在这里就要对函数等概念再次指导学生理解，指导学生从函数观点看这两个数，他们是函数的两个函数值，比较函数值的大小，通过研究函数的单调性来解决。每一个概念的学习，都不是一蹴而就的，概念课的后继课对原有概念的理解依然很重要。
每个数学概念都是在感知的基础上，通过分析、综合等抽象思维的过程形成的，因此，在概念教学过程中，教师必须了解概念产生的背景，概念的生成过程；了解有哪些因素会使学生难以掌握概念。根据认知心理学，采用多种方法，有针对性、实效性地进行教学，最终使学生牢固地掌握概念，并能灵活运用概念解决实际问题。

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